直线与平面垂直的判定定理.ppt

直线与平面垂直的判定 生活中有很多直线与平面垂直的实例 实例引入 旗杆与地面垂直 大桥的桥柱与水面垂直 一条直线与一个平面垂直的意义是什么 问题 旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直 直线垂直于平面内的任意一条直线 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直 我们说直线l与平面互相垂直 记作 平面的垂线 垂足 直线与平面垂直的定义 1 如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直 则直线l和平面 互相垂直 B l 线线垂直线面垂直 性质定理 直线l垂直于平面 则直线l垂直于平面 中的任意一条直线 概念辨析 思考 1 一条直线l与平面 内一条直线垂直可以判断直线l与平面 垂直吗 2 一条直线l与平面 内无数条直线垂直呢 l a 思考 是否把平面中的直线一一找出 才能证明直线与平面垂直 结论 AD BD AD CD BD CD D 有AD 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直 符号语言 思想 线线垂直 线面垂直 例1一旗杆高8m 在它的顶点处系两条长10m的绳子 拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 与旗杆脚不在同一直线上 如果这两点与旗杆脚距6m 那么旗杆就与地面垂直 为什么 分析 1 两点与旗杆脚确定的平面就是地面 2 能否在平面上找出两条相交直线 使得旗杆与它们垂直 解 如图 旗杆PO 8m 两绳长PA PB 10m OA OB 6m因为A O B三点不共线 所以A O B三点确定平面 即地面所在面 又因为PO2 OA2 PA2 PO2 OB2 PB2 所以OP OA OP OB 又因为OA OB O 所以OP 因此 旗杆OP与地面垂直 例2如图 已知OA OB OC两两垂直 1 求证 OA 平面OBC 2 求证 OA BC B C O A 分析 1 要证OA 平面OBC 必须在平面OBC中找出两条与OA垂直的相交直线 因为OA OB OC两两垂直OA OB OA OC OA OC 且OB OC O 2 OA 平面OBC OA垂直平面内任意一条直线 证明 1 OA OB OC两两垂直 OA OB OA OC 又 OB OC O OA 平面OBC 2 OA 平面OBCBC平面OBC OA BC 例2如图 已知a b a 求证b 分析 能否在平面 内找出两条相交直线 使得b与它们垂直 证明 在平面内作两条相交直线m n 因为直线a 根据直线与平面垂直的定义知a m a n 又因为b a 所以b m b n 又m n m n是两条相交直线 所以b 1 如图 在三棱锥V ABC中 VA VC AB BC 求证VB AC A B C V 分析 1 要证线线垂直 首先证线面垂直 2 AC VB所在的面 应该是哪一个面 给出VA VC AB BC可以知道 VAC与 BAC都是等腰三角形 证明 取AC的中点D 连结DV DB D VA VC AB BC VAC与 BAC都是等腰三角形 AC DVAC DB DV DB O AC 平面VDB AC VB 若E F分别是AB BC的中点 试判断EF与平面VKB的位置关系 变式 在 的条件下 有人说