江苏省13市中考数学试题分类解析汇编 专题11 四边形问题.doc

专题11：四边形问题1. （2015年江苏连云港3分）已知四边形abcd，下列说法正确的是【 】a. 当ad=bc，abdc时，四边形abcd是平行四边形 b. 当ad=bc，ab=dc时，四边形abcd是平行四边形 c. 当ac=bd，ac平分bd时，四边形abcd是矩形 d. 当ac=bd，acbd时，四边形abcd是正方形【答案】b【考点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，a不正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，b正确；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，c不正确；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，d不正确.故选b2. （2015年江苏连云港3分）如图，o是坐标原点，菱形oabc的顶点a的坐标为，顶点c在x轴的负半轴上，函数的图象经过顶点b，则k的值为【 】a. b. c. d. 【答案】 c【考点】菱形的性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】根据点a的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点b的坐标，然后利用待定系数法求出k的值：如答图，过点作于点，a的坐标为，.在中，根据勾股定理，得.菱形oabc的顶点a的坐标为，顶点c在x轴的负半轴上，点b的坐标为.函数的图象经过顶点b，.故选c3. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形abcd中，ab=4，ad=5，ad、ab、bc分别与o相切于e、f、g三点，过点d作o的切线交bc于点m，则dm的长为【 】a. b. c. d. 【答案】a.【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接，则根据矩形和切线的性质知，四边形都是正方形.ab=4，.ad=5，.设gm=nm=x，则.在中，由勾股定理得：，即，解得，.故选a.4. （2015年江苏徐州3分）如图，菱形中，对角线ac、bd交于点o，e为ad边中点，菱形abcd的周长为28，则oe的长等于【 】a. b. c. d. 【答案】a.【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上中线的性质. 【分析】四边形abcd是菱形，且周长为28，.e为ad边中点，根据直角三角形斜边上中线等于斜边 一半的性质，得.故选a.5. （2015年江苏常州2分）如图，的对角线ac、bd相交于点o，则下列说法一定正确的是【 】a. b. c. d. 【答案】c【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质进行判断：平行四边形的对角线不一定相等，a错误；平行四边形的对角线不一定互相垂直，b错误；平行四边形的对角线互相平分，c正确；平行四边形的对角线与边不一定垂直，d错误故选c1. （2015年江苏苏州3分）如图，四边形abcd为矩形，过点d作对角线bd的垂线，交bc的延长线于点e，取be的中点f，连接df，df=4设ab=x，ad=y，则的值为 【答案】16.【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理. 【分析】四边形abcd为矩形，ab=x，ad=y，dc=x，bc=y.在中，点f是斜边be的中点，df=4，bf= df=4.在中，即.2. （2015年江苏泰州3分）如图， 矩形中，ab=8，bc=6，p为ad上一点，将abp 沿bp翻折至ebp， pe与cd相交于点o，且oe=od，则ap的长为 2-1-07【答案】.【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 【分析】如答图，四边形是矩形，.根据折叠对称的性质，得，.在和中，. .设，则，.在中，根据勾股定理，得，即.解得.ap的长为.3. （2015年江苏无锡2分）如图，已知矩形abcd的对角线长为8cm，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点，则四边形efgh的周长等于 cm【答案】16【考点】矩形的性质；菱形的判定和性质；三角形中位线定理.【分析】如答图，连接，四边形abcd是矩形，ac=bd=8cm，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点，.四边形efgh的周长等于.4. （2015年江苏徐州3分）如图，正方形abcd的边长为1，以对角线ac为边作第二个正方形，再以对角线ae为边作第三个正方形aegh，如此下去，第n个正方形的边长为 【答案】.【考点】探索规律题（图形的变化类）；正方形的性质. 【分析】根据正方形的性质，知：第一个正方形abcd的边长为，第二个正方形acef的边长为，第三个正方形aegh的边长为，第四个正方形的边长为，第个正方形的边长为.5. （2015年江苏盐城3分）如图，在矩形abcd中，ab=4，ad=3，以顶点d为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点a、b、c中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 【答案】.【考点】矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系；分类思想的应用.【分析】如答图，连接， ab=4，ad=3，根据勾股定理，得bd=5.，当时，点a、b、c中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外.r的取值范围是.6. （2015年江苏盐城3分）如图，在矩形abcd中，ab=4，ad=2，以点a为圆心，ab长为半径画圆弧交边dc于点e，则弧be的长度为 【答案】.【考点】矩形的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；弧长的计算.【分析】如答图，连接，根据题意，知ae= ab=4，在中，ae=4，ad=2，.7. （2015年江苏南通3分）如图，矩形abcd中，f是dc上一点，bfac，垂足为e，cef的面积为s1，aeb的面积为s2，则的值等于 【答案】.【考点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质【分析】，设ad=bc=a，则ab=cd=2a. .bfac，cbecab，aebabc. .cefaeb，.8. （2015年江苏镇江2分）如图，中，e为ad的中点，be，cd的延长线相交于点f，若def的面积为1，则的面积等于 【答案】4【考点】平行四边形的性质；全等、相似三角形的判定和性质【分析】四边形abcd是平行四边形，adbc，abcd，ad=bc.abcd，a=edf.又ae=de，aeb=def，abedfe（sas）.fd=ab=dc，.adbc，fbcfed. .， .9. （2015年江苏镇江2分）如图，abc和dbc是两个具有公共边的全等三角形，ab=ac=3cm，bc=2cm，将dbc沿射线bc平移一定的距离得到d1b1c1，连接ac1，bd1如果四边形abd1c1是矩形，那么平移的距离为 cm【答案】7【考点】面动平移问题；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质【分析】如答图，过点a作aebc于点e，aeb=aec1=90，bae+abc=90.ab=ac，bc=2，be=ce=bc=1，四边形abd1c1是矩形，bac1=90.abc+ac1b=90. bae=ac1b.abec1ba. .ab=3，be=1，.bc1=9.cc1=bc1bc=92=7，即平移的距离为71. （2015年江苏连云港10分）如图，将平行四边形abcd沿对角线bd进行折叠，折叠后点c落在点f处，df交ab于点e(1）求证；edb=ebd；(2）判断af与db是否平行，并说明理由【答案】解：（1）证明：由折叠可知：cdb=edb，四边形abcd是平行四边形，dcab. cdb=ebd.edb=ebd.（2）afdb. 理由如下：edb=ebd，de=be.由折叠可知：dc=df，四边形abcd是平行四边形，dc=ab. df=ab.ae=ef. eaf=efa.在bed中，edb+ebd+deb=180，2edb+deb=180.同理，在aef中，2efa+aef=180.deb=aef，edb=efa. afdb【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质；平行的判定和性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定和性质【分析】（1）一言面，由折叠可得cdb=edb，另一方面，由四边形abcd是平行四边形可得dcab，从而得到cdb=ebd，进而得出结论.（2）可判定afdb，首先证明ae=ef，得出afe=eaf，然后根据三角形内角和定理与等式性质可证明bde=afe，从而得出afbd的结论.2. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形abcd与边长为的正方形aefg按图1位置放置，ad与ae在同一直线上，ab与ag在同一直线上（1）小明发现dgbe，请你帮他说明理由（2）如图2，小明将正方形abcd绕点a逆时针旋转，当点b恰好落在线段dg上时，请你帮他求出此时be的长（3）如图3，小明将正方形abcd绕点a继续逆时针旋转，将线段dg与线段be相交，交点为h，写出ghe与bhd面积之和的最大值，并简要说明理由【答案】解：（1）四边形abcd和四边形aefg都为正方形，ad=ab，dag=bae=90，ag=ae，adgabe（sas）.agd=aeb.如答图1，延长eb交dg于点h，在adg中，agd+adg=90，aeb+adg=90.在edh中，aeb+adg+dhe=180，dhe=90. dgbe.（2）四边形abcd和四边形aefg都为正方形，ad=ab，dab=gae=90，ag=ae，dab+bag=gae+bag，即dag=bae，adgabe（sas）.dg=be.如答图2，过点a作amdg交dg于点m，则amd=amg=90，bd为正方形abcd的对角线，mda=45.在rtamd中，mda=45，ad=2，.在rtamg中，根据勾股定理得：，.（3）ghe和bhd面积之和的最大值为6，理由如下：对于egh，点h在以eg为直径的圆上，当点h与点a重合时，egh的高最大；对于bdh，点h在以bd为直径的圆上，当点h与点a重合时，bdh的高最大.ghe和bhd面积之和的最大值为2+4=6【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理；数形结合思想的应用【分析】（1）由四边形abcd与四边形aefg为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用sas得到adgabe，利用全等三角形对应角相等得agd=aeb，作辅助线“延长eb交dg于点h”，利用等角的余角相等得到dhe=90，从而利用垂直的定义即可得dgbe.（2）由四边形abcd与四边形aefg为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用sas得到adgabe，利用全等三角形对应边相等得到dg=be，作辅助线“过点a作amdg交dg于点m”，则amd=amg=90，在rtamd中，根据等腰直角三角形的性质求出am的长，即为dm的长，根据勾股定理求出gm的长，进而确定出dg的长，即为be的长.（3）ghe和bhd面积之和的最大值为6，理由为：对两个三角形，点h分别在以eg为直径的圆上和以bd为直径的圆上，当点h与点a重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值3. （2015年江苏南京8分）如图，点e、f分别在ab、cd上，连接ef，afe、cfe的平分线交于点g，bef、dfe的平分线交于点h（1）求证：四边形egfh是矩形（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过g作mnef，分别交ab、cd于点m、n，过h作pqef，分别交ab、cd交于点p、q，得到四边形mnqp此时，他猜想四边形mnqp是菱形，请在下列图中补全他的证明思路【答案】解：（1）证明：eh平分bef，fh平分dfe，abcd， 又，同理可证，eg平分aef，eh平分bef，点a、e、b在同一条直线上，aeb=180，即aef+bef=180，即 geh=90四边形egfh是矩形（2）fg平分cfe；ge=fh；gme=hqh；gef=efh【考点】阅读理解型问题；角平分线的定义；平行线的性质；矩形的判定；全等三角形的判定和性质；菱形的判定 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，证明，和geh=90即可证明结论（2）结合全等三角形的判定和性质，根据菱形的判定找出相应的思路4. （2015年江苏泰州12分）如图，正方形abcd的边长为8cm，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da 上的动点，且ae=bf=cg=dh.（1）求证：四边形efgh是正方形；（2）判断直线eg是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形efgh面积的最小值.【答案】解：（1）证明：四边形abcd是正方形，.，.四边形efgh是菱形.，.四边形efgh是正方形.（2）直线eg经过定点-正方形abcd的中心. 理由如下：如答图，连接，、相交于点，四边形abcd是正方形，abdc.，四边形bgde是平行四边形.，即点是正方形abcd的中心.直线eg经过定点-正方形abcd的中心.（3）设，则，当时，四边形efgh面积的最小值为32.【考点】单动点和定值问题；正方形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质；勾股定理；二次函数的应用（实际问题）.【分析】（1）由证明，即可证明四边形efgh是一个角是直角的菱形-正方形.（2）作辅助线“连接，、相交于点”构成平行四边形bgde，根据平行四边形对角线互分的性质即可证明直线eg经过定点-正方形abcd的中心.（3）设，根据正方形的性质和勾股定理得到关于的二次函数，应用二次函数最值原理求解即可.5. （2015年江苏徐州8分）如图，点a，b，c，d在同一条直线上，点e，f分别在直线ad的两侧，且ae=df，a=d，ab=dc（1）求证：四边形dfce是平行四边形；（2）若ad=10，ec=3，ebd=60，则ab= 时，四边形bfce是菱形【答案】解：（1）ae=df，a=d，ab=dc，.四边形dfce是平行四边形.（2）3.5. 【考点】全等三角形的判定和性质；平行的判定；平行四边形的判定；菱形的性质；等边三角形的判定和性质.【分析】（1）由已知，根据证明，从而得到，根据等角的补角相等得到，根据内错角相等两直线平行的判定得到，进而根据一组对边平行且相等垢四边形是平行四边形的判定而得证.（2）若四边形bfce是菱形，则，ebd=60，是等边三角形.ec=3，.ad=10，ab=dc，.6. （2015年江苏盐城10分）如图，把efp按图所示的方式放置在菱形abcd中，使得顶点e、f、p分别在线段ab、ad、ac上.已知ep=fp=4，ef=，bad=60，且ab.（1）求epf的大小；（2）若ap=6，求ae+af的值；（3）若efp的三个顶点e、f、p分别在线段ab、ad、ac上运动，请直接写出ap长的最大值和最小值.【答案】解：（1）如答图1，过点作于点，ep=fp=4，ef=，.在中，.（2）如答图2，过点作于点，过点作于点，在菱形abcd中，.根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得.在和中，.在菱形abcd中，bad=60，.在中，.同理，.（3）ap长的最大值是8，最小值是4.【考点】多动点问题；菱形的性质；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；数形结合思想的应用.【分析】（1）作辅助线“过点作于点”，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，在中，根据正弦函数定义和60的三角函数值求得，进而求得.（2）作辅助线“过点作于点，过点作于点”，构成一对全等三角形，得到，在和中，分别求得，从而根据求解即可.（3）如答图3，当，点p在的右侧时，有最大值，当，点p在的左侧时，有最小值.设与相交于点，ep=fp，.，.，.同理，.ap长的最大值是8，最小值是4.7. （2015年江苏扬州10分）如图，将沿过点a的直线折叠，使点d落到ab边上的点处，折痕交cd边于点e，连接be.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若be平分abc，求证：.【答案】证明：（1）如答图，将沿过点a的直线折叠，.四边形是平行四边形，. . .，. 四边形是平行四边形.（2）如答图，be平分abc，.四边形是平行四边形，. .由（1），即.在中，由勾股定理，得.【考点】折叠问题；折叠对称的性质；平行四边形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理.【分析】（1）要证四边形是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面，由四边形是平行四边形可有；另一方面，由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得，从而得证.（2）要证，根据勾股定理，只要的即可，而要证，一方面，由be平分abc可得（如答图，下同）；另一方面，由可得，从而得到，结合（1）即可根据三角形内角和定理得到，进而得证.8. （2015年江苏常州8分）如图，在中，bcd=120，分别延长dc、bc到点e，f，使得bce和cdf都是正三角形（1）求证：ae=af；（2）求eaf的度数【答案】解：（1）证明：四边形abcd是平行四边形，bad=bcd=120，abc=adc，ab=cd，bc=ad.bce和cdf都是正三角形，be=bc，df=cd，ebc=cdf=60.abe=fda，ab=df，be=ad.在abe和fda中，abefda（sas）.ae=af.（2）abefda，aeb=fad.abe=60+60=120，aeb+bae=60.fad+bae=60，eaf=12060=60【考点】全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质【分析】（1）由平行四边形的性质得出bad=bcd=120，abc=adc，ab=cd，bc=ad，由等边三角形的性质得出be=bc，df=cd，ebc=cdf=60，从而证出abe=fda，ab=df，be=ad，根据sas证明abefda，得出对应边相等即可.（2）由全等三角形的性质得出aeb=fad，求出aeb+bae=60，得出fad+bae=60，即可得出eaf的度数9. （2015年江苏淮安8分）已知：如图，在矩形abcd中，点e、f在边ad上，且aedf，求证：bfce.【答案】证明：四边形abcd是矩形，.又aedf，afde.bfce.【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质. 【分析】要证bfce，只要证它们是全等三角形的对应边即可. 考察和，一方面，由矩形的性质可得；另一方面，由已知aedf，根据等量加等量和相等得 afde，从而应用即可证明.10. （2015年江苏南通8分）如图，在中，点e，f分别在ab，dc上，且eddb，fbbd（1）求证：aedcfb；（2）若a=30，deb=45，求证：da=df【答案】证明：（1）四边形abcd是平行四边形，ad=cb，a=c，adcb. adb=cbd.eddb，fbbd，edb=fbd=90.ade=cbf.在aed和cfb中，aedcfb（asa）.（2）如答图，过点d作dhab，垂足为h，在rtadh中，a=30，da=2dh.在rtdeb中，deb=45，eb=2dh.da= eb.aedcfb，ae=cf.ab=dc，eb=df.da=df【考点】平行四边形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；含30度角的直角三角形的性质；等腰直角三角形的性质【分析】（1）由四边形abcd为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用asa即可得证.（2）作辅助线“过点d作dhab，垂足为h”，一方面，在rtadh中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到ad=2dh，在rtdeb中，利用等腰直角三角形的性质得到eb=2dh，从而得到da= eb；另一方面，由aedcfb得到ae=cf，由四边形abcd是平行四边形得到ab=dc，从而证