高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数（二）课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 2函数的极值与导数 二 第一章 1 3导数在研究函数中的应用 学习目标 1 能根据极值点与极值的情况求参数范围 2 会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 1 极小值点与极小值 1 特征 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都 并且f a 0 2 符号 在点x a附近的左侧f x 0 3 结论 点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 小 2 极大值点与极大值 1 特征 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都 并且f b 0 2 符号 在点x b附近的左侧f x 0 右侧f x 0 3 结论 点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 大 3 用导数求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求函数y f x 的导数f x 3 求出方程f x 0在定义域内的所有实根 并将定义域分成若干个子区间 4 以表格形式检查f x 0的所有实根两侧的f x 是否异号 若异号则是极值点 否则不是极值点 题型探究 类型一由极值的存在性求参数的范围 解析f x x2 2x a 由题意 得方程x2 2x a 0有两个不同的实数根 所以 4 4a 0 解得a 1 解析 答案 1 2 已知函数f x x lnx ax 有两个极值点 则实数a的取值范围是a 0 b c 0 1 d 0 解析 答案 解析 f x x lnx ax f x lnx 2ax 1 且f x 有两个极值点 f x 在 0 上有两个不同的零点 g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 又 当x 0时 g x 当x 时 g x 0 而g x max g 1 1 解f x x2 2x a 由题意得f 1 1 2 a 0 解得a 3 则f x x2 2x 3 经验证可知 f x 在x 1处取得极大值 解答 引申探究1 若本例 1 中函数的极大值点是 1 求a的值 解由题意 得方程x2 2x a 0有两个不等正根 设为x1 x2 解答 2 若本例 1 中函数f x 有两个极值点 均为正值 求a的取值范围 故a的取值范围是 0 1 反思与感悟函数的极值与极值点的情况应转化为方程f x 0根的问题 解答 当00 当x 1时 f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 函数f x 在x 1处取得极大值 类型二利用函数极值解决函数零点问题 解析 答案 f x x2 4 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 且f x 在 2 上单调递增 在 2 2 上单调递减 在 2 上单调递增 根据函数单调性 极值情况 它的图象大致如图所示 解答 解由f x x3 6x2 9x 3 可得f x 3x2 12x 9 则由题意可得x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m有三个不相等的实根 即g x x3 7x2 8x m的图象与x轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性 研究函数的极值情况 并能在此基础上画出函数的大致图象 从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数 从而为研究方程根的个数问题提供了方便 解答 跟踪训练2若2ln x 2 x2 x b 0在区间 1 1 上恰有两个不同的实数根 求实数b的取值范围 解令g x 2ln x 2 x2 x b 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 由上表可知 函数在x 0处取得极大值 极大值为g 0 2ln2 b 故实数b的取值范围是 2ln2 2 2ln3 达标检测 1 2 3 4 5 1 下列四个函数中 能在x 0处取得极值的函数是 y x3 y x2 1 y x y 2x a b c d 解析 答案 解析 为单调函数 无极值 2 函数f x ax3 bx在x 1处有极值 2 则a b的值分别为a 1 3b 1 3c 1 3d 1 3 解析 f x 3ax2 b 由题意知f 1 0 f 1 2 1 2 3 4 5 答案 解析 3 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为a 1 2 b 3 6 c 1 2 d 3 6 解析f x 3x2 2ax a 6 因为函数f x 既有极大值又有极小值 所以 2a 2 4 3 a 6 0 解得a 6或a 3 1 2 3 4 5 解析 答案 4 若函数f x x3 3ax 1在区间 0 1 内有极小值 则a的取值范围为 0 1 解析f x 3x2 3a 当a 0时 在区间 0 1 上无极值 答案 解析 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 5 已知函数f x x3 12x 4 讨论方程f x m的解的个数 解由题意知 f x 3x2 12 3 x 2 x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 极小值 f 2 12 f x 极大值 f 2 20 又因为f x 的定义域是r 画出函数图象 图略 所以当m 20或m 12时 方程f x m有一个解 当m 20或m 12时 方程f x m有两个解 当 12 m 20时 方程f x m有三个解 1 2 3 4 5 1 研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题 一般地 方程f x 0的根就是函数f x 的图象与x轴交点的横坐标 方程f x g x 的根就是函