高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 文 新人教A版.ppt

6 2等差数列及其前n项和 2 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 自测点评 1 等差数列 1 定义 一般地 如果一个数列从起 每一项与它的前一项的等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母d表示 数学语言表示为 n n d为常数 2 等差中项 数列a a b成等差数列的充要条件是 其中a叫做a b的 3 等差数列的通项公式 an 可推广为an 第2项 差 同一个常数 公差 an 1 an d 等差中项 a1 n 1 d am n m d 3 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 2 等差数列及其前n项和的性质 1 若m n p q 则 m n p q n m n 2p 则am an 2ap m n p n 2 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为的等差数列 3 若 an bn 是等差数列 p q r 则 pan qbn 也是等差数列 4 设sn是等差数列 an 的前n项和 则数列也是数列 5 若等差数列 an 的前n项和为sn 则s2n 1 2n 1 an 6 若n为偶数 则 若n为奇数 则s奇 s偶 a中 中间项 am an ap aq md 等差 4 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 3 等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 1 an a1 n 1 d可化为an dn a1 d的形式 当d 0时 an是关于n的一次函数 当d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为递减数列 2 当d 0时 它是关于n的二次函数 数列 an 是等差数列 sn an2 bn a b为常数 5 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 4 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d0 则sn存在最值 大 小 2 6 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 自测点评 1 下列结论正确的打 错误的打 1 若一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 3 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 4 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 5 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 6 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 答案 7 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 2 2017浙江 6 已知等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 则 d 0 是 s4 s6 2s5 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 8 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 3 2017辽宁抚顺重点校一模 在等差数列 an 中 a3 a6 11 a5 a8 39 则公差d为 a 14b 7c 7d 14 答案 解析 9 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 4 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则s6 答案 10 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 答案 解析 5 教材例题改编p16例7 在100以内 包括100 的正整数中有个能被6整除的数 11 知识梳理 双基自测 自测点评 1 用等差数列的定义判断数列是否为等差数列 要注意定义中的三个关键词 从第2项起 每一项与它的前一项的差 同一个常数 2 等差数列与函数的区别 当公差d 0时 等差数列的通项公式是n的一次函数 当公差d 0时 an为常数 3 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 4 等差数列的前n项和公式有两种表达形式 要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式 12 考点1 考点2 考点3 考点4 例1 1 在等差数列 an 中 a4 2 且a1 a2 a10 65 则公差d的值是 a 4b 3c 1d 2 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m等于 a 3b 4c 5d 6思考求等差数列基本量的一般方法是什么 答案 13 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 在等差数列 an 中 a4 2 且a1 a2 a10 65 公差d的值是3 故选b 2 方法一 由已知得 am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 数列 an 为等差数列 d am 1 am 1 m 0 a1 2 又am a1 m 1 d 2 解得m 5 14 考点1 考点2 考点3 考点4 15 考点1 考点2 考点3 考点4 16 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n sn 已知其中三个就能求出另外两个 体现了用方程组解决问题的思想 3 减少运算量的设元的技巧 若三个数成等差数列 可设这三个数为a d a a d 若四个数成等差数列 可设这四个数为a 3d a d a d a 3d 17 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练1 1 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97 2 设sn为等差数列 an 的前n项和 a12 8 s9 9 则s16 答案 18 考点1 考点2 考点3 考点4 19 考点1 考点2 考点3 考点4 20 考点1 考点2 考点3 考点4 例2数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 2 求 an 的通项公式 思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些 21 考点1 考点2 考点3 考点4 1 证明由an 2 2an 1 an 2得an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 2 解由 1 得bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 22 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得1 等差数列的四种判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 2 若证明一个数列不是等差数列 则只要证明存在连续三项不成等差数列即可 23 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练2设数列 an 的前n项和为sn 且sn 2n 1 数列 bn 满足b1 2 bn 1 2bn 8an 1 求数列 an 的通项公式 24 考点1 考点2 考点3 考点4 25 考点1 考点2 考点3 考点4 考向一等差数列项的性质的应用例3 1 2017福建龙岩一模 在等差数列 an 中 a3 a7是函数f x x2 4x 3的两个零点 则 an 的前9项和等于 a 18b 9c 18d 36 2 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若a1 3 s5 10 则a9的值是 思考利用等差数列项的性质解决问题时常用到什么思想方法 答案 解析 26 考点1 考点2 考点3 考点4 考向二等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列 an 中 前m项的和为30 前2m项的和为100 则前3m项的和为 思考本例题应用什么性质求解比较简便 答案 解析 27 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得1 利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想 应用时常将an am 2ap m n 2p m n p n 与am an ap aq m n p q m n p q n 相结合 可减少运算量 2 在等差数列 an 中 依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果 常用的性质有 在等差数列 an 中 数列 28 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练3 1 已知等差数列 an 的前17项和s17 51 则a5 a7 a9 a11 a13等于 a 3b 6c 17d 51 2 已知等差数列 an bn 的前n项和分 3 已知在等差数列 an 中 其前n项和为sn s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 答案 29 考点1 考点2 考点3 考点4 30 考点1 考点2 考点3 考点4 3 an 为等差数列 s3 s6 s3 s9 s6成等差数列 2 s6 s3 s3 s9 s6 a7 a8 a9 s9 s6 2 s6 s3 s3 2 36 9 9 45 31 考点1 考点2 考点3 考点4 例5在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn取得最大值 并求出它的最大值 思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法 32 考点1 考点2 考点3 考点4 33 考点1 考点2 考点3 考点4 n n 当n 12或n 13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 又由s10 s15得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 当n 12或n 13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 34 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得求等差数列前n项和sn最值的两种方法 1 函数法 将等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数 看做二次函数 根据二次函数的性质求最值 2 邻项变号法 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 当 利用性质求出其正负转折项 便可求得前n项和的最值 35 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练4 1 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 则当sn取最大值时 n的值是 a 5b 6c 7d 8 2 设数列 an 是公差d 0的等差数列 sn为前n项和 若s6 5a1 10d 则sn取最大值时 n的值为 a 5b 6c 5或6d 11 答案 解析 36 考点1 考点2 考点3 考点4 1 等差数列的判断方法 1 定义法 2 等差中项法 3 利用通项公式判断 4 利用前n项和公式判断 2 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数 则该数列不是等差数列 它从第2项起成等差数列 3 方程思想和化归思想 在解有关等差数列的问题时 可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系 再通过建立方程 组 求解 37 考点1 考点2 考点3 考点4 注意利用 an an 1 d 时加上条件 n 2 否则 当n 1时 a0无定义 38 思想方法 整体思想在等差数列中的应用整体思想 就是在研究和解决有关数学问题时 通过研究问题的整体形式 整体结构 整体特征 从而对问题进行整体处理的解题方法 从整体上去认识问题 思考问题 常常能化繁为简 变难为易 同时又能培养学生思维的灵活性 敏捷性 整体思想的主要表现形式有 整体代入 整