广东省广州市从化三中高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省广州市从化三中20 14-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合m=0，1，2，n=x|x23x+20，则mn=( )a1b2c0，1d1，2考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出集合n的元素，利用集合的基本运算即可得到结论解答：解：n=x|x23x+20=x|（x1）（x2）0=x|1x2，mn=1，2，故选：d点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2复数的模长为( )abcd2考点：复数求模 专题：计算题分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果解答：解：复数，所以=故选b点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力3已知p：|x|2，q：0x2，则p是q的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：充要条件 专题：计算题分析：通过解绝对值不等式化简命题p，判断p成立是否推出q成立；q成立是否推出p成立；利用各种条件的定义判断出p是q的什么条件解答：解：|x|22x2即命题p：2x2若命题p成立推不出命题q成立，反之若命题q成立则命题p成立故p是q的必要不充分条件故选b点评：本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件的一般步骤：先化简各个命题，再判断前者是否推出后者；后者是否推出前者；利用各种条件的定义加以判断4设随机变量xn（1，52），且p（x0）=p（xa2），则实数a的值为( )a4b6c8d10考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于x=1对称，得到对称区间的数据对应的概率是相等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于x=1对称，得到结果解答：解：随机变量xn（1，52），正态曲线关于x=1对称，p（x0）=p（xa2），0与a2关于x=1对称，（0+a2）=1a=4，故选a点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，本题是一个基础题5已知数列an为等比数列，sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则s5=( )a35b33c31d29考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：用a1和q表示出a2和a3代入a2a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入s5即可解答：解：a2a3=a1qa1q2=2a1a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2q=，a1=16故s5=31故选c点评：本题主要考查了等比数列的性质属基础题6执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的s=( )a4b5c6d7考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论解答：解：若x=t=2，则第一次循环，12成立，则m=，s=2+3=5，k=2，第二次循环，22成立，则m=，s=2+5=7，k=3，此时32不成立，输出s=7，故选：d点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础7一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到正视图可以为( )abcd考点：简单空间图形的三视图 专题：计算题；作图题分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zox平面为投影面，则得到正视图即可解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zox平面为投影面，则得到正视图为：故选a点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力8设a=log36，b=log510，c=log714，则( )acbabbcacacbdabc考点：对数值大小的比较；不等关系与不等式 专题：计算题分析：利用loga（xy）=logax+logay（x、y0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可解答：解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27log25log23，所以log32log52log72，所以abc，故选d点评：本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题9设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为( )a10b8c3d2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点c时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大由，解得，即c（5，2）代入目标函数z=2xy，得z=252=8故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法102010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )a36种b12种c18种d48种考点：排列、组合的实际应用 专题：排列组合分析：根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，若小张或小赵入选，若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案解答：解：根据题意分2种情况讨论，若小张或小赵入选，则有选法c21c21a33=24；若小张、小赵都入选，则有选法a22a32=12，共有选法12+24=36种，故选a点评：本题考查组合、排列的综合运用，涉及分类讨论的思想，注意按一定顺序，做到不重不漏11由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为( )abcd2ln2考点：定积分在求面积中的应用 分析：由题意画出图形，再利用定积分即可求得解答：解：如图，面积故选d点评：本题主要考查定积分求面积12设抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，点m在c上，|mf|=5，若以mf为直径的圆过点（0，2），则c的方程为( )ay2=4x或y2=8xby2=2x或y2=8xcy2=4x或y2=16xdy2=2x或y2=16x考点：抛物线的标准方程 专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线方程算出|of|=，设以mf为直径的圆过点a（0，2），在rtaof中利用勾股定理算出|af|=再由直线ao与以mf为直径的圆相切得到oaf=amf，rtamf中利用amf的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线c的方程解答：解：抛物线c方程为y2=2px（p0），焦点f坐标为（，0），可得|of|=，以mf为直径的圆过点（0，2），设a（0，2），可得afam，rtaof中，|af|=，sinoaf=，根据抛物线的定义，得直线ao切以mf为直径的圆于a点，oaf=amf，可得rtamf中，sinamf=，|mf|=5，|af|=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8因此，抛物线c的方程为y2=4x或y2=16x故选：c方法二：抛物线c方程为y2=2px（p0），焦点f（，0），设m（x，y），由抛物线性质|mf|=x+=5，可得x=5，因为圆心是mf的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则m点纵坐标为4，即m（5，4），代入抛物线方程得p210p+16=0，所以p=2或p=8所以抛物线c的方程为y2=4x或y2=16x故答案c点评：本题给出抛物线一条长度为5的焦半径mf，以mf为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则=2考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果解答：解：已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则 =0，故 =（ ）（）=（）（）=+=4+00=2，故答案为 2点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题14展开式中x4的系数为10（用数字作答）考点：二项式定理的应用 专题：计算题分析：直接利用二项展开式的通项公式，确定x4的项的位置，然后求出系数解答：解：因为tr+1=，所以103r=4，则r=2，含x4的项是第三项，它的系数是=10故答案为：10点评：本题考查二项式定理，通项公式的应用，特定项的求法，考查计算能力15设为第二象限角，若，则sin+cos=考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系 专题：压轴题；三角函数的求值分析：已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan的值，再根据为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin与cos的值，即可求出sin+cos的值解答：解：tan（+）=，tan=，而cos2=，为第二象限角，cos=，sin=，则sin+cos=故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键16等差数列an的前n项和为sn，已知s10=0，s15=25，则nsn的最小值为49考点：利用导数研究函数的极值；等差数列的前n项和；等差数列的性质 专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nsn的最小值解答：解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，s10=10a1+45d=0，s15=15a1+105d=25，a1=3，d=，sn=na1+d=n2n，nsn=n3n2，另nsn=f（n），f（n）=n2n，当n=时，f（n）取得极值，当n时，f（n）递减；当n时，f（n）递增；因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可f（6）=48，f（7）=49，故nsn的最小值为49故答案为：49点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17如图，在abc中，点d在bc边上，ad=33，sinbad=，cosadc=（1）求sinabd的值；（2）求bd的长考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系 专题：计算题分析：（1）通过cosadc=，求出sinadc，利用，求出cosbad，通过sinabd=sin（adcbad），直接利用两角差的正弦函数求解即可（2）在abd中，由正弦定理，直接求bd的长解答：（本小题满分12分）解：（1）因为cosadc=，所以因为，所以因为abd=adcbad，所以sinabd=sin（adcbad）=sinadccosbadcosadcsinbad =（2）在abd中，由正弦定理，得，所以点评：本题考查三角函数的化简求值，角的变换的技巧，正弦定理的应用，考查计算能力18现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答（）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用x表示张同学答对题的个数，求x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题；概率与统计分析：（i）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（ii）先判断随机变量x的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（i）设事件a=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题p（a）=1p（）=1=（ii）x的所有可能取值为0，1，2，3p （x=0）=p（x=1）=p（x=2）=+=p（x=3）=x的分布列为 x0123pex=点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力19如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点（）求证：平面pac平面pbc；（）若ab=2，ac=1，pa=1，求证：二面角cpba的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）要证平面pac平面pbc，只要证明平面pbc经过平面pac的一条垂线bc即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明bc平面pac；（）因为平面pab和平面abc垂直，只要在平面abc内过c作两面的交线ab的垂线，然后过垂足再作pb的垂线，连结c和后一个垂足即可得到二面角cpba的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角cpba的余弦值解答：（）证明：如图，由ab是圆的直径，得acbc由pa平面abc，bc平面abc，得pabc又paac=a，pa平面apc，ac平面pac，所以bc平面pac因为bc平面pbc，所以平面pac平面pbc；（）解：过c作cmab于m，因为pa平面abc，cm平面abc，所以pacm，故cm平面pab过m作mnpb于n，连接nc由三垂线定理得cnpb所以cnm为二面角cpba的平面角在rtabc中，由ab=2，ac=1，得，在rtabp中，由ab=2，ap=1，得因为rtbnmrtbap，所以故mn=又在rtcnm中，故cos所以二面角cpba的余弦值为点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题20已知椭圆的离心率直线x=t（t0）与曲线e交于不同的两点m，n，以线段mn为直径作圆c，圆心为c（1）求椭圆e的方程；（2）若圆c与y轴相交于不同的两点a，b，求abc的面积的最大值考点：圆与圆锥曲线的综合 专题：综合题分析：（1）由椭圆的离心率，知由此能求出椭圆e的方程（2）依题意，圆心为c（t，0），（0t2）由得所以圆c的半径为由圆c与y轴相交于不同的两点a，b，且圆心c到y轴的距离d=t，知，所以弦长，由此能求出abc的面积的最大值解答：（1）解：椭圆的离心率，解得a=2椭圆e的方程为（2）解：依题意，圆心为c（t，0），（0t2）由得圆c的半径为圆c与y轴相交于不同的两点a，b，且圆心c到y轴的距离d=t，即弦长abc的面积=当且仅当，即时，等号成立abc的面积的最大值为点评：本题考查椭圆的方程和三解开有的面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化21已知函数f（x）=ln（2ax+1）+2ax（ar）（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在3，+）上为增函数，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）令f（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可（2）由y=f（x）在3，+）上为增函数，可得f（x）=0，在3，+）上恒成立对a分类讨论即可得出解答：解：（1）=x=2为f（x）的极值点，f（2）=0，即，解得a=0又当a=0时，f（x）=x（x2），可知：x=2为f（x）的极值点成立（2）y=f（x）在3，+）上为增函数，f（x）=0，在3，+）上恒成立当a=0时，f（x）=x（x2）0在3，+）上恒成立，f（x）在3，+）上为增函数，故a=0符合题意当a0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+10对x3恒成立，故只能a0，2ax2+（14a）x（4a2+2）0在区间3，+）上恒成立令g（x）=2ax2+（14a）x（4a2+2），其对称轴为a0，从而g（x）0在区间3，+）上恒成立，只要g（3）0即可由g（3）=4a2+6a+10，解得a0，综上所述，a的取值范围为点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1：几何证明选讲】22如图，ab是o的直径，ac是o的切线，bc交o于点e（）若d为ac的中点，证明：de是o的切线；（）若oa=ce，求acb的大小考点：圆的切线的判定定理的证明 专题：直线与圆分析：（）连接ae和oe，由三角形和圆