广东省揭阳一中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集u=r，集合a=x|3x7，b=x|x27x+100，则r（ab）=（）a（，3）（5，+）b（，3）（5，+）2（5分）若，则下列结论不正确的是（）aa2b2b|a|b|=|ab|cdabb23（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）abcd4（5分）设an是由正数组成的等比数列，sn为其前n项和已知a2a4=1，s3=7，则s5=（）abcd5（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）a9b11c13d156（5分）已知是三角形的一个内角，且sin+cos=，则x2siny2cos=1表示（）a焦点在x轴上的椭圆b焦点在x轴上的双曲线c焦点在y轴上的椭圆d焦点在y轴上的双曲线7（5分）方程|x|（x1）k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）abcd8（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用那么+的值为（）a21b76c264d642二、填空题（每小题5分，共30分）9（5分）在abc中a=60，b=1，sabc=，则=10（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）f（x+2）5的解集是12（5分）设等差数列an的前n项和为sn，若s410，s515，则a4的最大值为13（5分）设点o为坐标原点，a（2，1），且点f（x，y）坐标满足，则|cosaop的最大值为14（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，f为焦点，a，b，c为抛物线上的三点，且满足，则抛物线的方程为三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（12分）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围16（12分）已知，函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且（0，），求的值17（14分）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ad=aa1=1，ab=2，点e在棱ab上移动（1）证明：d1ea1d；（2）当e为ab的中点时，求点e到面acd1的距离；（3）ae等于何值时，二面角d1ecd的大小为18（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块oabc，其中oae是一个游泳池，计划在地块oabc内修一条与池边ae相切的直路l（宽度不计），切点为m，并把该地块分为两部分现以点o为坐标原点，以线段oc所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边ae满足函数y=x2+2（0x）的图象，且点m到边oa距离为（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块oabc在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19（14分）已知如图，椭圆方程为（4b0）p为椭圆上的动点，f1、f2为椭圆的两焦点，当点p不在x轴上时，过f1作f1pf2的外角平分线的垂线f1m，垂足为m，当点p在x轴上时，定义m与p重合（1）求m点的轨迹t的方程；（2）已知o（0，0）、e（2，1），试探究是否存在这样的点q：q是轨迹t内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且oeq的面积soeq=2？若存在，求出点q的坐标，若不存在，说明理由20（14分）对于函数f（x），若存在x0r，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点如果函数f（x）=（b，cn）有且只有两个不动点0，2，且f（2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列an满足4snf（）=1，求数列通项an；（3）如果数列an满足a1=4，an+1=f（an），求证：当n2时，恒有an3成立广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集u=r，集合a=x|3x7，b=x|x27x+100，则r（ab）=（）a（，3）（5，+）b（，3）（5，+）考点：交、并、补集的混合运算 分析：先计算集合b，再计算ab，最后计算cr（ab）解答：解：b=x|2x5，ab=x|3x5，cr（ab）=（，3）所以四棱锥的体积为：，所以h=故选b点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力4（5分）设an是由正数组成的等比数列，sn为其前n项和已知a2a4=1，s3=7，则s5=（）abcd考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a3=1，再由s3=+1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得解答：解：设由正数组成的等比数列an的公比为q，则q0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，s3=a1+a2+a3=+1=7，解得q=，或q=（舍去），a1=4，s5=故选：c点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题5（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）a9b11c13d15考点：循环结构 专题：计算题分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出解答：解：经过第一次循环得到s=13=3，i=5经过第二次循环得到s=35=15，i=7经过第三次循环得到s=157=105，i=9经过第四次循环得到s=1059=945，i=11经过第五次循环得到s=94511=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选c点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律6（5分）已知是三角形的一个内角，且sin+cos=，则x2siny2cos=1表示（）a焦点在x轴上的椭圆b焦点在x轴上的双曲线c焦点在y轴上的椭圆d焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程 专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：运用平方法，可得sincos0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置解答：解：是三角形的一个内角，且sin+cos=，则平方可得，1+2sincos=，则sincos=0，即sin0，cos0，x2siny2cos=1即为=1，由于=0，则，则方程表示焦点在y轴上的椭圆故选c点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题7（5分）方程|x|（x1）k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）abcd考点：函数的零点与方程根的关系 专题：数形结合法分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题解答：解：如图，作出函数y=|x|（x1）的图象，由图象知当k时，函数y=k与y=|x|（x1）有3个不同的交点，即方程有3个实根故选a点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根8（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用那么+的值为（）a21b76c264d642考点：对数的运算性质 专题：压轴题；新定义分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知+=12+24+38+416+532+6，再进行相加运算解答：解：=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，+=0+12+24+38+416+532+6=264故选c点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键二、填空题（每小题5分，共30分）9（5分）在abc中a=60，b=1，sabc=，则=2考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可解答：解：由题意得，a=60，b=1，sabc=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c22bccosa=1+162=13，则a=，所以=2，故答案为：2点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键10（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为考点：其他不等式的解法 专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）f（x+2）5”求解即可解答：解：当x+20，即x2时x+（x+2）f（x+2）5转化为：2x+25解得：x2x当x+20即x2时，x+（x+2）f（x+2）5转化为：x+（x+2）（1）525，x2综上x故答案为：（，点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高12（5分）设等差数列an的前n项和为sn，若s410，s515，则a4的最大值为4考点：等差数列的前n项和；等差数列 专题：压轴题分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围解答：解：等差数列an的前n项和为sn，且s410，s515，即，5+3d6+2d，d1a43+d3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13（5分）设点o为坐标原点，a（2，1），且点f（x，y）坐标满足，则|cosaop的最大值为考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对|cosaop进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果解答：解：满足的可行域如图所示，又|cosaop=，=（2，1），=（x，y），|cosaop=由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）|cosaop的最大值为：故答案为：点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解14（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，f为焦点，a，b，c为抛物线上的三点，且满足，则抛物线的方程为y2=4x考点：抛物线的标准方程 专题：计算题分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出a，b，c三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|fa|，|fb|和|fc|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0xa=x1+，同理xb=x2+，xc=x3+|fa|=x1+=x1+p，同理有|fb|=x2+=x2+p，|fc|=x3+=x3+p，又，x1+x2+x3+3p=6，p=2，抛物线方程为y2=4x故答案为：y2=4x点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（12分）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又pq为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由p是q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围解答：解：（1）当a=1时，p：x|1x3，q：x|2x3，又pq为真，所以p真且q真，由得2x3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为p是q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：x|ax3a（a0），q：x|2x3，所以解得1a2，所以实数a的取值范围是（1，2点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导16（12分）已知，函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且（0，），求的值考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围进一步求出角的大小解答：解：（1）已知：则：f（x）=所以：函数的最小正周期为：（2分）（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：（6分）因为：（0，），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小属于基础题型17（14分）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ad=aa1=1，ab=2，点e在棱ab上移动（1）证明：d1ea1d；（2）当e为ab的中点时，求点e到面acd1的距离；（3）ae等于何值时，二面角d1ecd的大小为考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题 分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点e在ab的任何位置，d1ea1d总是成立的（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂根据=既可以求得点e到面acd1的距离（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法过d作dhce于h，连d1h、de，则d1hce，则dhd1为二面角d1ecd的平面角解法（二）：以d为坐标原点，直线da，dc，dd1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设ae=x，则a1（1，0，1），d1（0，0，1），e（1，x，0），a（1，0，0）c（0，2，0）这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可（1）因为=（1，0，1）（1，x，1）=0，所以（2）因为e为ab的中点，则e（1，1，0），从而，设平面acd1的法向量为，从而，所以点e到平面ad1c的距离为（3）设平面d1ec的法向量，可求得，因为二面角d1ecd的大小为，所以根据余弦定理可得ae=时，二面角d1ecd的大小为解答：解法（一）：（1）证明：ae平面aa1dd1，a1dad1，a1dd1e（2）设点e到面acd1的距离为h，在acd1中，ac=cd1=，ad1=，故，而，（3）过d作dhce于h，连d1h、de，则d1hce，dhd1为二面角d1ecd的平面角设ae=x，则be=2x在rtd1dh中，dh=1在rtade中，de=，在rtdhe中，eh=x，在rtdhc中ch=，在rtcbe中ce=时，二面角d1ecd的大小为解法（二）：以d为坐标原点，直线da，dc，dd1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设ae=x，则a1（1，0，1），d1（0，0，1），e（1，x，0），a（1，0，0）c（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）（1，x，1）=0，所以（2）因为e为ab的中点，则e（1，1，0），从而，设平面acd1的法向量为，则也即，得，从而，所以点e到平面ad1c的距离为（3）设平面d1ec的法向量，由令b=1，c=2，a=2x，依题意（不合，舍去），ae=时，二面角d1ecd的大小为点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力18（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块oabc，其中oae是一个游泳池，计划在地块oabc内修一条与池边ae相切的直路l（宽度不计），切点为m，并把该地块分为两部分现以点o为坐标原点，以线段oc所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边ae满足函数y=x2+2（0x）的图象，且点m到边oa距离为（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块oabc在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：不等式的解法及应用；直线与圆分析：（）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=x2+2（0x）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（）求出x=t时的抛物线y=x2+2（0x）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0t）上的极大值，也就是最大值解答：解：（i）y=x2+2，y=2x，过点m（t，t2+2）的切线的斜率为2t，所以，过点m的切线方程为y（t2+2）=2t（xt），即y=2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y22=0；（）由（i）知，切线l的方程为y=2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段ab交点为f（），令y=0，得x=，故切线l与线段oc交点为（）地块oabc在切线l右上部分为三角形fbg，如图，则地块oabc在直路l不含泳池那侧的面积为s=（2）2=4t=4（t+）2当且仅当t=1时，取等号 当t=100米时，地块oabc在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值属中档题型19（14分）已知如图，椭圆方程为（4b0）p为椭圆上的动点，f1、f2为椭圆的两焦点，当点p不在x轴上时，过f1作f1pf2的外角平分线的垂线f1m，垂足为m，当点p在x轴上时，定义m与p重合（1）求m点的轨迹t的方程；（2）已知o（0，0）、e（2，1），试探究是否存在这样的点q：q是轨迹t内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且oeq的面积soeq=2？若存在，求出点q的坐标，若不存在，说明理由考点：圆与圆锥曲线的综合 专题：计算题；数形结合分析：（1）延长f1m与f2p的延长线相交于点n，连接om，利用条件求出m是线段nf1的中点，转化出|om|=4即可求出m点的轨迹t的方程；（2）可以先观察出轨迹t上有两个点a（4，0），b（4，0）满足soea=soeb=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，知道符合条件的点均在过a、b作直线oe的两条平行线l1、l2上，再利用点q是轨迹t内部的整点即可求出点q的坐标解答：解：（1）当点p不在x轴上时，延长f1m与f2p的延长线相交于点n，连接om，npm=mpf1，nmp=pmf1pnmpf1mm是线段nf1的中点，|pn|=|pf1|（2分）|om|=|f2n|=（|f2p|+|pn|）=（|f2p|+|pf1|）点p在椭圆上|pf2|+|pf1|=8|om|=4，（4分）当点p在x轴上时，m与p重合m点的轨迹t的方程为：x2+y2=42（6分）（2）连接oe，易知轨迹t上有两个点a（4，0），b（4，0）满足soea=soeb=2，分别过a、b作直线oe的两条平行线l1、l2同底等高的两个三角形的面积相等符合条件的点均在直线l1、l2上（7分）直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点q（x，y）（x，yz）q在轨迹t内，x2+y216（9分）分别解与得与（11分）x，yzx为偶数，在上x=2，0，2对应的y=1，2，3在上x=2，0，2，对应的y=3，2，1（13分）满足条件的点q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（2，1），（0，2），（2，3），（2，3），（0，2），（2，1）（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法在求动