3谐振腔部分-final.doc

第三章第三章 光学谐振腔理论光学谐振腔理论 一 一 学习要求与重点难点学习要求与重点难点 学习要求学习要求 1 了解光学谐振腔的构成 分类和模式等基本知识 及其研究方法 2 理解腔的损耗和无源腔的单模线宽 3 掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件 4 理解自再现模积分本征方程 了解针对平行平面腔模的数值迭代解法 理解针对 球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解 5 掌握等价共焦腔方法 掌握谐振腔的模式概念和光束特性 6 了解非稳腔的模式理论 重点重点 1 谐振腔的作用 谐振腔的构成和分类 腔和模的联系 2 传播矩阵分析方法 3 光学谐振腔的稳定条件 4 模自再现概念 5 自再现模积分本征方程的建立 及其近似 6 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法 及其解 7 谐振腔的横纵模式和光束特性 8 稳定谐振腔的等价共焦腔 难点难点 1 传播矩阵的近似 2 非稳腔 3 模自再现概念 4 自再现模积分本征方程的建立 5 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法 及其解 6 谐振腔的横纵模式和光束特性 二 知识点总结二 知识点总结 mnq TEMm nq 驻波条件 自再现模 分立的本征态 有限范围的电磁场 形成驻波纵模光的频率 振荡频率 空间分布 模式的形成反映腔内光场的分布 谐振腔的作用腔和模的联系衍射筛选横模光场横向能量分布 腔内存在的电磁场激光模式 模式的表示方法 横模指数 纵模指数 衍射理论 不同模式按场分布 损耗 谐振频率来区分 理论方法 几何光学 干涉仪理 1212 12 12 1 1 1 2 1 010 1 1 AD AD AD g gorgg LL gg RR 论 忽略镜边缘引起的衍射效应 不同模式按传输方向和谐振频率区分 粗略但简单明了 光腔的损耗 光子的平均寿命 无源腔的Q值 无源腔的线宽 1 1 稳定腔 2 非稳定腔适用任何形式的腔 只要列出往返矩阵就能判断其稳定与否 1 共轴球面腔的稳定条件 稳定判据 临界腔 2 只使用于简单的共轴球面镜腔 直腔 1 谐振腔衍射积分方程推导 自再现模的概念求解方法 引进复常数因子 解析解 特殊腔 对称共焦腔 本征函数 振幅和相位分布 等相位面 菲涅尔基尔霍夫积分公式推广到谐振腔自再现模积分方程 数值求解 数值迭代法 本征值 模的损耗 相移和谐振频率 22 0000 1 1 2 N 11 4 1 1 arg 1 2 xy L mnmnomon mnmn mn x yc e NRCRC kLmn 基模 角向长椭球函数 本征函数振幅和相位 高阶横模 不是很小时 厄密 高斯函数 相位分布 反射镜构成等相位面 方形镜 对 单程损耗 称 本征值径向长椭球函数单程相移 共 焦 谐振频率 谐振条件2 腔 的 自 再 现 模 2 0000 2 1 4 N arg 21 2 mnq r L mnmn mn c qmn L x yc e kLmn q 2 基模 超椭球函数 本征函数振幅和相位 高阶横模 不是很小时 拉盖尔 高斯函数 相位分布 反射镜构成等相位面 圆形镜 单程损耗 只有精确解能够给出 本征值单程相移 谐振频率 谐振条件2 2 21 4 mnq c qmn L q 2 22 2 2 0 000 2 1 2 2 lim xy wz z wLz x y zA Eew z w zf w z z 00 0 基模振幅 E 模体积 腔内行波场 等相位面 腔轴线附近近似为球面 远场发散角 一般稳定球面腔 共焦腔与稳定球面腔的等价关系 高斯光束 22 0000 1 1 2 N 11 4 1 1 arg 1 2 xy L mnmnomon mnmn mn x yc e NRCRC kLmn 基模 角向长椭球函数 本征函数振幅和相位 高阶横模 不是很小时 厄密 高斯函数 相位分布 反射镜构成等相位面 方形镜 对 单程损耗 称 本征值径向长椭球函数单程相移 共 焦 谐振频率 谐振条件2 腔 的 自 再 现 模 2 0000 2 1 4 N arg 21 2 mnq r L mnmn mn c qmn L x yc e kLmn q 2 基模 超椭球函数 本征函数振幅和相位 高阶横模 不是很小时 拉盖尔 高斯函数 相位分布 反射镜构成等相位面 圆形镜 单程损耗 只有精确解能够给出 本征值单程相移 谐振频率 谐振条件2 2 21 4 mnq c qmn L q 2 22 2 2 0 000 2 1 2 2 lim xy wz z wLz x y zA Eew z w zf w z z 00 0 基模振幅 E 模体积 腔内行波场 等相位面 腔轴线附近近似为球面 远场发散角 一般稳定球面腔 共焦腔与稳定球面腔的等价关系 高斯光束 三 典型三 典型问题的分析思路问题的分析思路 1 纵模间隔问题 根据纵模频率间隔的公式计算 问题还可以变为腔长如何选择 可获得单纵模 2 q c L 输出等 2 分析某一谐振腔的稳定性问题 这类问题分三种情况 第一种是只由两个球面镜组成的共轴球面镜腔 可以利用下面的稳 定腔判据公式 1212 12 12 010 1 1 g gorgg LL gg RR 第二种情况是两个球面镜组成的共轴球面镜腔中插入其它光学元件 这时要首先写出这个 谐振腔的传输矩阵 利用下面的稳定判据公式 1 1 1 2 1 AD AD AD 1 1 稳定腔 2 非稳定腔 1 临界腔 2 分析谐振腔各参数所应满足的条件 第三种情况是非共轴球面镜腔 如折叠腔和环形腔 求环形腔 折叠腔的往返矩阵时 要 将其化为直腔 如果考虑象散 需要对往返矩阵的修正 对于共轴球面镜腔的近 傍 轴光 线 而对于环形腔和折叠腔 非共轴球面腔 由于象散 球面镜在子午面和弧矢 2 R f 面的焦距不共点 其中子午面为环形回路所在平面 弧矢面为包含回路一边长 垂直于子 午面的平面 对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线 对于在与此cos 2 R f 子午 垂直的平面内传输的弧矢光线 为光轴与球面镜法线的夹角 2cos R f 弧矢 3 谐振腔损耗问题 光学谐振腔积分方程的特征值 它的实部决定腔损耗 特征值的虚部决定光波e 的单程相移 将特征值代入中得 即表示腔内经 1 1 qq UU 1 i qq Ue U e e 单程度越后自再现模的振幅衰减 即的实部决定腔损耗 表示每经一次度越的相 位滞后 所以的虚部决定的单程相移 单程损耗 2 221 111 mnmnmn mn 单程相移 1 argarg mnmn mn 共焦腔模的谐振条件22 mn q 1 1 22 1 21 22 mnq mnq c qmn L c qmn L 方形镜共焦腔谐振频率 圆形镜共焦腔谐振频率 4 共焦腔问题 例如求方形镜或圆形镜共焦腔面上各阶 低阶 横模的节线位置 对于方形镜共焦腔 镜面上的高阶横模与基模光斑尺寸之比为 00 21 21 msns ss ww mn ww 而圆形镜共焦腔镜面上的高阶横模的光斑半径 只要求得了镜面上 1 2 2 plsos wplw 基模光斑的大小 就可求出高阶横模的光斑半径 我们知道方形镜和圆形镜镜面上基模光斑的大小都为 0s L w 方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布 基模光斑尺寸 等相位面的曲率半 径及光束发散角都完全相同 基模场振幅分布 zw yx e zw w EAzyxE 2 22 0 00000 基模光斑尺寸 2 0 2 0 2 2 11 2 1 2 f z w f zw f zL zw s 镜面上基模的光斑半径 高斯光束的基模的腰斑半径 坐标原点选在腔的中心 腰 0s w 0 w 斑尺寸 镜面上光斑尺寸 共 0 0 22 s wLf w 0s L w zwfw 焦腔基模体积 高阶模体积 2 02 000 1 22 s L VL w 模阶次愈高模体积愈大 等相位面 共 2 1212 2 1 2 0 L nmwwLV nsmsmn 焦场的等相位面近似为球面 的曲率半径 2 0 00 00 zff R zzf zfz 等相位面与共焦腔镜面重合 00 2 2 L zfR zfL 等相位面为平面 0000 0 zR zzR z 共焦腔基模光束 远场发散角 弧度 2 lim z w z z fz f zL z e 2 1 2 2 lim 2 2 1 2 2 1 2 1 ln2 0 939 2 e L 5 一般稳定球面腔问题可以借助于其等价共焦腔行波场的特性而解析的表达出来 此处可 参考教科书 6 非稳定谐振腔问题 关于非稳定谐振腔的问题主要包括求出共轭像点和的位置 计算非稳腔的能量损耗率 1 P 2 P 几何放大率等 共轭像点和的位置分别为 由球面镜成像公式 1 P 2 P 12 l l 122 211 112 112 LllR LllR 解得 21212 1 12 11212 2 12 L LRL LRLRLRR l RR L LRL LRLRLRR l RR 2L 2L 几何放大率 镜的单程放大率 1 M 1 1 1 a m a 镜的单程放大率 2 M 2 2 2 a m a 非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率 12 Mm m 对望远镜非稳定腔 实共焦腔和虚共焦腔 2 1 21 2 1 2 2 2 1 1 1 1 R R mmM R R a a m a a m 平均单程能量损耗 12 12 111 111 m mM 单程 往返能量损耗 12 222 12 111 111 m mM 往返 四 思考题四 思考题 1 光学谐振腔的作用是什么 2 光学谐振腔的构成要素有哪些 各自有哪些作用 3 光学谐振腔有哪些常用研究方法 4 什么是光学谐振腔的模式 对纵 横模的要求各是什么 其中含有什么物理思想 5 光学谐振腔的横模模斑形状是客观存在 还是有人为因素 为什么 6 光学谐振腔的稳定条件是什么 有没有例外 稳定条件的导出根据何在 7 所谓 自洽 在光学谐振腔模式讨论中是如何应用的 8 谐振腔稳定条件的推导过程中 只是要求光线相对于光轴的偏折角小于 90 度 因此 谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件 为什么 9 共焦腔是什么腔 稳定性如何 10 共焦腔是不是稳定腔 为什么 11 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点 12 试分析 ABCD 定律在光学谐振腔分析中的作用 13 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔 有什么相同 有什么不同 14 非稳腔的优点是什么 15 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中 16 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关 17 稳定谐振腔有哪些可能的形式 与非稳定谐振腔相比有哪些缺点 18 Fox Li 的数值迭代法解平行平面镜谐振腔 有哪些结论 有哪些意义 19 分别由方形镜和圆形镜组成稳定谐振腔有没有区别 为什么 20 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的实部决定腔损耗 21 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的虚部决定光波的单程相移 22 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗 1 1 2 它与单程衍射损耗因子之间有何 关系 23 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小 你愿意用哪个 为什么 24 为什么说对称共焦腔非常重要 25 试由行波场导出圆形镜共焦腔内的波前表示 26 同一个光学谐振腔中的不同横模 有什么异同 27 高阶横模的不同模斑若相遇 能否干涉 为什么 28 若 A 激光器的激光束经透镜变换匹配地射入 B 激光器 B 激光器的激光束能不能匹配 地射入 A 激光器 为什么 29 能否得到稳定谐振腔横模的解析表示 为什么 四 练习题四 练习题 1 出 1 2 3 光线的传输矩阵 图 2 1 R 1 2 3 d 2 试导出如下腔型所对应的共轭共焦腔结构和输出光参数 R 1m L 0 3m 图 2 2 3 试解如图 2 3 两个 He Ne 激光器的匹配问题 R 1m R 0 5m 0 3m 0 25m 0 5m 图 2 3 4 若法卜里 珀罗平面干涉仪的腔长为 4 5 它的自由谱宽为多少 能否分辨cm 的激光谱线 4 6 10 mm 0 01nm HeNe 5 的对称腔 相邻纵模的频率差为多少 100Rcm 40Lcm 6 腔内有其它元件的两镜腔中 除两个反射镜外的其余部分的变换矩阵为 腔镜ABCD 曲率半径为 证明 稳定性条件为 其中 1 R 2 R 12 01g g 11 gDB R 22 gAB R 7 平凹腔中靠近平面镜的半空间内充有类透镜介质 假设 2 02 1 2 nnK rK 使用上题 6 题 的结果 讨论该腔的稳定性问题 2 1KK 8 使用 6 题结果 求图 2 5 所示的谐振腔的稳定性条件 不考虑像散 R 1 R 2 R 1 d 2 d 图 2 4 9 考虑图 2 5 所示的非稳定谐振腔 反射镜的反射率 的反射率 1 R 1 0 98r 2 R 2 0 95r 1 试求出共轭像点和的位置 并在光学谐振腔图上把他们标出 2 试画出光学 1 P 2 P 谐振腔内的场变化 指出来自光束限制器的波阵面 3 通过空腔的单程平均损耗为多少 4 这个激光器所需要的增益是多少 1 8Rm 2 2Rm 2m 3m 45 2 5cm 25cm 10cm 图 2 5 10 设激活介质的横向尺寸为 虚共焦非稳定腔镜面半径为 凹面镜 和 凸面镜 0 a 1 a 2 a 而单程放大率为和当 1 m 2 m 1 00 12 12 aa aa mm m 2 0 102 12 a aa a m m 3 0 102 12 a aa a m m 4 0 102 12 a aa a m m 时 适用作图法从激光束的输出方向 是否充分利用激活介质 输出光束是否均匀等方面 进行讨论 11 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔 即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次 而 且两次往返即自行闭合 12 试求平凹 双凹 凹凸共轴球面腔镜的稳定性条件 13 激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成 工作 物质长 0 5m 其折射率为 1 52 求腔长 L 在什么范围内是稳定腔 14 图 2 1 所示三镜环形腔 已知 试画出其等效透镜序列图 并求球面镜的曲率半径 Rl 在什么范围内该腔是稳定腔 图示环形腔为非共轴球面镜腔 在这种情况下 对于在由光 轴组成的平面内传输的子午光线 式 2 2 7 中的 对于在于此垂直的 Rcos 2f 平面内传输的弧矢光线 为光轴与球面镜法线的夹角 R 2cos f l l l 图 2 1 15 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器 腔长L 30cm 方形孔边长 d 2a 0 12cm 632 8nm 镜的反射率为 其它损耗以每程 0 003 1r1 96 0 r2 估计 此激光器能否作单模运转 如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 模 小孔的边长应为多大 试根据图 4 5 4 作一大略的估计 氦氖增益由公式 00 TEM 估算 l 为放电管长度 0 g4 e1 3 10 l l d 16 试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置 这些节线是等距分布的吗 30 TEM 17 求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置 20 TEM 02 TEM 18 今有一球面腔 试证明该腔为稳定腔 求出5m 1 R1 1mR2 80cmL 它的等价共焦腔的参数 在图上画出等价共焦腔的具体位置 19 某二氧化碳激光器采用平 凹腔 L 50cm R 2m 2a 1cm 试计算m 6 10 各为多少 s1 s2 0 0 1 00 2 00 20 试证明 在所有相同而 R 不同的对称稳定球面腔中 共焦腔的衍射损耗最低 L a 2 L 表示腔长 为对称球面腔反射镜的曲率半径 a 为镜的横向线度 半径 21 RRR 平面镜 21 今有一平面镜和一R 1m的凹面镜 问 应如何构成一平 凹稳定腔以获得最小的基模 远场角 画出光束发散角与腔长 L 的关系曲线 22 推导出平 凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表示式 做出 1 当R 100cm时 随 L 而变化的曲线 2 当L 100cm时 随 R 而变化的曲线 s1 s2 s1 s2 六 部分答案六 部分答案 1 光学谐振腔的作用是什么 解答 谐振腔的作用是提供正反馈 使激活介质中产生的辐射能多次通过介质 当受激辐 射所提供的增益超过损耗时 在腔内得到放大 建立并维持自激振荡 它的另一个重要作 用是控制腔内振荡光束的特性 使腔内建立的振荡被限制在腔所决定的少数本征模式中 从而提高单个模式内的光子数量 获得单色性好 方向性好的强相干光 2 光学谐振腔的构成要素有哪些 各自有哪些作用 解答 1 激活介质 用于补偿腔内电磁场在振荡过程中的能量损耗 使之满足阈值条件 2 两个镀有高反射率膜的反射镜 使得激活介质中产生的辐射能多次通过介质获得增 益 同时控制光束的输出 3 光学谐振腔有哪些常用研究方法 解答 光学谐振腔常用研究方法可归结为 近轴光线处理方法的几何光学理论和波动光学 的衍射理论 4 什么是光学谐振腔的模式 对纵 横模的要求各是什么 其中含有什么物理思想 解答 电磁场理论表明 在具有一定边界条件的腔内 电磁场只能存在于一系列分立的本 征状态之中 场的每种本征状态将具有一定的振荡频率和空间分布 通常谐振腔内可能存 在的电磁场本征态称为腔的模式 平行平面腔中 满足沿轴线方向形成的驻波场称为它的 本征模 通常由整数 q 所表征的腔内纵向的稳定分布称为纵模 它在腔的模截面内是分布 均匀的场 不同的纵模相应于不同的 q 值 对应不同的频率 除了纵向外 腔内电磁场在 传播方向的横向也存在稳定的场分布称为横模 不同的横模对应于不同的横向稳定的光场 分布和频率 5 光学谐振腔的横模模斑形状是客观存在 还是有人为因素 为什么 解答 是人为因素 因为光学谐振腔横模光斑的分布是随着人为的选择反射镜的形状而发 生相应得变化 6 光学谐振腔的稳定条件是什么 有没有例外 稳定条件的导出根据何在 解答 稳定条件是 有例外 临界腔就是例外 稳定条件的导出依据是 若激 12 01g g 光束在腔内多次反射后不会逸出腔外 即没有几何偏折损失 7 所谓 自洽 在光学谐振腔模式讨论中是如何应用的 解答 由于反射镜的尺寸是有限的 因此只有落在镜面上的那部分光才能被反射回来 亦 即当光束在两镜之间往返传播时 必然会因镜边缘的衍射效应而产生损耗 设初始时 刻在镜 1 上有某个场分布 则光波在腔内由镜 1 传导镜 2 时 将在镜 2 上产生一个 1 u 新的场分布 场经过第二次传播以后又将在镜 1 上产生一个新的场分布 每经过 2 u 3 u 一次传播 光波因衍射损失一部分能量 并且衍射还能引起能量分布的变化 因此 经过一次往返传播之后所产生的场不仅振幅小于 而且其分布可能与不同 以 3 u 1 u 1 u 后又产生 这一过程将一直往返下去 理论分析表明 经过足够多次的往返之 3 u 4 u 后 腔内形成这样一种稳态场 它的相对分布不再受到衍射的影响 它在腔内往返一 次后能够 自再现 出发时的场分布 这种稳态场经一次往返后唯一可能变化的 是 镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减 各点的相位发生同样大小的滞后 这种在腔 反射镜面上经过一次往返传播后能 自再现 的稳定场分布称为自再现模式或横模 若两个镜面是完全相同的对称腔 这种稳定场分布经单程传播后即形成自再现 8 谐振腔稳定条件的推导过程中 只是要求光线相对于光轴的偏折角小于 90 度 因此 谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件 为什么 解答 不是一个要求较低的条件 原因在于光线相对于光轴的偏折角小于 90 度只是稳定条 件的一个必要条件 而非充分条件 只有满足时才能构成稳定腔 12 01g g 9 共焦腔是什么腔 稳定性如何 解答 两反射镜的曲率相等 且等于两反射镜之间的距离 这样的腔称为共焦腔 共焦腔 的稳定性介于稳定腔与非稳腔之间 属于临界腔 10 共焦腔是不是稳定腔 为什么 解答 共焦腔不是稳定腔 由于共焦腔 所以 即为临界腔 12 RRL 12 0g g 11 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点 解答 12 试分析 ABCD 定律在光学谐振腔分析中的作用 解答 因为 ABCD 定律可以描述任意近轴光线在谐振腔内的往返传播行为 与初始坐标无 关 但若给出了初始坐标 根据 ABCD 定律就可以得到行进的最终坐标 13 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔 有什么相同 有什么不同 解答 任何一个共焦腔与无数多个稳定球面腔等价 而任何一个稳定的球面腔唯一的等价 于一个共焦腔 共焦腔属于临界腔 而稳定球面腔属于稳定腔 14 非稳腔的优点是什么 解答 非稳腔的优点是 1 具有大的可控模体积 是适用于高功率激光器的腔型 2 可从腔中提取有用衍射耦合输出 3 容易鉴别和控制横模 4 易于得到单端输出和准直的平行光束 15 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中 解答 主要存在于非稳定的谐振腔中 16 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关 解答 光学谐振腔的衍射损耗的大小与菲涅尔数有关 与腔的几何参数 2 Nl 有关 和横模的阶数有关 1gl R 17 稳定谐振腔有哪些可能的形式 与非稳定谐振腔相比有哪些缺点 解答 平 凹腔 双 凹腔和凸 凹腔都可能形成稳定腔 与非稳定腔相比有以下缺点 模体积小 不适用高功率激光器 横模鉴别能力差 18 Fox Li 的数值迭代法解平行平面镜谐振腔 有哪些结论 有哪些意义 解答 迭代法具有重要意义 第一 它逐次近似计算直接求出了一系列自再现模 从而第 一次证明了开腔模式的存在性 并从数学上论证了开腔自再现模积分方程解得存在性 第 二 能加强理解自再现模形成的物理过程 因为数学运算过程与模在腔中往返传播而形成 自再现模的物理过程相对应 第三 这方法在原则上可以用来计算任何形状的开腔自再现 模 所以具有普遍适用性 利用标准化计算机程序可以求得任意精确度的数值解 因此 实际上可以认为这是一个精确的方法 19 分别由方形镜和圆形镜组成稳定谐振腔有没有区别 为什么 解答 有区别 虽然两者的基模光束的振幅分布 光斑尺寸 等相位面的曲率半径及光束 发散角等完全相同 但却存在区别 1 方形镜共焦腔模式的解是一组特殊定义的长 椭球函数 并且在腔的 N 值不是很小的情况下 可以近似表示为厄米多项式与高斯函 数乘积的形式 对于圆形镜共焦腔 本征函数的解为超椭球函数 在 N 不是很小的情 况下 可以近似表示为拉盖尔多项式与高斯函数乘积的形式 2 方形镜面上的高阶 横模的光斑半径与基模的光斑半径的关系是 而圆形镜共焦腔 0c 0 21 msc m 镜面上的高阶横模的光斑半径 1 2 2 plsos pl 20 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的实部决定腔损耗 解答 由于 代入中得 即表示腔内经单程e 1 1 qq UU 1 i qq Ue U e e 度越后自再现模的振幅衰减 即的实部决定腔损耗 表示每经一次度越的相位滞后 所以的虚部决定的单程相移 21 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的虚部决定光波的单程相移 解 由于 代入中得 即表示腔内经单程度e 1 1 qq UU 1 i qq Ue U e e 越后自再现模的振幅衰减 即的实部决定腔损耗 表示每经一次度越的相位滞后 所以的虚部决定的单程相移 22 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗 1 1 2 它与单程衍射损耗因子之间有何 关系 解答 23 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小 你愿意用哪个 为什么 解答 选用菲涅尔数 N 来表示 它与模的表面积和模的光斑面积有关 它在一 2 a N L 定程度上反映了导致衍射损耗的另外两个因素 腔的几何结构和横模的阶数 所以选 用菲涅尔参数 24 为什么说对称共焦腔非常重要 解答 对称共焦腔不仅能定量地说明共焦腔振荡模本身的特性 更重要的是它能被推广应 用到整个低损耗球面镜腔系统 共焦腔模式理论表明 任何一个共焦腔与无穷多个稳 定球面腔等价 而任何一个稳定球面腔唯一地等价于一个共焦腔 所以研究对称共焦 腔显得很重要 25 试由行波场导出圆形镜共焦腔内的波前表示 解答 26 同一个光学谐振腔中的不同横模 有什么异同 解答 基模的强度分布比较均匀 光束的发散角小 且损耗最小 随着横模阶数的提高 强度分布不均匀 光束的发散角增大 且损耗较大 27 高阶横模的不同模斑若相遇 能否干涉 为什么 解答 不能干涉 因为高阶模的模斑之间的光场之间没有恒定的相位关系 28 若 A 激光器的激光束经透镜变换匹配地射入 B 激光器 B 激光器的激光束能不能匹配 地射入 A 激光器 为什么 能 根据模匹配的原理 29 能否得到稳定谐振腔横模的解析表示 为什么 不能 30 出 1 2 3 光线的传输矩阵 图 2 1 R 1 2 3 d 解答 光线 1 的传播矩阵 10 2 1 R 光线 2 的传播矩阵 212121 2212 11 1 2nnn RRR 12 2 1 0 0 0 0 n 10 1 光线 3 的传播矩阵 2121 22 11 0 nn RR 12 21 1 0 0 0 nn 1 31 试导出如下腔型所对应的共轭共焦腔结构和输出光参数 R 1m L 0 3m 图 2 2 解答 由于 所以图示的腔是稳定的 所以由 0 1 1 1 LL R 其中 可求得 2 11 1 2 22 2 21 f Rz z f Rz z Lzz 12 10 3RmLmR 1 2 2 0 3 0 0 2 zm z fm 3 试解如图 2 3 两个 He Ne 激光器的匹配问题 R 1m R 0 5m 0 3m 0 25m 0 5m 图 2 3 4 若法卜里 珀罗平面干涉仪的腔长为 4 5 它的自由谱宽为多少 能否分辨cm 的激光谱线 4 6 10 mm 0 01nm HeNe 解答 设 有1y 81 9 3 10 3 33 10 22 4 5 q cms Hz L cm 对题中所述 He Ne 激光谱线有 89 9 272 3 100 01 10 8 3 10 6 10 q cHz 故不能分辩 5 的对称腔 相邻纵模的频率差为多少 100Rcm 40Lcm 解答 根据题意有 81 8 3 10 3 75 10 22 1 60 q cms Hz L cm 6 腔内有其它元件的两镜腔中 除两个反射镜外的其余部分的变换矩阵为 腔镜ABCD 曲率半径为 证明 稳定性条件为 其中 1 R 2 R 12 01g g 11 gDB R 22 gAB R 证明 由题意有 1 51 12 1010 22 11 s XXABAB CDCD RR 1 51 1122 2222 s ABAB XX ABAB CDCD RRRR 2 5 11 2 2 21 1 112112 2 22 22 222222 s A AB C X R AB A CD RR AB AB CABBB RRX ABAABB A CDCB CDD RRRRRR 1 51 s XXAB CD 稳定时 11 2 AD 12 12 4 242 BB ADDAg g RR 由于 1212 142101g gg g 7 平凹腔中靠近平面镜的半空间内充有类透镜介质 假设 2 02 1 2 nnK rK 使用上题 6 题 的结果 讨论该腔的稳定性问题 2 1KK 解答 其中 c AB n CD 1 0 1 2 02 1 2 nnk rk 2 2 12 2 1220 202 22 111 21 2 k rBB g gDA RRR nkR nk rk 其中用到1 k k 2 由 有 12 1g g 0 2 nk lk 20 0 L R 1 2 8 使用 6 题结果 求图 2 5 所示的谐振腔的稳定性条件 不考虑像散 R 1 R 2 R 1 d 2 d 图 2 4 解答 21 12 21 1 2 11 210 11 2 01011 22 1 dd dd ddAB RR CD d R RR 12 12 2 1 22 2 1212122212 2 12121112 22 1 4224 1 BB g gDA RR ddd RRR R d dd dddd ddd ddd d RR RRRRRRR RR 由 可得 12 01g g 2 11 2 42 R RdR dR 9 考虑图 2 5 所示的非稳定谐振腔 反射镜的反射率 的反射率 1 R 1 0 98r 2 R 2 0 95r 1 试求出共轭像点和的位置 并在光学谐振腔图上把他们标出 2 试画出光学 1 P 2 P 谐振腔内的场变化 指出来自光束限制器的波阵面 3 通过空腔的单程平均损耗为多少 4 这个激光器所需要的增益是多少 1 8Rm 2 2Rm 2m 3m 45 2 5cm 25cm 10cm 图 2 5 解答 1 轭像点和的位置分别为 由球面镜成像公式 1 P 2 P 12 l l 122 212 112 112 LllR LllR 解得 21212 1 12 11212 2 12 3 31 6 31 L LRL LRLRLRR lm RR L LRL LRLRLRR lm RR 2L 2L 10 设激活介质的横向尺寸为 虚共焦非稳定腔镜面半径为 凹面镜 和 凸面镜 0 a 1 a 2 a 而单程放大率为和当 1 m 2 m 1 00 12 12 aa aa mm m 2 0 102 12 a aa a m m 3 0 102 12 a aa a m m 4 0 102 12 a aa a m m 时 适用作图法从激光束的输出方向 是否充分利用激活介质 输出光束是否均匀等方面 进行讨论 解答 11 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔 即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次 而 且两次往返即自行闭合 证明 对于共焦腔 有 12 RRL 对称矩阵 T 中 2 2 11 L A R 2 210 L BL R 121 222 10 L C RRR 112 222 111 LLL D RRR 光线在腔内往返 n 次后 有 11 11 10 01 n nn n n rrr T 即 且当时有 1 1 1 1 n n n n rr 2n 21 21 rr 故命题得证 12 试求平凹 双凹 凹凸共轴球面腔镜的稳定性条件 解答 共轴球面腔镜的稳定性条件为 12 0111 LL RR 平凹腔 有 代入稳定性条件得 1 R 2 0R 2 LR 双凹腔 有 代入稳定性条件得 1 0R 2 0R 或 且 12 LRLR 12 LRLR 12 RRL 凹凸腔 有 代入稳定性条件得 1 0R 2 0R 且 1 LR 12 RRL 13 激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成 工作 物质长 0 5m 其折射率为 1 52 求腔长 L 在什么范围内是稳定腔 解答 由已知 1 1R 2 2R 代入稳定性条件 12 0111 LL RR 解得12mLm 14 图 2 1 所示三镜环形腔 已知 试画出其等效透镜序列图 并求球面镜的曲率半径 Rl 在什么范围内该腔是稳定腔 图示环形腔为非共轴球面镜腔 在这种情况下 对于在由光 轴组成的平面内传输的子午光线 式 2 2 7 中的 对于在于此垂直的 Rcos 2f 平面内传输的弧矢光线 为光轴与球面镜法线的夹角 R 2cos f l l l 图 2 1 解答 等效透镜序列图下图所示 该腔的变换矩阵 RLRLRL AB TT T T T T T CD 其中 10 01 R T 10 2 1 cos R T R 1 01 L L T 稳定性条件 1 1 1 2 AD 解得 15 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器 腔长L 30cm 方形孔边长 d 2a 0 12cm 632 8nm 镜的反射率为 其它损耗以每程 0 003 1r1 96 0 r2 估计 此激光器能否作单模运转 如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 平面镜 模 小孔的边长应为多大 试根据图 2 2 5 作一大略的估计 氦氖增益由公式 00 TEM 估算 l 为放电管长度 0 g4 e1 3 10 l l d 解答 把L 30cm d 2 0 12cm代入氦氖激光器增益公式a 得到激光每程获得的增益0 072g 腔的菲涅耳数 22 7 0 06 1 9 30 632 8 10 a N L 由书中方形镜共焦腔的单程功率损耗图 可知时腔中各模式的单程损耗约为1 9N 量级 远远小于增益 因此不可以作单模运转 6 10 当模的单程损耗与其它损耗之和恰好等于增益时 00 TEM 即 2 4 49 4 49 00 10 9 1010 9 100 0720 0030 069 a N L 解得 0 3amm 16 试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置 这些节线是等距分布的吗 30 TEM 解答 厄米特多项式的零点决定场的节线 m 阶厄米特多项式有 m 个零点 因此模沿 30 TEM x 方向有 3 条节线 沿 y 方向有 0 条节线 求解 3 阶厄米特多项式 得或 3 3 8120HXXX 0X 3 2 X 其中 因此节线位置为 0 2 s Xx 11020 33 0 22 ss xxx 这些节线是等距离分布的 17 求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置 20 TEM 02 TEM 解答 圆形镜共焦腔模在镜面上场分布函数 2 2 0 2 2 00 2 2 s r mmim mnmnn ss rr r