高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修22.ppt

2 1 1合情推理 第二章 2 1合情推理与演绎推理 学习目标 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 2 了解合情推理在数学发现中的作用 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一归纳推理 思考 1 铜 铁 铝 金 银等金属都能导电 猜想 一切金属都能导电 2 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 以上属于什么推理 答案属于归纳推理 梳理 1 定义 由某类事物的具有某些特征 推出该类事物的都具有这些特征的推理 或者由概括出 的推理 称为归纳推理 简称归纳 2 特征 由到 由到的推理 部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 部分 整体 个别 一般 思考科学家对火星进行研究 发现火星与地球有许多类似的特征 1 火星也是绕太阳公转 绕轴自转的行星 2 有大气层 在一年中也有季节更替 3 火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 等等 由此 科学家猜想 火星上也可能有生命存在 他们使用了什么样的推理 答案类比推理 知识点二类比推理 梳理 1 定义 由两类对象具有某些特征和其中一类对象的某些特征 推出也具有这些特征的推理称为类比推理 2 特征 由到的推理 类似 已知 另一类对象 特殊 特殊 思考归纳推理与类比推理有何区别与联系 答案区别 归纳推理是由特殊到一般的推理 而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理 联系 在前提为真时 归纳推理与类比推理的结论都可真可假 知识点三合情推理 梳理 1 定义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过 再进行 然后提出的推理 我们把它们统称为合情推理 通俗地说 合情推理就是合乎情理的推理 2 推理的过程 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 1 类比推理得到的结论可作为定理应用 2 由个别到一般的推理为归纳推理 3 在类比时 平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 思考辨析判断正误 题型探究 类型一归纳推理 命题角度1数 式中的归纳推理例1 1 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第n个等式可为 解析 答案 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 解析观察规律可知 左边为n项的积 最小项和最大项依次为 n 1 n n 右边为连续奇数之积乘以2n 则第n个等式为 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 2 已知f x 设f1 x f x fn x fn 1 fn 1 x n 1 且n n 则f3 x 的表达式为 猜想fn x n n 的表达式为 解析 答案 又 fn x fn 1 fn 1 x 解答 引申探究在本例 2 中 若把 fn x fn 1 fn 1 x 改为 fn x f fn 1 x 其他条件不变 试猜想fn x n n 的表达式 又 fn x f fn 1 x 反思与感悟 1 已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律 要特别注意所给几个等式 或不等式 中结构形成的特征 提炼出等式 或不等式 的综合特点 运用归纳推理得出一般结论 2 数列中的归纳推理 在数列问题中 常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和 根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解 运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式 跟踪训练1已知数列 an 的前n项和为sn a1 3 满足sn 6 2an 1 n n 1 求a2 a3 a4的值 解答 解因为a1 3 且sn 6 2an 1 n n 2 猜想an的表达式 解答 命题角度2图形中的归纳推理例2有两种花色的正六边形地面砖 按下图的规律拼成若干个图案 则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是a 26b 31c 32d 36 解析 答案 解析有菱形纹的正六边形的个数如下表 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项 以5为公差的等差数列 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6 5 6 1 31 故选b 反思与感悟归纳推理在图形中的应用策略 跟踪训练2用火柴棒摆 金鱼 如图所示 按照上面的规律 第n个 金鱼 图需要火柴棒的根数为a 6n 2b 8n 2c 6n 2d 8n 2 解析 答案 解析归纳 金鱼 图形的构成规律知 后面 金鱼 都比它前面的 金鱼 多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分 故各 金鱼 图形所用火柴棒的根数构成一首项为8 公差是6的等差数列 所以第n个 金鱼 图需要的火柴棒的根数为an 8 n 1 6 6n 2 类型二类比推理 解析 答案 解析由于等差数列与等比数列具有类比性 且等差数列与和差有关 等比数列与积商有关 因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时 类比等比数列为依次每4项的积成等比数列 下面证明该结论的正确性 设等比数列 bn 的公比为q 首项为b1 反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质 在类比过程中也有一些规律 如下表所示的部分结论 其中d q分别是公差和公比 解析 答案 命题角度2几何中的类比推理例4如图 在rt abc中 c 90 设a b c分别表示三条边的长度 由勾股定理 得c2 a2 b2 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 解答 解如题图 在rt abc中 c 90 设a b c分别表示3条边的长度 由勾股定理 得c2 a2 b2 类似地 如图所示 在四面体p def中 pdf pde edf 90 设s1 s2 s3和s分别表示 pdf pde edf和 pef的面积 相对于直角三角形的两条直角边a b和1条斜边c 图中的四面体有3个 直角面 s1 s2 s3和1个 斜面 s 反思与感悟 1 类比推理的一般步骤 2 中学阶段常见的类比知识点 等差数列与等比数列 向量与实数 空间与平面 圆与球等等 比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下 跟踪训练4在长方形abcd中 对角线ac与两邻边所成的角分别为 cos2 cos2 1 则在立体几何中 给出类比猜想并证明 解答 解在长方形abcd中 于是类比到长方体中 猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 证明如下 达标检测 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2 3 4 5 2 如图为一串白黑相间排列的珠子 按这种规律往下排起来 那么第36颗珠子的颜色为a 白色b 黑色c 白色可能性大d 黑色可能性大 解析 答案 解析由题图知 三白二黑周而复始相继排列 根据36 5 7余1 可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同 即白色 3 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10等于a 28b 76c 123d 199解析利用归纳法 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 3 1 4 a4 b4 4 3 7 a5 b5 7 4 11 a6 b6 11 7 18 a7 b7 18 11 29 a8 b8 29 18 47 a9 b9 47 29 76 a10 b10 76 47 123 规律为从第三组开始 其结果为前两组结果的和 1 2 3 4 5 解析 答案 答案 解析 4 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间上 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 1 2 3 4 5 1 8 解析设两个正四面体的体积分别为v1 v2 5 按照图1 图2 图3的规律 第10个图中圆点的个数为 答案 解析 40 解析