广东省揭阳市惠来一中、揭东一中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省揭阳市惠来一中、揭东一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（单选题，每小题5分，共60分，请将答案填在答题卷上）1设集合m=x|x23x40，n=x|0x5，则mn=（）a（0，4b0，4）c1，0）d（1，02命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）a所有不能被2整除的整数都是偶数b所有能被2整除的整数的整数都不是偶数c存在一个不能被2整除的整数是偶数d存在一个能被2整除的整数不是偶数3设数列an的前n项和sn=n2，则a8的值为（）a15b16c49d644“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（）a充分必要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件5命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）a“若一个数是负数，则它的平方不是正数”b“若一个数的平方是正数，则它是负数”c“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”d“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”6抛物线x2=4y上一点a的纵坐标为4，则点a与抛物线焦点的距离为（）a2b3c4d57设函数f（x）=，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），且y=f（x）的图象经过点，则实数m的值为（）a1b2c3d48设不等式组，表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）abcd9设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（）a5bcd10abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd11一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的表面积等于（）ab16c32d12已知一元二次不等式f（x）0的解集为x|x1或x，则f（10x）0的解集为（）ax|x1或xlg2bx|1xlg2cx|xlg2dx|xlg2二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷上）13在等比数列an中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式an=14已知z=2xy，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为15阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=16设ab0，则a2+的最小值是三、解答题（本大题共6小题，共70分，请将答案填在答题卷上）17在abc中，已知b=45，d是bc边上的一点，ad=10，ac=14，dc=6，求ab的长18已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26an的前n项和为sn（1）求an及sn；（2）令bn=（nn*），求数列an的前n项和tn19在如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab=60，fc平面abcd，aebd，cb=cd=cf（）求证：bd平面aed；（）求二面角fbdc的余弦值20椭圆e： +=1（ab0）的左焦点为f1，右焦点为f2，离心率e=过f1的直线交椭圆于a，b两点，且abf2的周长为8（1）求椭圆e的方程（2）在椭圆e上，是否存在点m（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点p，q，且poq的面积最大？若存在，求出点m的坐标及相对应的poq的面积；若不存在，请说明理由21对定义在0，1上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为g函数对任意的x0，1，总有f（x）0；当x10，x20，x1+x21时，总有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立已知函数g（x）=x2与h（x）=2xb是定义在0，1上的函数（1）试问函数g（x）是否为g函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是g函数，求实数b组成的集合22设函数f（x）=|2x+1|x2|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）xr，使f（x）t2t，求实数t的取值范围2015-2016学年广东省揭阳市惠来一中、揭东一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（单选题，每小题5分，共60分，请将答案填在答题卷上）1设集合m=x|x23x40，n=x|0x5，则mn=（）a（0，4b0，4）c1，0）d（1，0【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求解一元二次不等式化简集合m，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由x23x40，得1x4m=x|x23x40=x|1x4，又n=x|0x5，mn=x|1x4x|0x5=0，4）故选：b【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）a所有不能被2整除的整数都是偶数b所有能被2整除的整数的整数都不是偶数c存在一个不能被2整除的整数是偶数d存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数故选：d【点评】本题考查命题的否定，全称命题与通常每天都否定关系，基本知识的考查3设数列an的前n项和sn=n2，则a8的值为（）a15b16c49d64【考点】数列递推式【专题】计算题【分析】直接根据an=snsn1（n2）即可得出结论【解答】解：a8=s8s7=6449=15，故选a【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握4“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（）a充分必要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件【考点】两条直线垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m2）+3m（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m2）+3m（m+2）=0的根是否只有【解答】解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m2）x+（m+2）y3=0的斜率是，满足k1k2=1，“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m2）+3m（m+2）=0得：m=或m=2“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”充分而不必要条件故选：b【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定5命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）a“若一个数是负数，则它的平方不是正数”b“若一个数的平方是正数，则它是负数”c“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”d“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【考点】四种命题【专题】常规题型【分析】将原命题的条件与结论进行交换，得到原命题的逆命题【解答】解：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”故选b【点评】本题考查四种命题的互相转化，解题时要正确掌握转化方法6抛物线x2=4y上一点a的纵坐标为4，则点a与抛物线焦点的距离为（）a2b3c4d5【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点a的纵坐标求得点a到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=1，点a到准线的距离为4+1=5，根据抛物线的定义可知点a与抛物线焦点的距离就是点a与抛物线准线的距离，点a与抛物线焦点的距离为5，故选：d【点评】本题主要考查了抛物线的定义的运用考查了学生对抛物线基础知识的掌握属基础题7设函数f（x）=，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），且y=f（x）的图象经过点，则实数m的值为（）a1b2c3d4【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用【分析】求出f（x）解析式，将点代入f（x）列方程解出m【解答】解：f（x）=m（1+sin2x）+cos2x，y=f（x）的图象经过点，m（1+1）+0=2，解得m=1故选：a【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，特殊角的三角函数值，属于基础题8设不等式组，表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）abcd【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型【专题】概率与统计【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可【解答】解：其构成的区域d如图所示的边长为2的正方形，面积为s1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率p=故选：d【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值9设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（）a5bcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】根据题意可求得a和b的关系式，进而利用c=求得c和b的关系，最后求得a和c的关系即双曲线的离心率【解答】解：依题意可知=，求得a=2bc=be=故选c【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质解题的时候注意看双曲线的焦点所在的坐标轴，根据坐标轴的不同推断渐近线不同的形式10abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosb=（）abcd【考点】余弦定理；等比数列【专题】计算题【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：abc中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选b【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用11一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的表面积等于（）ab16c32d【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】几何体为三棱柱，若内切球面积最大，则球的大圆为棱柱底面三角形的内切圆【解答】解：由三视图可知几何体为底面是直角三角形的直三棱柱若要使其内切球最大，则球的大圆为底面三角形的内切圆由三视图可知棱柱的底面为主视图中的三角形，直角边分别为6，8，斜边为10设最大球半径为r，则6r+8r=10，解得r=2最大球的表面积为4r2=16故选b【点评】本题考查了多面体与内切球的相关知识，寻找球与多面体的关系是关键12已知一元二次不等式f（x）0的解集为x|x1或x，则f（10x）0的解集为（）ax|x1或xlg2bx|1xlg2cx|xlg2dx|xlg2【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得f（10x）0等价于110x，由指数函数的单调性可得解集【解答】解：由题意可知f（x）0的解集为x|1x，故可得f（10x）0等价于110x，由指数函数的值域为（0，+）一定有10x1，而10x可化为10x，即10x10lg2，由指数函数的单调性可知：xlg2故选：d【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷上）13在等比数列an中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式an=4n1【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的通项公式，把q代入前3项的和，进而求得a1则数列的通项公式可得【解答】解：由题意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以通项an=4n1故答案为：4n1【点评】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题14已知z=2xy，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为5【考点】简单线性规划【专题】常规题型；作图题【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2xy，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2xy过可行域内的点a时，从而得到z=2xy的最大值即可【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2xz，当直线经过a（2，1）时，z取到最大值，zmax=5故答案为：5【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解15阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9【考点】循环结构【专题】算法和程序框图【分析】用列举法，通过循环过程直接得出s与n的值，得到n=3时退出循环，即可【解答】解：循环前，s=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出s=9故答案为：9【点评】本题考查循环结构，判断框中n=3退出循环是解题的关键，考查计算能力16设ab0，则a2+的最小值是4【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】变形可得a2+=ab+a（ab）+，由基本不等式可得【解答】解：ab0，ab0，a2+=a2ab+ab+=ab+a（ab）+2+2=4，当且仅当ab=且a（ab）=即a=且b=时取等号故答案为：4【点评】本题考查基本不等式求最值，添项并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，请将答案填在答题卷上）17在abc中，已知b=45，d是bc边上的一点，ad=10，ac=14，dc=6，求ab的长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】先根据余弦定理求出adc的值，即可得到adb的值，最后根据正弦定理可得答案【解答】解：在adc中，ad=10，ac=14，dc=6，由余弦定理得cosadc=，adc=120，adb=60在abd中，ad=10，b=45，adb=60，由正弦定理得，ab=【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用属基础题18已知等差数列an满足a3=7，a5+a7=26an的前n项和为sn（1）求an及sn；（2）令bn=（nn*），求数列an的前n项和tn【考点】数列的求和；等差数列的前n项和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出（2）an=2n+1，可得bn=，再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2an=a1+（n1）d=2n+1，sn=n2+2n（2）an=2n+1，bn=，因此tn=b1+b2+bn=+=【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19在如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab=60，fc平面abcd，aebd，cb=cd=cf（）求证：bd平面aed；（）求二面角fbdc的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（）由题意及图可得，先由条件证得adbd及aebd，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；（ii）解法一：由（i）知，adbd，可得出acbc，结合fc平面abcd，知ca，ca，cf两两垂直，因此可以c为坐标原点，分别以ca，cb，cf所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，设cb=1，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，由公式求出二面角fbdc的余弦值即可；解法二：取bd的中点g，连接cg，fg，由于 cb=cd，因此cgbd，又fc平面abcd，bd平面abcd，可证明出fgc为二面角fbdc的平面角，再解三角形求出二面角fbdc的余弦值【解答】（i）证明：因为四边形abcd是等腰梯形，abcd，dab=60所以adc=bcd=120又cb=cd，所以cdb=30，因此，adb=90，adbd，又aebd且，aead=a，ae，ad平面aed，所以bd平面aed；（ii）解法一：由（i）知，adbd，同理acbc，又fc平面abcd，因此ca，cb，cf两两垂直，以c为坐标原点，分别以ca，cb，cf所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，不妨设cb=1，则c（0，0，0），b（0，1，0），d（，0），f（0，0，1），因此=（，0），=（0，1，1）设平面bdf的一个法向量为=（x，y，z），则=0， =0所以x=y=z，取z=1，则=（，1，1），由于=（0，0，1）是平面bdc的一个法向量，则cos，=，所以二面角fbdc的余弦值为解法二：取bd的中点g，连接cg，fg，由于 cb=cd，因此cgbd，又fc平面abcd，bd平面abcd，所以fcbd，由于fccg=c，fc，cg平面fcg所以bd平面fcg故bdfg，所以fgc为二面角fbdc的平面角，在等腰三角形bcd中，由于bcd=120，因此cg=cb，又cb=cf，所以gf=cg，故cosfgc=，所以二面角fbdc的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明与二面角的余弦值的求法，解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及二面角的两种求法向量法与几何法，本题是高中数学的典型题，也是高考中的热点题型，尤其是利用空间向量解决立体几何问题是近几年高考的必考题，学习时要好好把握向量法的解题规律20椭圆e： +=1（ab0）的左焦点为f1，右焦点为f2，离心率e=过f1的直线交椭圆于a，b两点，且abf2的周长为8（1）求椭圆e的方程（2）在椭圆e上，是否存在点m（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点p，q，且poq的面积最大？若存在，求出点m的坐标及相对应的poq的面积；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由已知得e=，4a=8，由此能求出椭圆e的方程（2）当poq=90时，spoq有最大值，求出点o到直线ab的距离，从而得到m2+n2=2，又，两式联立，无解，故在椭圆e上，不存在点m（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点p，q，且poq的面积最大【解答】（本小题满分12分）解：（1）椭圆e： +=1（ab0）的左焦点为f1，右焦点为f2，离心率e=，e=，3a2=4b2，abf2的周长为8，4a=8，解得a=2，b=，c=1，椭圆e的方程为：（2）不存在，理由如下：在poq中，|op|=|oq|=1，spoq=|op|oq|sinpoq当且仅当poq=90时，spoq有最大值，当poq=90时，点o到直线ab的距离为d=，d=，m2+n2=2，又，两式联立，解得：无解，故在椭圆e上，不存在点m（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点p，q，且poq的面积最大【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点到直线距离公式的合理运用21对定义在0，1上，并且同时满足以下两个条件的函数f（