高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值课件 文 新人教B版.ppt

3 2导数与函数的单调性 极值 最值 2 知识梳理 双基自测 2 3 1 自测点评 4 1 导数与函数的单调性设函数y f x 在区间 a b 内可导 如果在 a b 内 则f x 在此区间是增函数 如果在 a b 内 则f x 在此区间是减函数 f x 0 f x 0 3 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 4 2 函数的极值与导数已知函数y f x 设x0是定义域 a b 内任一点 如果对x0附近所有点x 都有 则称函数f x 在点x0处取极大值 记作 并把x0称为函数f x 的一个 如果在x0附近都有 则称函数f x 在点x0处取极小值 记作 并把x0称为函数f x 的一个 f x f x0 y极大 f x0 极大值点 f x f x0 y极小 f x0 极小值点 4 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 4 3 求可导函数极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程的所有实数根 3 考察在每个根x0附近 从左到右 导函数f x 的符号如何变化 如果f x 的符号由正变负 则f x0 是 如果f x 的符号由负变正 则f x0 是 如果在f x 0的根x x0的左 右侧 f x 符号不变 则f x0 f x 0 极大值 极小值 不是极值 5 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 1 4 4 函数的最值 1 连续的函数f x 在闭区间 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 求可导函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 求f x 在 a b 内的 将f x 的各极值与进行比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b f a f b 极值 f a f b 2 6 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 自测点评 1 下列结论正确的打 错误的打 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 则一定有f x 0 2 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 3 导数为零的点不一定是极值点 4 函数的极大值不一定比极小值大 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 答案 7 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 2 函数y f x 的导函数f x 的图象如图所示 则下面判断正确的是 a 在区间 2 1 内f x 是增函数b 在区间 1 3 内f x 是减函数c 在区间 4 5 内f x 是增函数d 在区间 2 3 内f x 不是单调函数 答案 解析 8 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 3 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2 答案 解析 9 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 答案 解析 10 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 5 2017河北保定二模 已知函数在x 1处取得极值0 则a b 答案 解析 11 知识梳理 双基自测 自测点评 1 若函数f x 在区间 a b 内递增 则f x 0 f x 0在 a b 内恒成立 是 f x 在 a b 内单调递增 的充分不必要条件 2 对于可导函数f x f x0 0 是 函数f x 在x x0处有极值 的必要不充分条件 如函数y x3在x 0处的导数为零 但x 0不是函数y x3的极值点 3 求最值时 应注意极值点和所给区间的关系 关系不确定时 需要分类讨论 不可想当然地认为极值就是最值 4 函数最值是 整体 概念 而函数极值是 局部 概念 极大值与极小值之间没有必然的大小关系 12 考点1 考点2 考点3 考向一讨论函数的单调性或求函数的单调区间 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求函数的单调区间 13 考点1 考点2 考点3 14 考点1 考点2 考点3 令g x 0 解得x 0 x 1或x 4 当x0 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上知g x 在 4 和 1 0 内为减函数 在 4 1 和 0 内为增函数 15 考点1 考点2 考点3 考向二已知函数的单调性求参数的取值范围例2已知函数f x x3 ax 1 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 在r上为增函数 求实数a的取值范围 思考已知函数的单调性求参数的一般思路是什么 16 考点1 考点2 考点3 17 考点1 考点2 考点3 2 因为f x 在 内是增函数 所以f x 3x2 a 0在 内恒成立 即a 3x2对x r恒成立 因为3x2 0 所以只需a 0 即实数a的取值范围为 0 18 考点1 考点2 考点3 解题心得1 导数法求函数单调区间的一般流程 求定义域 求导数f x 求f x 0在定义域内的根 用求得的根划分定义区间 确定f x 在各个开区间内的符号 得相应开区间上的单调性 2 利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 不含参数时 解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 当f x 含参数时 需依据参数的取值对不等式解集的影响进行分类讨论 19 考点1 考点2 考点3 3 若可导函数f x 在指定的区间d上单调递增 减 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 4 已知函数的单调性求参数的一般思路是转化为不等式的恒成立问题 即 若函数f x 单调递增 则f x 0 若函数f x 单调递减 则f x 0 来求解 20 考点1 考点2 考点3 对点训练1 1 设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 求a b的值 求f x 的单调区间 若a 1 求函数f x 的单调区间 若函数f x 在区间 1 2 上为单调函数 求a的取值范围 21 考点1 考点2 考点3 1 解 因为f x xea x bx 所以f x 1 x ea x b 解得a 2 b e 由 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 与1 x ex 1同号 令g x 1 x ex 1 则g x 1 ex 1 所以 当x 1 时 g x 0 g x 在区间 1 内单调递增 故g 1 1是g x 在区间 内的最小值 从而g x 0 x 综上可知 f x 0 x 故f x 的单调递增区间为 22 考点1 考点2 考点3 23 考点1 考点2 考点3 24 考点1 考点2 考点3 例3 1 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 a 1b 2e 3c 5e 3d 1 2 已知函数f x x alnx a r 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 求函数f x 的极值 思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系 25 考点1 考点2 考点3 1 a解析 由题意可得 f x 2x a ex 1 x2 ax 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 ex 1 因为x 2是函数f x 的极值点 所以f 2 0 所以a 1 所以f x x2 x 1 ex 1 所以f x x2 x 2 ex 1 令f x 0 解得x1 2 x2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 1时 f x 有极小值 并且极小值为f 1 1 1 1 e1 1 1 故选a 26 考点1 考点2 考点3 当a 0时 f x 0 函数f x 在 0 内是增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 又当x 0 a 时 f x 0 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 27 考点1 考点2 考点3 解题心得1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 则函数y f x 在 a b 内不是单调函数 即若函数y f x 在某区间上是单调函数 则函数y f x 在此区间上一定没有极值 3 利用导数研究函数极值的一般流程 28 考点1 考点2 考点3 1 求a的值 2 求函数f x 的单调区间与极值 29 考点1 考点2 考点3 令f x 0 解得x 1或x 5 由x 1不在f x 的定义域 0 内 故舍去 当x 0 5 时 f x 0 故f x 在 5 内为增函数 由此可知函数f x 在x 5时取得极小值f 5 ln5 函数f x 没有极大值 30 考点1 考点2 考点3 1 讨论f x 的单调区间 2 设g x f x 2alnx 且g x 有两个极值点为x1 x2 其中x1 0 e 求g x1 g x2 的最小值 思考求函数的最值可划分为哪几步 31 考点1 考点2 考点3 令f x 0得x2 ax 1 0 当 2 a 2时 a2 4 0 此时 f x 0 且f x 在 0 内的任意子区间内都不恒等于0 所以f x 在定义域 0 内单调递增 当a0时 但x2 ax 1 0的两根x1 x2均为负数 此时 f x 0在 0 内恒成立 所以f x 在定义域 0 内单调递增 32 考点1 考点2 考点3 33 考点1 考点2 考点3 34 考点1 考点2 考点3 35 考点1 考点2 考点3 解题心得求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点处的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 36 考点1 考点2 考点3 对点训练3 1 2017湖南衡阳三次联考 已知x 1是函数f x ax3 bx lnx a 0 b r 的一个极值点 则lna与b 1的大小关系是 a lna b 1b lna b 1c lna b 1d 以上都不对 2 2017河北衡水中学调研 已知a b r 且ex a x 1 b对x r恒成立 则ab的最大值是 答案 37 考点1 考点2 考点3 38 考点1 考点2 考点3 2 令f x ex a x 1 b 则f x ex a 若a 0 则由f x ex b b 0 得b 0 此时ab 0 若a0 知函数单调增 x 此时f x 不可能恒有f x 0 若a 0 由f x ex a 0 得极小值点x lna 由f lna a alna a b 0 得b a 2 lna ab a2 2 lna 令g a a2 2 lna 39 考点1 考点2 考点3 1 函数y f x 在 a b 内可导 f x 在 a b 内的任意子区间内都不恒等于零 则f x 0 f x 在 a b 内为增函数 f x 0 f x 在 a b 内为减函数 2 求可导函数极值的步骤 1 求定义域及f x 2 求f x 0的根 3 判定定义域内的根两侧导数的符号 4 下结论 3 求函数f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 首先求出各极值及区间端点处的函数值 然后比较其大小 得结论 最大的就是最大值 最小的就是最小值 40 考点1 考点2 考点3 1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2 一个函数在其定义域内的最值是唯一的 可以在区间的端点处取得 3 要注意区分求函数的单调性和已知函数的单调区间求参数的问题 处理好当f x 0时的情况 正确区分极值点和导数为0的点 41 答案 c 42 43 44 典例2设函数f x ex 2x 1 ax a 其中a 1 若存在唯一的整数x0使得f x0 0 则a的取值范围是 答案 d解析 设g x ex 2x 1 h x a x 1 则不等式f x 0即为g x h x 因为g x ex 2x 1 2ex ex 2x 1 而函数h x a x 1 表示经过点p 1 0 斜率为a的直线 如图 分别作出函数g x