广东省揭阳市世铿中学高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省揭阳市世铿中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1abc中，a=45，b=60，a=10，则b等于（）abcd2已知1，a1，a2，8成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，那么的值为（）a5b5cd3下列说法中，正确的是（）a命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题b命题“存在xr，x2x0”的否定是：“任意xr，x2x0”c命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题d已知xr，则“x1”是“x2”的充分不必要条件4在数列an中，a1=2，2an+12an=1，则a101的值为（）a49b50c51d525已知abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2bc，bc=4，则abc的面积为（）ab1cd26已知f是抛物线y2=x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|+|bf|=3，则线段ab的中点到y轴的距离为（）ab1cd7已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组给定若m（x，y）为d上的动点，点a的坐标为（，1），则z=的最大值为（）a4b3c4d38已知a，b是实数，则“a=1且b=2”是“a2+b22a4b+5=0”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件9已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1=2ab，e为aa1中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为（）abcd10已知不等式，对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是（）a2b3c4d11已知双曲线的右焦点为f，若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）a（1，2b（1，2）c2，+）d（2，+）12椭圆+=1上有n个不同的点p1，p2，p3，pn，f是右焦点，|p1f|，|p2f|，|pnf|组成等差数列，且公差d，则n的最大值是（）a99b100c199d200二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13已知t0，则函数的最小值为14已知椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，点p在椭圆上，当时，f1pf2的面积为15在abc中，sin2asin2b+sin2csin bsin c，则a的取值范围是16已知圆x2+y26y7=0与抛物线x2=2py（p0）的准线相切，则p=三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和18在abc中，角a，b，c的对边分别为，b=5，abc的面积为（）求a，c的值；（）求的值19已知函数的定义域为a，g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域为b（1）求a（2）记p：xa，q：xb，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围20如图所示的长方体abcda1b1c1d1中，底面abcd是边长为2的正方形，o为ac与bd的交点，m是线段b1d1的中点（）求证：bm平面d1ac；（）求证：d1o平面ab1c；（）求二面角bab1c的大小21数列an的前n项和为sn，若对于任意的正整数n都有sn=2an3n（1）设bn=an+3，求证：数列bn是等比数列，并求出an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和22在直角坐标系中，设椭圆c： +=1（ab0）的左、右两个焦点分别为f1，f2过右焦点f2且与x轴垂直的直线l与椭圆c相交，其中一个交点为m（，1）（1）求椭圆c的方程； （2）设椭圆c的一个顶点为b（0，b），直线bf2交椭圆c于另一点n，求f1bn的面积2015-2016学年广东省揭阳市世铿中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1abc中，a=45，b=60，a=10，则b等于（）abcd【考点】正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】根据正弦定理的式子将题中的数据代入，得，解之即可得到边b的大小【解答】解：abc中，a=45，b=60，a=10，由正弦定理，得解之可得b=故选：d【点评】本题给出三角形两角及其一角的对边，求另外一角的对边，着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题2已知1，a1，a2，8成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，那么的值为（）a5b5cd【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【专题】计算题【分析】由1，a1，a2，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a1与a2的两个关系式，联立组成方程组，求出方程组的解得到a1与a2的值，再由1，b1，b2，b3，4成等比数列，利用等比数列的性质求出b12=4，再根据等比数列的性质得到b12=b20，可得出b2小于0，开方求出b2的值，把a1，a2及b2的值代入所求式子中，化简即可求出值【解答】解：1，a1，a2，8成等差数列，2a1=1+a2，2a2=a1+8，由得：a1=2a28，代入得：2（2a28）=1+a2，解得：a2=5，a1=2a28=108=2，又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b12=b20，即b20，b22=（1）（4）=4，开方得：b2=2，则=5故选a【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等比数列的性质，熟练掌握性质是解本题的关键，同时在求b2值时，应先判断得出b2的值小于0，进而开方求出3下列说法中，正确的是（）a命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题b命题“存在xr，x2x0”的否定是：“任意xr，x2x0”c命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题d已知xr，则“x1”是“x2”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】a原命题的逆命题是“若ab，则am2bm2”是假命题，由于m=0时不成立；b利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；c由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；dxr，则“x1”是“x2”的必要不充分条件，即可判断出正误【解答】解：a命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是“若ab，则am2bm2”是假命题，m=0时不成立；b命题“存在xr，x2x0”的否定是：“任意xr，x2x0”，正确；c“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；dxr，则“x1”是“x2”的必要不充分条件，因此不正确故选：b【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题4在数列an中，a1=2，2an+12an=1，则a101的值为（）a49b50c51d52【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】由数列递推式得到数列是等差数列并求得公差，代入等差数列的通项公式得答案【解答】解：在数列an中，a1=2，由2an+12an=1，得数列an是首项为2，公差为的等差数列，故选：d【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题5已知abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2bc，bc=4，则abc的面积为（）ab1cd2【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】由已知及余弦定理可求cosa，从而可求sina的值，结合已知由三角形面积公式即可得解【解答】解：a2=b2+c2bc，由余弦定理可得：cosa=，又0a，可得a=60，sina=，bc=4，sabc=bcsina=故选：c【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查6已知f是抛物线y2=x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|+|bf|=3，则线段ab的中点到y轴的距离为（）ab1cd【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出a，b的中点横坐标，求出线段ab的中点到y轴的距离【解答】解：f是抛物线y2=x的焦点，f（）准线方程x=，设a（x1，y1），b（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|af|=，|bf|=，|af|+|bf|=3解得，线段ab的中点横坐标为，线段ab的中点到y轴的距离为故选c【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离7已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组给定若m（x，y）为d上的动点，点a的坐标为（，1），则z=的最大值为（）a4b3c4d3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】不等式的解法及应用【分析】首先画出可行域，z=代入坐标变为z=x+y，即y=x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值【解答】解：如图所示：z=x+y，即y=x+z首先做出直线l0：y=x，将l0平行移动，当经过b点时在y轴上的截距最大，从而z最大因为b（，2），故z的最大值为4故选：c【点评】本题考查线形规划问题，考查数形结合解题8已知a，b是实数，则“a=1且b=2”是“a2+b22a4b+5=0”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】判断出若“a=1且b=2”成立推出“a2+b22a4b+5=0”一定成立，反之，若“a2+b22a4b+5=0”成立，通过解方程判断出“a=1且b=2”成立，利用充要条件的有关定义得到结论【解答】解：a2+b22a4b+5=（a1）2+（b2）2=0，a=1，b=2，显然a=1且b=2”时“a2+b22a4b+5=0，故“a=1且b=2”是“a2+b22a4b+5=0”的充要条件故选：c【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该两边互相推一下，然后利用充要条件的有关定义进行判断，属于基础题9已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1=2ab，e为aa1中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为（）abcd【考点】异面直线及其所成的角【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解本题采用几何法较为简单：连接a1b，则有a1bcd1，则a1be就是异面直线be与cd1所成角，由余弦定理可知cosa1be的大小【解答】解：如图连接a1b，则有a1bcd1，a1be就是异面直线be与cd1所成角，设ab=1，则a1e=ae=1，be=，a1b=由余弦定理可知：cosa1be=故选c【点评】本题主要考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力10已知不等式，对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是（）a2b3c4d【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】根据基本不等式即可求出a的取值范围【解答】解：（x+y）（）=1+a+1+a+2=1+a+2=（）2，不等式，对任意正实数x，y恒成立，（）29，即3，a4，即正实数a的最小值4故选：c【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件11已知双曲线的右焦点为f，若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）a（1，2b（1，2）c2，+）d（2，+）【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：已知双曲线的右焦点为f，若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2=，e2，故选c【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件12椭圆+=1上有n个不同的点p1，p2，p3，pn，f是右焦点，|p1f|，|p2f|，|pnf|组成等差数列，且公差d，则n的最大值是（）a99b100c199d200【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用等差数列的通项公式和|pif|的最大值和最小值分别为a+c，ac，即可得出【解答】解：|p1f|，|p2f|，|pnf|组成等差数列，|pnf|=|p1f|+（n1）d|pnf|a+c，|p1f|ac，|pnf|p1f|（a+c）（ac）=2c=2，又公差d，n的最大值是200故选d【点评】熟练掌握椭圆的性质、等差数列的通项公式是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13已知t0，则函数的最小值为2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题【分析】将函数变为4，用基本不等式求解即可【解答】解：，当且仅当t=1时等号成立，故ymin=2【点评】考查灵活变形的能力及基本不等式14已知椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，点p在椭圆上，当时，f1pf2的面积为1【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义【专题】计算题【分析】先设出|pf1|=m，|pf2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，结合勾股定理可得答案【解答】解：设|pf1|=m，|pf2|=n，由椭圆的定义可知m+n=4因为，所以m2+n2=（2c）2=4c2=12，所以nm=2因为，所以f1pf2的是直角三角形，即=nm，所以=1故答案为1【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义考查了考生对所学知识的综合运用15在abc中，sin2asin2b+sin2csin bsin c，则a的取值范围是（0，【考点】余弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosa，将得出的不等式变形后代入表示出的cosa中，得出cosa的范围，由a为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出a的取值范围【解答】解：利用正弦定理化简sin2asin2b+sin2csinbsinc得：a2b2+c2bc，变形得：b2+c2a2bc，cosa=，又a为三角形的内角，则a的取值范围是（0，故答案为：（0，【点评】此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键16已知圆x2+y26y7=0与抛物线x2=2py（p0）的准线相切，则p=2【考点】抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系【专题】计算题；数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先把圆的方程整理标准方程，求得圆心和半径，进而根据圆与抛物线的准线相切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径，进而求得p【解答】解：整理圆方程得（x3）2+y2=16，圆心坐标为（3，0），半径r=4，圆与抛物线的准线相切，圆心到抛物线准线的距离为半径，即=4，解得p=2故答案为：2【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程，点到直线的距离及圆与直线的位置关系解题的关键是利用圆和抛物线的标准方程求得圆心，半径及抛物线的准线方程三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和【考点】等比数列的通项公式；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和【解答】解：（）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=故数列an的通项式为an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=2（）则+=2（1）+（）+（）=，所以数列的前n项和为【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题18在abc中，角a，b，c的对边分别为，b=5，abc的面积为（）求a，c的值；（）求的值【考点】解三角形；两角和与差的正弦函数【专题】计算题【分析】（）利用已知条件及三角形的面积公式求得a，进而利用余弦定理求得c（）利用（）中求得的三边及余弦定理求得cosa的值，然后通过同角三角函数的基本关系求得sina的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案【解答】解：（）由已知，b=5，因为 ，即 ，解得 a=8由余弦定理可得：，所以 c=7（）由（）及余弦定理有，由于a是三角形的内角，易知 ，所以 =【点评】本题主要考查了解三角形及正弦定理和余弦定理的应用考查了学生利用三角函数的基本性质处理边角问题的能力19已知函数的定义域为a，g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域为b（1）求a（2）记p：xa，q：xb，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】函数的定义域及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数的性质及应用【分析】（1）要使f（x）有意义，则需由3（x+2）（2x）0，按二次不等式的解法求解即可，（2）利用不等式的解法求解出集合a，b，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围【解答】解：（1）3（x+2）（2x）0x1或x1a=x|x1或x1（2）g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域b由（xa1）（2ax）0（a1）解得，b=x|2axa+1p是q的必要不充分条件，p对应的集合a包含q对应的集合b，即ab，2a1或a+11，解得a1或a2故实数a的取值范围为： a1或a2【点评】本题通过求函数定义域考查必要条件，充分条件与充要条件，本题解题的关键是根据条件类型求参数取值范围问题，进一步转化为集合间的关系解决，本题是一个基础题20如图所示的长方体abcda1b1c1d1中，底面abcd是边长为2的正方形，o为ac与bd的交点，m是线段b1d1的中点（）求证：bm平面d1ac；（）求证：d1o平面ab1c；（）求二面角bab1c的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】综合题【分析】（）连接d1o，通过证明d1obm，去证bm平面d1ac（通过证明 ob1d1oacd1o，由线面垂直的判定定理去证d1o平面ab1c，（）在平面abb1中过点b作beab1于e，连接ec，证明bec是二面角bab1c的平面角，再再直角三角形bec中求解【解答】解：（）连接d1o，如图，o、m分别是bd、b1d1的中点，bd1d1b是矩形，四边形d1obm是平行四边形，d1obmd1o平面d1ac，bm平面d1ac，bm平面d1ac（）连接ob1，正方形abcd的边长为2，ob1=2，d1o=2，则ob12+d1o2=b1d12，ob1d1o在长方体abcda1b1c1d1中，acbd，acd1d，ac平面bdd1b1，又d1o平面bdd1b1，acd1o，又acob1=o，d1o平面ab1c（）在平面abb1中过点b作beab1于e，连接ec，cbab，cbbb1，cb平面abb1，又ab1平面abb1，cbab1，又beab1，且cbbe=b，ab1平面ebc，而ec平面ebc，ab1ecbec是二面角bab1c的平面角在rtbec中，bc=2，bec=60，二面角bab1c的大小为60【点评】本题考查直线和平面位置关系及其判定，二面角求解，考查转化的思想方法（线线位置关系转化为线面位置关系）空间想象能力，计算能力21数列an的前n项和为sn，若对于任意的正整数n都有sn=2an3