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第三章 三角恒等变换 3 2简单的三角恒等变换 第2课时三角恒等式的应用 自主预习学案 asin x c 2 函数y sin2xcos2x的最小值等于 3 函数f x sin2x sinxcosx 1的最小正周期是 最小值是 1 互动探究学案 命题方向1 利用三角恒等变换进行化简证明 思路分析 本题考查条件恒等式的证明问题 通过 拆并角 变换达到角的统一 再进行证明 典例1 规律总结 证明条件三角恒等式 首先应观察条件与结论之间的差异 三角函数名及结构 从解决某一差异入手 采用条件转化法或条件代入法 条件转化法就是从已知条件出发 经过恰当的变换 推出被证式 条件代入法就是从已知条件出发 求出被证式中的某一个式子 然后代入被证式 化简证明 命题方向2 三角函数变换在三角形中的应用 在 abc中 cosa cosb sinc 求证 abc是直角三角形 思路分析 本题考查和差化积公式与半角公式在三角形中的应用 已知等式的左边是两个角的余弦的和 可利用和差化积公式 右边可利用二倍角公式展开 化简后再利用半角公式解决 典例2 规律总结 已知三角恒等式可以判断三角形的形状 判断时先将已知恒等式进行合理的变形 得到角或边之间的关系 再加以判断 本题条件中没有边的相对位置关系 就从角入手 证明有一个角是直角 或者有两个角互余 当然 也可以由正弦值为1或余弦值为0得出结论 命题方向3 在实际中的应用用列举法表示集合 要把半径为r的半圆形木料截成长方形 应怎样截取 才能使长方形截面面积最大 思路分析 用三角函数表示长方形的面积 转化为求三角函数式的最大值 典例3 规律总结 本题中 将长方形面积表示为三角函数式 利用三角恒等变换转化为讨论函数y asin x b的最值问题 从而使问题得到简化 这个过程蕴涵了化归思想 跟踪练习3 如图所示 要把半径为r的半圆形木料截成长方形 应怎样截取 才使 oab的周长最大 三角变换与向量交汇问题的两种类型 1 与向量垂直交汇 解答此类问题首先利用向量垂直的充要条件 将已知的向量垂直转化为三角函数问题 再利用三角恒等变换进行求解 2 与向量的模交汇 此类题型主要是利用向量模的性质 a 2 a2 如果涉及向量的坐标 解答时可利用两种方法 先进行向量运算 再代入向量的坐标进行求解 先将向量的坐标代入 再利用向量的坐标运算进行求解 思路分析 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第 1 问 而第 2 问则可
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