高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（一）课件 苏教版选修11.ppt

2 2 2椭圆的几何性质 一 第2章 2 2椭圆 1 根据椭圆的方程研究曲线的几何性质 并正确地画出它的图形 2 根据几何条件求出曲线方程 并利用曲线的方程研究它的性质 图形 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一椭圆的几何性质 思考1怎样求c1 c2与两坐标轴的交点 交点坐标分别是什么 对于方程c1 令x 0 得y 4 即椭圆与y轴的交点坐标为 0 4 与 0 4 令y 0 得x 5 即椭圆与x轴的交点坐标为 5 0 与 5 0 同理得c2与y轴的交点坐标为 0 5 与 0 5 与x轴的交点坐标为 4 0 与 4 0 答案 思考2椭圆具有对称性吗 有 问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形 也是以x轴 y轴为对称轴的轴对称图形 答案 思考3椭圆c1 c2中x y的取值范围分别是什么 c1 5 x 5 4 y 4 c2 4 x 4 5 y 5 答案 梳理 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c x a y b x b y a x轴 y轴和原点 0 a b 0 a 0 0 b 2a 2b 思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样 哪些量影响其扁平程度 怎样刻画 知识点二椭圆的离心率 如图所示 在rt bf2o中 cos bf2o 记e 则0 e 1 e越大 bf2o越小 椭圆越扁 e越小 bf2o越大 椭圆越圆 答案 梳理 1 定义 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的 2 性质 离心率e的取值范围是 当e越接近于1 椭圆越 当e越接近于 椭圆就越接近于圆 离心率 0 1 扁 0 题型探究 例1求椭圆9x2 16y2 144的长轴长 短轴长 离心率 焦点和顶点坐标 类型一由椭圆方程研究其几何性质 解答 椭圆的长轴长和短轴长分别是2a 8和2b 6 四个顶点坐标分别是a1 4 0 a2 4 0 b1 0 3 和b2 0 3 引申探究已知椭圆方程为4x2 9y2 36 求椭圆的长轴长 短轴长 焦点坐标 顶点坐标和离心率 解答 可知此椭圆的焦点在x轴上 且长半轴长为a 3 短半轴长为b 2 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式 然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上 再利用a b c之间的关系和定义 求椭圆的基本量 反思与感悟 跟踪训练1设椭圆方程mx2 4y2 4m m 0 的离心率为 试求椭圆的长轴长和短轴长 焦点坐标及顶点坐标 解答 焦点坐标为f1 1 0 f2 1 0 例2椭圆 a b 0 的两焦点为f1 f2 以f1f2为边作正三角形 若椭圆恰好平分正三角形的另两条边 则椭圆的离心率为 命题角度1与焦点三角形有关的求离心率问题 答案 解析 类型二求椭圆的离心率 方法一如图 df1f2为正三角形 n为df2的中点 f1n f2n nf2 c 则由椭圆的定义可知 nf1 nf2 2a 方法二注意到焦点三角形nf1f2中 nf1f2 30 nf2f1 60 f1nf2 90 反思与感悟 答案 解析 如图 设直线x 交x轴于d点 因为 f2pf1是底角为30 的等腰三角形 则有f1f2 f2p 因为 pf1f2 30 所以 pf2d 60 dpf2 30 命题角度2利用a c的齐次式 求椭圆的离心率 或其取值范围 答案 解析 3b4 4a2c2 答案 解析 由题意知 以f1f2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点 则c b 即c2 b2 所以c2 a2 c2 若a c的值不可求 则可根据条件建立a b c的关系式 借助于a2 b2 c2 转化为关于a c的齐次方程或不等式 再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂 得到关于e的方程或不等式 即可求得e的值或取值范围 反思与感悟 跟踪训练3若一个椭圆的长轴长 短轴长和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 答案 解析 由题意知 2a 2c 2 2b 即a c 2b 又c2 a2 b2 消去b整理得5c2 3a2 2ac 例4 1 椭圆过点 3 0 离心率e 求椭圆的标准方程 解答 类型三求利用几何性质求椭圆的标准方程 所求椭圆的方程为标准方程 又椭圆过点 3 0 点 3 0 为椭圆的一个顶点 当椭圆的焦点在x轴上时 3 0 为右顶点 则a 3 当椭圆的焦点在y轴上时 3 0 为右顶点 则b 3 a2 3b2 27 2 已知椭圆的中心在原点 它在x轴上的一个焦点f与短轴两个端点b1 b2的连线互相垂直 且这个焦点与较近的长轴的端点a的距离为 求这个椭圆的方程 解答 由椭圆的对称性知 b1f b2f 又b1f b2f b1fb2为等腰直角三角形 ob2 of 即b c 反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a b c所应满足的关系式 进而求出a b 在求解时 需注意当焦点所在位置不确定时 应分类讨论 跟踪训练4根据下列条件 求中心在原点 对称轴在坐标轴上的椭圆方程 1 长轴长是短轴长的2倍 且过点 2 6 解答 2 焦点在x轴上 一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直 且半焦距为6 解答 a2 b2 c2 72 当堂训练 1 2 3 4 5 答案 解析 2 若椭圆的长轴长是短轴长的2倍 且焦距为2 则此椭圆的标准方程为 1 2 3 4 5 答案 解析 3 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴 一个顶点是 0 13 另一个顶点是 10 0 则焦点坐标为 1 2 3 4 5 答案 解析 4 已知点 m n 在椭圆8x2 3y2 24上 则2m 4的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 5 过椭圆 a b 0 的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p f2为右焦点 若 f1pf2 60 则椭圆的离心率为 1 2 3 4 5 答案 解析 pf1 pf2 2a 又 f1pf2 60 1 已知椭圆的方程讨论性质时 若不是标准形式 应先化成标准形式 2 根据椭圆的几何性质 可