高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（二）课件 新人教B版必修5.ppt

第一章 1 1正弦定理和余弦定理 1 1 2余弦定理 二 1 熟练掌握余弦定理及其变形形式 2 会用余弦定理解三角形 3 能利用正弦 余弦定理解决有关三角形的恒等式化简 证明及形状判断等问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形 思考 能 在余弦定理b2 a2 c2 2accosb中 已知三个量ac b ab c cosb 代入后得到关于a的一元二次方程 解此方程即可 答案 梳理已知两边及其一边的对角 既可先用正弦定理 也可先用余弦定理 满足条件的三角形个数为0 1 2 具体判断方法如下 1 当a为钝角时 则b必为锐角 三角形的解唯一 2 当a为直角且a b时 三角形的解唯一 3 当a为锐角时 如图 以点c为圆心 以a为半径作圆 三角形解的个数取决于a与cd和b的大小关系 当ab 则有a b 所以b为锐角 此时b的值唯一 知识点二判断三角形的形状 思考1 三角形的形状类别很多 按边可分为等腰三角形 等边三角形 其他 按角可分为钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定 不需要 如果所知条件方便求角 只需判断最大的角是钝角 直角 锐角 如果方便求边 假设最大边为c 可用a2 b2 c2来判断cosc的正负 而判断边或角是否相等则一目了然 不需多说 答案 思考2 abc中 sin2a sin2b 则a b一定相等吗 a b 0 2a 2b 0 2 2a 2b或2a 2b 即a b或a b 答案 梳理判断三角形形状 首先看最大角是钝角 直角还是锐角 其次看是否有相等的边 或角 在转化条件时要注意等价 知识点三证明三角形中的恒等式 思考 前面我们用正弦定理化简过acosb bcosa 当时是把边化成了角 现在我们学了余弦定理 你能不能用余弦定理把角化成边 答案 梳理证明三角恒等式的关键是借助正 余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异 题型探究 例1已知在 abc中 a 8 b 7 b 60 求c 类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形 由余弦定理b2 a2 c2 2accosb 得72 82 c2 2 8 ccos60 整理得c2 8c 15 0 解得c 3或c 5 解答 引申探究 解答 例1条件不变 用正弦定理求c sinc sin a b sin a b sinacosb cosasinb 相对于用正弦定理解此类题 用余弦定理不必考虑三角形解的个数 解出几个是几个 反思与感悟 跟踪训练1在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若a a b 1 则c等于 c2 2 c c 2或c 1 舍 答案 解析 类型二利用正弦 余弦定理证明三角形中的恒等式 例2在 abc中 有 1 a bcosc ccosb 2 b ccosa acosc 3 c acosb bcosa 这三个关系式也称为射影定理 请给出证明 证明 方法一 1 由正弦定理 得b 2rsinb c 2rsinc bcosc ccosb 2rsinbcosc 2rsinccosb 2r sinbcosc cosbsinc 2rsin b c 2rsina a 即a bcosc ccosb 同理可证 2 b ccosa acosc 3 c acosb bcosa 方法二 1 由余弦定理 得 a bcosc ccosb 同理可证 2 b ccosa acosc 3 c acosb bcosa 反思与感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式 可以考虑两种途径 一是把角的关系通过正弦 余弦定理转化为边的关系 正弦借助正弦定理转化 余弦借助余弦定理转化 二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系 跟踪训练2在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 求证 证明 等式成立 等式成立 例3在 abc中 已知 a b c b c a 3bc 且sina 2sinbcosc 试判断 abc的形状 解答 类型三利用正弦 余弦定理判断三角形形状 由 a b c b c a 3bc 得b2 2bc c2 a2 3bc 即b2 c2 a2 bc 0 a 又sina 2sinbcosc 由正弦 余弦定理 b2 c2 b c abc为等边三角形 引申探究将本例中的条件 a b c b c a 3bc改为 b2 c2 a2 2 b3c c3b a2bc 其余条件不变 试判断 abc的形状 解答 由 b2 c2 a2 2 b3c c3b a2bc 得 b2 c2 a2 2 bc b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 bc 0 b2 c2 a2 0或b2 c2 a2 bc 0 a2 b2 c2或b2 c2 a2 bc 由a2 b2 c2 得a 90 又0 a 180 a 60 由例3知 b c abc为等边三角形或等腰直角三角形 1 判断三角形形状 往往利用正弦定理 余弦定理将边 角关系相互转化 经过化简变形 充分暴露边 角关系 继而作出判断 2 在余弦定理中 注意整体思想的运用 如 b2 c2 a2 2bccosa b2 c2 b c 2 2bc等等 反思与感悟 跟踪训练3在 abc中 若b 60 2b a c 试判断 abc的形状 解答 方法一根据余弦定理 得b2 a2 c2 2accosb b 60 2b a c 整理得 a c 2 0 a c 又 2b a c 2b 2c 即b c abc是等边三角形 方法二根据正弦定理 2b a c可转化为2sinb sina sinc 又 b 60 a c 120 c 120 a 2sin60 sina sin 120 a a 0 120 整理得sin a 30 1 a 30 30 150 a 30 90 a 60 c 60 abc是等边三角形 当堂训练 1 在 abc中 若b2 a2 c2 ac 则b等于a 60 b 45 或135 c 120 d 30 答案 解析 1 2 3 b2 a2 c2 2accosb a2 c2 ac 0 b 180 b 120 2 在 abc中 若2cosbsina sinc 则 abc的形状一定是a 等腰直角三角形b 直角三角形c 等腰三角形d 等边三角形 1 2 3 答案 解析 2cosbsina sinc a b 故 abc为等腰三角形 1 2 3 3 在 abc中 若b 30 ab 2 ac 2 则满足条件的三角形有几个 解答 设bc a ac b ab c 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosb 即a2 6a 8 0 解得a 2或a 4 当a 2时 三边长为2 2 2 可组成三角形 当a 4时 三边长为4 2 2 也可组成三角形 满足条件的三角形有两个 规律与方法 1 已知两边及其中一边的对角解三角形 一般情况下 利用正弦定理求出另一边所对的角 再求其他的边或角 要注意进行讨论 如果采用余弦定理来解 只需解一个一元二次方程 即可求出边来 比较两种方法 采用余弦定理较简单 2 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 1 化