连续性曲面.doc

对直线做G2连续的数学涵义先向各为介绍这王教授简历：CAD&CG高科技奖、一等奖获得者：王国瑾教授（浙江大学数学系）。男，1944年10月生。主要研究方向为计算器辅助几何设计与图形学。现为浙江大学数学系教授，博导。以下向王教授求证所言：按数学上的观点来看，我认为你们对NURBS曲线理解欠妥。因为一般一次NURBS曲线，也就是一段直线。把它与已知直线做连续拼接，那是无实用价值的平凡情况，且是无限阶连续。所以你的事情应当是指3阶NURBS曲线与已知直线做连续拼接，那肯定是G1连续，做不到G2连续。因为G2连续必须两者在拼接点有公共的曲率圆。ICAD 曲面设计人员参考手册中这样描述：C0 连续性意味着两个相邻段间存在一个公共点（即两个段相连）。C1 意味着有一个公共点，并且多项式的一阶导数（即切向矢量）是相同的。C2 意味着一阶导数和二阶导数都相同。几何连续性没有数学连续性严格：G0和C0的意思相同，即两个段在位置上的连续。G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。G2意味着曲率相同，但二阶导数不同。下面为问答：C：从数学上是否意味着任何2次以上的曲线对着直线(1次)做G2连续,最高只能得到G1?王教授：对, 只能得到G1。C：直线曲率=0, 只要曲线末端曲率=0, 就可以称为G2, 这样的理论正确吗? 王教授: 错误, 因为曲线末端曲率=0是不可能的C：那么从数学上如何解释呢?王教授: 曲线上任何一点(包括末端)处的密切圆的半径都是一个有限数, 而此点处的曲率为以上半径值的倒数, 故不为0。以下为结论：不论Gcon如何该改判定, 只是为了减少使用者的争议, 就数学上来说直线只能做到G1。Cafer跟Mikko讨论后决定未来Rhino V4 Gcon判定：另一边由曲线接直线接G2这里的认定，因为与直线端点一样是没有曲率的（曲率圆无限大），所以曲率圆无限大=曲率圆无限大，改为判定为G2。也就是说：1）打断直线；2）对直线衔接或是混接G2的共享点处；3）两边六点控制点共线。曲面的连续性在讲曲面连续性之前，我们先来看下曲线倒角 下载 (838 Bytes)2009-3-3 16:51。将下图直角线段倒角。下载 (7.61 KB)2009-3-3 16:51倒角后其实就是补上一个圆弧。下载 (8.21 KB)2009-3-3 16:51下载 (8.34 KB)2009-3-3 16:59这段圆弧对两边直线产生G1连续。为什么是G1？因为控制点排列在同一直线上，所以倒角命令出来的就是G1。倒角一定有三个控制点共线的状况，这也可从曲率梳来看。下载 (8.91 KB)2009-3-3 16:51下载 (9.39 KB)2009-3-3 16:51你会发现直线没有曲率梳。前面讲过梳齿长度就是曲线瞬间半径，直线没有半径，所以没有曲率梳。但是它仍然具有方向。而G1的含意就是方向一致。所以直线可以做到G1。没有曲率半径，所以数学含意上不能做G2。因此弧线与直线连续的话，顶多只能到G1。对直线做G2连续，严格来说也不叫G2。原因就是前面说的“直线没有曲率，只有方向”。这里留个问题，“既然说曲线对直线的连续只能做到G1，那么对两直线做Blend G2有意义吗？”虽然我们用GCON检测工具检测曲线对直线的连续能得到提示是G2的结果，这当中的缘由就是前面那段王国瑾教授与原厂CAFER讨论的对话历史。Rhino2.0时，曲线对直线的连续判定为G1，数学上是正确。后来因为造型上争议，把直线判定改成G2。在3.0后就改了。来看下直线Blend后的曲率梳，右边的是Blend G2，看它的梳子图，你会发现接近直线处急速向下为零。也就是说端点顺接处的曲率半径趋近消失（无曲率）。趋近消失不代表没有。单一的1Span曲线是不可能没有曲率的，除非所有控制点都在同一直线上。只要有一点不在这一直线上，整条曲线就有曲率圆存在。下载 (8.36 KB)2009-3-3 16:55回过来看前面留的那个问题，“既然说曲线对直线的连续只能做到G1，那么对两直线做Blend G2有意义吗？”试着将曲线拉成曲面，右边是G1，左边是Blend G2。会发现光顺度有些差别，原因是阶数存在差别，Blend G2多了一个控制点的缓冲。所以对两直线做Blend G2在造型上是有意义的。下载 (9.81 KB)2009-3-3 16:51总的来说，对直线做G2 做出来的不是G2，只是在衔接处的光影会比较顺畅。光影是一种感觉，因为曲面接近平面时，曲面也几乎变平面了，所以光影会比较缓和，其实G1也是很顺的。你们有空可以观察一下iPod的倒角，它的光影顺不顺。在“G2倒角”和“G1倒角”之间我会选择G1。因为G2倒角曲线化了，没有G1那么有型。G2的光影会有扭曲，G1的光影则是很正的弧线。对实际的产品来说，G1的倒角比G2的倒角漂亮些。因为倒角是很几何的形状，曲线化就没那种Shape的感觉了。主要造型时倒角的感觉就很重要,iPod主要造型的倒角四周都是G1。Blend已经不是正圆弧了。总之，你想要几何些的倒角就选择G1，软些的倒角就G2，G2的圆角感觉是比较软的。现在来讲下斑马纹。斑马线的原理只是一种规范，用它来判断曲面对平面的连续性有失客观。你们只知道斑马纹接顺没，实际的产品光影却不是看斑马纹。斑马纹也是一种贴图，把黑白条纹贴在了曲面上。既然是说到贴图，就是多边形原理。我们画个圆球，Ctrl+Alt+S调到Shade显示模式。下载 (8.6 KB)2009-3-3 16:51放大这圆球来看，会发现涂色阴影偏离线形框架。下载 (8.53 KB)2009-3-3 16:51放更大些，会看到其实涂色阴影圆球只是以多边形式去渲染来逼近正圆球线形的。例如正30边形或更多，斑马纹也是这原理。下载 (8.32 KB)2009-3-3 16:51点下 Asjust Mesh键，你就可以观察到它渲染的多边形球体。下载 (13.64 KB)2009-3-3 16:51下载 (6.28 KB)2009-3-3 16:51下载 (22.03 KB)2009-3-3 16:51将多边形球体放很大看，如下图。下载 (11.52 KB)2009-3-3 16:55因此斑马纹显示想要越准确就要用越密的多边形显示，特别是放大看时要更密，可能你会觉得斑马纹放大看老是不顺。其实没必要放很大，因为斑马纹也只能看大概，再怎设置永远都不准确。最后看到的结果跟斑马纹密度和斑马纹多边形种类都有关系。多边形种类还有很多种，下面这些选项都会影响多边形种类。下载 (11.82 KB)2009-3-3 17:09曲面的连续性几乎都是逼近的。做个实验，这里有两个曲面。下载 (12.36 KB)2009-3-3 17:09我们用BlendSrf G2混接它们，你认为它会是G2吗？下载 (12.97 KB)2009-3-3 17:09阶数是3没错，但只能是逼近G2。为什么它不是正真的G2呢？Blend的精度是由设定好的公差值影响的。依照公差值去逼近两面达到G2。我们把模型放很大时就会看到有裂缝。下载 (5.86 KB)2009-3-3 17:09这个裂缝就是公差值范围内的，所以BlendSrf做出来的曲面都是逼近的。而斑马纹原理也是逼近的，那测出来就更不准了。所以说斑马纹只能测个大概，不可能无限的去放大后都还能接顺的。既然斑马纹测不准，那就只有曲率梳了，只有它能测出是否绝对的G2。那么要怎么做才能是绝对G2呢？先想想怎样能让两条线完全重叠。控制点位置相同、阶数相同、均匀、有理。简单的说，只要两条线属性完全相同，就能重叠。或者说复制上去的曲线就可以了重叠。因此，除非两个曲面属性完全相同，否则不可能两边能100无缝接。这跟Span数量无关，只要两曲面的衔接向的UV属性相同就可以无缝隙。例如，曲面a的U衔接曲面b的V，只要曲面a的U跟衔接曲面b的V属性一样就行了。属性包含控制点数量、阶数、有无理、是否均匀。四大属性一致就能无缝隙。就以刚才的两曲面来举例，它们是镜像的，属性自然相同，match后就能100无缝隙，不论你放大多少倍，都不会有缝隙。下载 (11.18 KB)2009-3-3 17:09下载 (11.26 KB)2009-3-3 17:09平时建模，遇到四大属性不同时，想办法把它们弄成相同，不然就只能是逼近。很多人建模ISO十分复杂，就是逼近的原因。但我们建模不求全部100相同，至少有一部分做到100相同。这样就能大大简化曲面。能避免逼近。就尽量不去逼近。什么情况是不能避免的呢？例如：剪切边，剪切本身就是一个逼近的命令。投影也是一样的原理，曲线要投影在曲面上，既然不属于曲面本身的ISO线，就是逼近了。切割Split也是逼近的，除非Split ISO。SW2是一个全能的命令，逼近、互补、最简都能做。像刚才的例子中，两曲面的边都不是剪切边，接G2就没必要用逼近了，这里可以选择用SW2做无缝G2连续的混接面。下载 (13.1 KB)2009-3-3 17:09互补就是互相补上对方ISO。如下图，这两个ISO数量和位置都不同，补上的混接面把两边曲面的ISO都对上了，这就叫互补，各取所需。下载 (11.05 KB)2009-3-3 17:09下载 (11.89 KB)2009-3-3 17:09逼近就是尽量的去接近。例如，在BMP位图上有一条曲线，放大后你会发现它其实是用很多点去“逼近”的。看起来是一整条曲线，其实是由无数点组成的，放大后可以看到点。同一条线，如果点越多，这些点也就越小，就必须放更大才能发现他是点。犀牛里面曲线是没有点的，因为它是矢量的，是一个数学方程式。数学方程式不同的时候，曲线的轨迹就会不同。白话些，