江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷.doc

江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,计70分,请将答案填入答题区)1.若集合=_.2.命题“xR,有x2+1x”的否定是_.3.若i是虚数单位,则=_.4.“1”是“成立”的_.条件(填充分不必要、必要不充分,既不充分也不必要,充要).5.已知流程图如图所示,为使输出的值为16,则判断框内处应填_. 第5题图6.已知直线与曲线在处的切线互相垂直,则_.7.已知cos=,cos()=,且0,则=_.8.若4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为_.9.若A、B与 F1、F2分别为椭圆C:的两长轴端点与两焦点,椭圆C上的点P使得F1PF2=,则tanAPB=_.10.已知数列an(nN*)满足a1=1且,则其前2013项的和为_.11.定义在R上的函数是增函数,且函数的图像关于(2,0)成中心对称,若s,t满足不等式,若时,则的最大值为_. 12.已知圆M:,过轴上的点存在一直线与圆M相交,交点为A、B,且满足PA=BA,则点P的横坐标的取值范围为_.13.已知非零向量与满足,则的最小值为_.14.已知,点的坐标满足,则的取值范围为_.15.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列.(1)若=-,b=,求a+c的值; (2)求2sinA-sinC的取值范围.16.在三棱柱中,已知底面是边长为的正三角形,侧棱,点分别为边的中点,底面.()求证:线段DE平面;()求证:FO平面.17.某生产旅游纪念品的工厂,拟在2010年度将进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念品的年销售量万件与年促销费用万元之间满足与成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件.已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元,每生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为:“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用)(1)求出与所满足的关系式;(2)请把该工厂2010年的年利润万元表示成促销费万元的函数;(3)试问:当2010年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?18.如图,椭圆C: 过点,梯形ABCD(ABCD轴,且)内接于椭圆,E是对角线AC与BD的交点.()求椭圆C的方程;()设试求的最大值.19.已知函数,且,.(1)求的值;(2)已知定点,设点是函数图象上的任意一点,求 的最小值,并求此时点的坐标;(3)当时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.20.设数列,对任意都有,(其中是常数)(1)当,时,求;(2)当,时,若,求数列的通项公式;(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是 “封闭数列”.当,时,设是数列的前项和,试问:是否存在这样的“封闭数列” ,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由.21. 学校餐厅每天供应1000名学生用餐,每星期一有AB两样菜可供选择,调查资料表明,凡是在本周星期一选A菜的,下周星期一会有20%改选B,而选B菜的,下周星期一则有30%改选A,若用AnBn分别表示在第n个星期一选AB菜的人数.(1)若,请你写出二阶矩阵M;(2)求二阶矩阵M的逆矩阵.22.若极坐标系的极轴与直角坐标系的x轴非负半轴重合,单位长度相等,已知曲线C的参数方程为,曲线D的极坐标方程为.(1)将曲线的参数方程化为普通方程;(2)曲线C与曲线D有无公共点?试说明理由.23.如图,已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,MN分别是CC1BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足.(1)证明:PNAM;(2)若平面PMN与平面ABC所成的角为45,试确定点P的位置.24.设数列满足,.(1)当时,求证:M;(2)当时,求证:;(3)当时,判断元素与集合的关系,并证明你的结论.参考答案一填空题:1. 2. xR,使x2+1x; 3. 1006+1007i 4.必要不充分条件 5.3 6. 7. 8. 9. - 10.16 11.0 12. 13.1 14.15.解:1)因为A,B,C成等差数列,所以B=.=-,accos(-B)=-,ac=,即ac=3.b=,b2=a2+c2-2accosB,a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3.(a+c)2=12,所以a+c=2 (2)2sinA-sinC=2sin(-C)-sinC=2(cosC+sinC)-sinC=cosC.0C,cosC(-,).2sinA-sinC的取值范围是(-,) 16.()因为平面为平行四边行, 所以共线, , 又 ()因为是边长这的正三角形,所以. 又底面,所以, 又,所以. 又F为的中点,所以 又平面, 所以平面 17.解:(1)设比例系数为.由题知,有.又时,所以 ,. 所以与的关系是 (2)依据题意,可知工厂生产万件纪念品的生产成本为万元,促销费用为万元,则每件纪念品的定价为:元/件.于是,进一步化简,得.因此,工厂2010年的年利润万元 (3)由(2)知, ,当且仅当,即时,取等号,所以,当2010年的促销费用投入7万元时,工厂的年利润最大,最大利润为42万元 18.()由题意得 3 分 解得 ()根据对称性可知点E在轴上,则E点的坐标为, 设BD的方程为,由得 设,则, , 从而, 等号当且仅当取得 19.(1)由,得, 解得: (2)由(1),所以, 令,则 因为,所以,所以,当,所以,即的最小值是,此时,点的坐标是 (3)问题即为对恒成立,也就是对恒成立, 要使问题有意义,或.法一:在或下,问题化为对恒成立, 即对恒成立,即对恒成立,当时,或,当时,且对恒成立,对于对恒成立,等价于,令,则,递增,结合或,对于对恒成立,等价于令,则,递减,综上: 法二: 故问题转化为对恒成立,令若时,由于,故,在时单调递增,依题意,舍去;若,由于,故,考虑到,再分两种情形:(),即,的最大值是,依题意,即,;(),即,在时单调递增,故,舍去综上可得, 20.解:(1)当,时, 用去代得, -得, 在中令得,则0,数列是以首项为1,公比为3的等比数列,= (2)当,时, 用去代得, -得, , 用去代得, -得,即, 数列是等差数列,公差, (3)由(2)知数列是等差数列,又是“封闭数列”,得:对任意,必存在使,得,故是偶数, 又由已知,故一方面,当时,对任意,都有另一方面,当时,则,取,则,不合题意 当时,则,当时,又,或或或 附加题:21. 解:(1); (2)设矩阵M的逆矩阵为,则由=得:,解之得:, 22. 解:(1)由得 分(2)由得曲线的普通方程为分 得 分 解得,故曲线与曲线无公共点 分23. 解:(1)证明:如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.则P(,0,1),N(,0),M(0,1,), 从而=(-,-1),=(0,1,),=(-)0+1-1=0,所以PNAM (2)平面ABC的一个法向量为n=(0, 0, 1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z),由(1)得=(,-1,).由 解得 平面PMN与平面ABC所成的二面角为