高等数学学习方法(FIC)系列讲座11_微分方程基本解法的.pdf

高等数学学习方法高等数学学习方法 FIC 系列讲座系列讲座11 微分方程求解方法的探究微分方程求解方法的探究 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜长江 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 卜长江 E mail buchangjiang 微分方程求解方法的探究微分方程求解方法的探究 常 微 分 方 程 含 有 导 数 或 微 分 的 方 程 常 微 分 方 程 含 有 导 数 或 微 分 的 方 程 1 0 nn F yyy x 什么是通解 什么是通解 n阶方程含有阶方程含有n个任意的 独立常数的 解 个任意的 独立常数的 解 求解的基本方法 求解的基本方法 变量可分离方程 齐次方程 贝努力方程 统一变量 全微分方程 欧拉方程 6 可降阶方程 线性齐次方程 利用解的解构 线性非齐次方程 寻找原方程 也是统一变量 1 2 3 1 4 5 1 2 2 3 1 2 3 1 4 5 1 2 2 3 1 变量可分离的方程 变量可分离的方程 形如 形如 M y dyN x dx 求解方法求解方法 M y dyN x dx 原因 等式两端变量形式各自统一 原因 等式两端变量形式各自统一 2 齐次方程 齐次方程 形如形如 dyy f dxx 分析 分析 yyy yxx xxx 求 解 方 法求 解 方 法 设设 y u x yux 则则yuxu 方 程 化 为方 程 化 为 uxuf u 1 du dx f uux 原因 统一了变量形式 原因 统一了变量形式 3 贝努力方程 贝努力方程 形如形如 yP x yQ x y 0 1 求解方法求解方法 1 dy yP x yQ x dx 1 1 1 1 dy P x yQ x dx 1 1 1 1 dy P x yQ x dx 原因 统一了变量形式 原因 统一了变量形式 4 全微分方程 全微分方程 设设 P Q在单连通域在单连通域G内有连续的偏导数内有连续的偏导数 判断判断 0P x y dxQ x y dy 在在G内是某函数内是某函数u的全微分的全微分 yx PQ 求解方法一 如果求解方法一 如果 yx PQ 将 将PdxQdy 凑成凑成du 例例 求求 2 3 0 xy dxxy dy 的通解的通解 解 解 PQ yx 这是全微分方程 这是全微分方程 2 3 xy dxxy dy 2 3x dxydyydxxdy 32 1 0 2 dxyxy 通解为 通解为 32 1 2 xyxyc 原因 统一了变量形式 原因 统一了变量形式 求 解 方 法 二 如 果求 解 方 法 二 如 果 yx PQ 则 则 00 x y xy uPdxQdyC 求解方法三 如果求解方法三 如果 yx PQ 则 则duPdxQdy 0 xy uP uQ 所以所以 uPdxC y yy uPdxCyQC yu x y 5 欧拉方程 可化为常系数线性 方程 欧拉方程 可化为常系数线性 方程 欧拉方程形如 欧拉方程形如 1 1 1 nnnn n x yP xyP yf x 分析分析 1 ln dydydy x dxdx dx x 11 ln ln dydydy tx dxx dxx dt 22 222 1 d yd ydy dxxdtdt 求解方法求解方法 令令 t xe 则则lntx 1dydy dtdy dxdtdxx dt 222 22222 111 d ydyd y dtd ydy dxx dtx dtdxxdtdt 以此类推以此类推 代入原方程化为常系数线性方程代入原方程化为常系数线性方程 原因 统一了变量形式 原因 统一了变量形式 例 求方程例 求方程 2 32 2 1 d ydy xxxy dxdx 的通解的通解 0 x 解解 此方程为欧拉方程 令此方程为欧拉方程 令 t xe 则 则lntx 1dydydtdy dxdtdxx dt 222 222222 1111 y d ydyddtdyd y dxx dtx dtdxx dtxdt 代入方程得 代入方程得 2 2 2 t d ydy ye dtdt 则 则 1212 11 ln 44 tt ycc t eeccx x x 6 可降阶方程 可降阶方程 主要有以下三种可降阶类型主要有以下三种可降阶类型 1 n yf x 求解方法 求解方法 1 nn yydxyy dx 2 yf x y 缺缺y型型 求解方法 设 求解方法 设 yu yu 3 3 yf y y 缺缺x型型 求解方法 设 求解方法 设 du yu yu dy 原因 统一了变量形式 原因 统一了变量形式 2 线性方程线性方程 n 阶线性方程阶线性方程 形如 形如 1 1 nn n yp x ypx yf x 1 1 n阶线性齐次方程解的结构 阶线性齐次方程解的结构 设设 12 n y xyxyx 是是n阶 线 性 齐 次 方 程阶 线 性 齐 次 方 程 1 1 0 nn n yp x ypx y 的的n个 线 性 无 关 解 则 齐 次 方 程 通 解个 线 性 无 关 解 则 齐 次 方 程 通 解 1122 nn yc y xc yxc yx 2 2 n阶线性非齐次方程解的结构 阶线性非齐次方程解的结构 设设 yx是是n阶 线 性 非 齐 次 方 程阶 线 性 非 齐 次 方 程 1 1 nn n yp x ypx yf x 特解 则非特解 则非 齐次方程通解齐次方程通解 yyy 若若 12 yxyx是是n阶 线 性 非 齐 次 方 程阶 线 性 非 齐 次 方 程 1 1 nn n yp x ypx yf x 特解 特解 则则 12 yxyx 是齐次方程是齐次方程 1 1 0 nn n yp x ypx y 的解 的解 3 一阶线性方程通解 一阶线性方程通解 形如形如 yP x yQ x 求解方法 求解方法 PdxPdx yeQedxC PdxPdxPdx yeQedxCe 问题 一阶线性方程问题 一阶线性方程 yP x yQ x 通解公式通解公式 是如何 得到的 是如何 得到的 方法 统一变量方法 统一变量 方程左端方程左端 yP x y 能够统一为一个变量能够统一为一个变量 T 的导数吗 的导数吗 即即 yP x yT 如果可以 则 如果可以 则 TQ x dx 即为通解 即为通解 答案 答案 显然不一定 显然不一定 uyuP x yuQ x uyuP xyuQ x du uuP xP x dx u P x dx ue 令令 可取不定积分中的任意常数为零 可取不定积分中的任意常数为零 u uyuQ x uyuQ x dxC 1 yuQ x dxC u PdxPdx yeQedxC 由由 4 4 n阶线性常系数齐次方程通解 阶线性常系数齐次方程通解 1 1 0 nn n yp yp y A 特征方程 特征方程 1 1 0 nn n rp rp a 如 果如 果r是 特 征 方 程 的是 特 征 方 程 的k重 实 根 则重 实 根 则 A有 解 有 解 21 rxrxrxkrx exex exe b 如果如果ri 是特征方程的是特征方程的k重复根 则重复根 则 A有解 有解 cos sin xx ex ex cos sin xx xex xex 11 cos sin kxkx xex xex 以上以上 n 个解是线性无关的 所以个解是线性无关的 所以 A的通解是其线性组合 的通解是其线性组合 5 二阶线性常系数齐次方程通解 5 二阶线性常系数齐次方程通解 0ypyqy A 特征方程 特征方程 2 0rprq a 如果特征方程有两个不等实根如果特征方程有两个不等实根 12 r r 则 则 A的通解的通解 12 12 r xr x yc ec e b 如果特征方程有两个相等实根如果特征方程有两个相等实根 12 rrr 则 则 A的 通解 的 通解 12 rx ycc x e c 如果特征方程有一对共轭复根如果特征方程有一对共轭复根ri 则 则 A的 通解 的 通解 12 cossin x yecxcx 6 二阶线性常系数非齐次方程特解 6 二阶线性常系数非齐次方程特解 ypyqyf x 对应的齐次方程的特征方程 对应的齐次方程的特征方程 2 0rprq B a 设设 x n f xP x e n P x为为n次多项式 次多项式 令特解令特解 kx n yx Qx e 其中其中 1 110 nn nnn Qxa xaxa xa 是待定系数的是待定系数的 n次多项式 次多项式 若若 不是特征方程 不是特征方程 B 的根 则 的根 则0k 若若 是特征方程 是特征方程 B 的单根 则 的单根 则1k 若若 是特征方程 是特征方程 B 的重根 则 的重根 则2k b 设设 cos sin x nl f xeP xxQ xx n P x为为 n次多项式 次多项式 l Q x为为l次多项式 次多项式 令特解令特解 1 2 cos sin kx mm yx eRxxRxx 其中 其中 max mn l 1 2 mm Rx Rx是两个待定系数的是两个待定系数的m次多项式 若次多项式 若i 不 是特征方程 不 是特征方程 B 的根 则 的根 则0k 若 若i 是特征方程 是特征方程 B 的根 则 的根 则1k 设出设出 y后 将后 将 y代入方程代入方程 ypyqyf x 比较两端 系数 解出 比较两端 系数 解出 y的待定系数 即求出了的待定系数 即求出了 y 例 求方程例 求方程 4 41y y 的通解的通解 特征方程 特征方程 22 4 0rr 0r 是是 2 重实根重实根 对应其次特解是 对应其次特解是 00 12 xx yeyxe 02ri 是是 1 重复根重复根 对应其次特解是 对应其次特解是 00 34 cos2 sin2 xx yex yex 通解通解 11223344 yC yC yC yC y 2 1 2 x 3 寻找原方程 寻找原方程 以一阶微分方程为例 以一阶微分方程为例 0F x y 两端对两端对x求导得求导得 0G x y y 所以微分方程所以微分方程 0G x y y 的通解为的通解为 F x yC 例 例 2 1 2xyyy x 22 1 lnxyxyxC x 综合练习综合练习 1 2 1 y yx e x 2 2 1 1 yy yy eyxe x exe x 2 1 yy eex x 2 1 2 yy ee xxC xx 2 2 1 1 1 yxyy yy 解解 22 y xy yyyy xy y 2 yy x y y x y y 11 0 x yCC y 3 2 2 1 21 3 x yyxyxyx y 3 设设 0 sin x f xxxt f t dt 其中 其中 f t连续 求连续 求 f x 解解 00 sin xx f xxxf t dttf t dt 4 方程方程31 x yye 的一个特解应具有的形式的一个特解应具有的形式 A x aeb B x axeb C x aebx D x axebx 选选 A 5 设设 yP x yq x yf x 的 三 个 线 性 无 关 解 为的 三 个 线 性 无 关 解 为 123 yyy 则通解为则通解为 通解为通解为 1122233 yCyyCyyy 6 322 2 3 0 xy dxx ydy 解解 322 230 xy dxx y dydy 22 2 30yxydxx dydy 222 30yydxx dydy 22 2 3 0ydxx dydy y 2 3 0d yxd y 2 3 0d yx y 2 3 yxC y 7 设设 f x具有二阶连续的导数具有二阶连续的导数 2 0 xy xyf x y dxfxx y dy 为一全微分 方程 且 为一全微分 方程 且 0 0f 0 1 f 求求 f x及此方程通解及此方程通解 2 2cossin2fxxxx 哈尔滨工程大学 17 届高等数学非专业高年级组 2009 06 哈尔滨工程大学 17 届高等数学非专业高年级组 2009 06 求解微分方程 求解微分方程 2 21 22 0 1 0 0yyyyy 解 2 21 22yyy