高考数学40个考点总动员 考点30 圆锥曲线的综合应用（教师版） 新课标.doc

2013年新课标数学40个考点总动员 考点30 圆锥曲线的综合应用（教师版）【高考再现】热点一 轨迹问题1. (2012年高考江西卷理科20) （本题满分13分）已知三点o（0,0），a（-2,1），b（2,1），曲线c上任意一点m（x，y）满足.（1） 求曲线c的方程；（2）动点q（x0，y0）（-2x02）在曲线c上，曲线c在点q处的切线为l向：是否存在定点p（0，t）（t0），使得l与pa，pb都不相交，交点分别为d,e，且qab与pde的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。2.(2012年高考四川卷理科21) (本小题满分12分) 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围.【方法总结】求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点p(x，y)依赖于另一动点q(x0，y0)的变化而变化，并且q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；热点二 范围问题3(2012年高考天津卷理科19)（本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为，点p在椭圆上且异于两点，为坐标原点.（）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；（）若，证明：直线的斜率满足.4.(2012年高考山东卷理科21)（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为（）求抛物线的方程；（）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值5.(2012年高考浙江卷理科21) (本小题满分15分)如图，椭圆c：(ab0)的离心率为，其左焦点到点p(2，1)的距离为不过原点o的直线l与c相交于a，b两点，且线段ab被直线op平分()求椭圆c的方程；() 求abp的面积取最大时直线l的方程6.(2012年高考北京卷理科19)（本小题共14分）已知曲线.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点，求证：，三点共线.【方法总结】解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法热点三 定值问题7.(2012年高考湖南卷理科21)（本小题满分13分）www.z%zstep.co*&m在直角坐标系xoy中，曲线c1的点均在c2：（x-5）2y2=9外，且对c1上任意一点m，m到直线x=2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值.（）求曲线c1的方程；（）设p(x0,y0)（y03）为圆c2外一点，过p作圆c2的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d.证明：当p在直线x=4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值.8.(2012年高考辽宁卷理科20) (本小题满分12分) 如图，椭圆，动圆.点分别为的左、右顶点，与相交于四点（1）求直线与直线交点的轨迹方程；（2）设动圆与相交于四点，其中，.若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值9.(2012年高考福建卷理科19)（本小题满分13分）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（）求椭圆的方程。（）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究： 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。10.（2012年高考江苏卷19） （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率（1）求椭圆的离心率；（2）设a，b是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点p（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值【方法总结】1求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关热点四 存在性问题11.(2012年高考湖北卷理科21)（本小题满分13分）设a是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点a与x轴垂直的直线，d是直线i与x轴的交点，点m在直线l上，且满足丨dm丨=m丨da丨（m0,且m1）。当点a在圆上运动时，记点m的轨迹为曲线c。（i）求曲线c的方程，判断曲线c为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（）过原点且斜率为k的直线交曲线c于p、q两点，其中p在第一象限，它在y轴上的射影为点n，直线qn交曲线c于另一点h，是否存在m，使得对任意的k0，都有pqph？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。 12. (2012年高考广东卷理科20)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：的离心率e=，且椭圆c上的点到q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆c的方程；（2）在椭圆c上，是否存在点m（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点a、b，且oab的面积最大？若存在，求出点m的坐标及相对应的oab的面积；若不存在，请说明理由。【考点剖析】一明确要求能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题. 二命题方向1.直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、中点弦、最值范围、定点定值的探索与证明是命题的热点2.题型以解答题为主，注重数学思想与方法的考查难度较大.三规律总结一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”【基础练习】1(人教a版教材习题改编)直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()a相交 b相切c相离 d不确定解析直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交答案a2已知以f1(2,0)，f2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()a3 b2 c2 d43(2012成都月考)已知双曲线e的中心为原点，f(3,0)是e的焦点，过f的直线l与e相交于a，b两点，且ab的中点为n(12，15)，则e的方程为()a.1 b.1c.1 d.14(2011泉州模拟)ykx2与y28x有且仅有一个公共点，则k的取值为_解析由得ky28y160，若k0，则y2；若k0，则0，即6464k0，解得k1.故k0或k1.答案0或1【名校模拟】一基础扎实1.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)已知、分别为椭圆：的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则 的重心的轨迹方程为( ) a b c d【解析】第一步识别条件：椭圆：可以画出图像画，好图形之后，赶紧把焦点标上，顶点标上，点为椭圆上的动点，赶紧把点p标上吧。随便找个位置，但是千万别找特殊点，比如顶点！ 的重心，重心g，啥意思呢？这还有坐标系， 第二步转化条件：应该想到在向量一章里面学过这个重心的坐标表示可以用三个顶点表示啊 g（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3），再看看图形，发现太好了， 三个点中，f1,f2关于原点是对称的，x1+x2=0,y1+y2=0这下可好了。第三步看问定向：重心的轨迹方程，设g（x，y）,则p(3x,3y)，再利用p在椭圆上，坐标带进去吧第四步结论已出现：【答案】c2.（北京20112012学年度第二学期高三综合练习（二）文）（本小题共14分）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是（）求椭圆的方程；（）过作两直线，交椭圆于，四点，若，求证：为定值【命题分析】 第一问根据椭圆中a,b,c的关系以及已知中的条件列出方程组，直接解出a,b,c，从而求得椭圆方程。第二问设出直线方程，根据直线和椭圆有交点，列出方程，把源都用斜率k表示，求出倒数和。二能力拔高 3.(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为 a bc d【解析】如图： 故点的轨迹为双曲线， 且 所以，【答案】a4.(北京市西城区2012届高三下学期二模试卷理)曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线关于轴对称； 若点在曲线上，则； 若点在曲线上，则.其中，所有正确结论的序号是_5.(北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点，为动点，且直线与直线的斜率之积为（）求动点的轨迹的方程；（）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，若点在轴上，且4时，试用y0表示线段bc的长，并求pbc面积的最小值.20(河北唐山市2012届高三第三次模拟理)（本小题满分12分） 抛物线在点p处的切线l分别交x轴、y轴于不同的两点a、b，。当点p在c上移动时，点m的轨迹为d。（1）求曲线d的方程：（2）设直线l与曲线d的另一个交点为n，曲线d在点m、n处的切线分别为m、n直线m、n相交于点q，证明：pq平行于x轴。18(河北唐山市2012届高三第三次模拟文)（本小题满分12分） 抛物线在点p处的切线分别交x轴、y轴于不同的两点a、b，。当点p在c上移动时，点m的轨迹为d。（1）求曲线d的方程：（2）圆心e在y轴上的圆与直线相切于点p，当|pe|=|pa|，求圆的方程。解：（）对yx2求导，得y2x设点p(x0，x)（x00），则直线l方程为yx2x0(xx0)，在l方程中分别令y0，x0，得a(，0)、b(0，x)3分设m(x，y)，即(x，y)(x，xy)，由此得x03x，x3y，消去x0，得曲线d的方程为y3x2（x0）6分（）依题意，直线pe方程为yx(xx0)，令x0，得e(0，x)由|pe|pa|，得xx，解得x1，或x（舍去）9分于是所求圆的圆心为e(0，)，半径r|pe|，圆的方程为x2(y)212分21. （2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）(本小题满分12分) 点p为圆：上一动点，pd轴于d点，记线段pd的中点m的运动轨迹为曲线c (i)求曲线c的方程； (ii)直线经过定点（0，2）与曲线c交于a、b两点，求oab面积的最大值22(2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试文) (本小题满分12分）已知点p(l，）在椭圆上，且该椭圆的离心率为.(i )求椭圆e的方程；(ii)过椭圆e上一点p(x0，3)作圆的两条切线，分别交x轴于点b、c，求的面积.解：（）依题意得：，2分解之得椭圆的方程为5分（）把代入，求得，不妨取，易知过椭圆上一点作圆的两条切线的斜率存在，设为，则切线的方程为：，7分依题意得，化简得，则.切线的方程为：,9分令得, .12分23(唐山市20112012学年度高三年级第一次模拟考试文)中心在原点o,焦点f1、f2在x轴上的椭圆e经过点c(2, 2),且2(i )求椭圆e的方程；(ii)垂直于oc的直线l与椭圆e交于a、b两点，当以ab为直径的圆p与y轴相切时，求直线l的方程和圆p的方程.24. (2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理) (本小题满分12分) 点p为圆： (0)上一动点，pd轴于d点，记线段pd的中点m的运动轨迹为曲线c (i)求曲线c的方程； (ii)若动直线与曲线c交于a、b两点，当oab(o是坐标原点)面积取得最大值，且最大值为1时，求的值三提升自我25.(湖北省武汉市2012年普通高等学校招生适应性训练文)已知双曲线的两个焦点分别为、，则满足的周长为的动点的轨迹方程为a b c d【答案】c 【解析】依题意得知，因此满足的周长为的动点的轨迹是以点为焦点、长轴长是6的椭圆（除去长轴的端点），即动点的轨迹方程是，选c.26.(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)在直角坐标系中,的两个顶点坐标分别为,平面内两点同时满足下列条件: 则的另一个顶点的轨迹方程为 27. (2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)(本小题满分12分）已知椭圆：与x轴、y轴的正半轴分别交于a,b两点，原点o到直线ab的距离为，该椭圆的离心率为 (i)求椭圆的方程；(ii)是否存在过点的直线i与椭圆交于m,n两个不同的点，且对l外任意一点q，有成立？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.【命题分析】本题考查椭圆的方程和直线与椭圆的相交问题，考查学生利用待定系数法和解析法的解题能力. 待定系数法：如果题目给出是何曲线，可根据题目条件，恰当的设出曲线方程，然后借助条件进一步确定求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考。“定形”是指对称中心在原点，焦点在哪条对称轴上；“定式”是指根据“形”设出相应的椭圆方程的具体形式；“定量”是指利用定义法或待定系数法确定的值.本题第一问利用椭圆的离心率和直线与椭圆相切判别式为0得到两个等式求解的值；关于直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，一般先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果得到可以成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的量，则说明假设不成立.本题的第二问就是利用这个解题思路，借助韦达定理和进行转化和探索.28. (中原六校联谊2012年高三第一次联考文)（本小题满分12分）已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为 （i）求椭圆的方程； （）过左焦点f的直线与椭圆分别交于a、b两点，若三角形oab的面积为求直线ab的方程。29. (河南省郑州市2012届高三第二次质量预测文) (本小题满分12分)已知圆c的圆心为c(m,0)，m3，半径为，圆c与离心率的椭圆的其中一个公共点为a(3，l)，f1,f2分别是椭圆的左、右焦点.(i)求圆c的标准方程；(ii)若点p的坐标为（4，4），试探究直线pf1与圆c能否相切，若能，求出椭圆e和直线pf1的方程；若不能，请说明理由.【命题分析】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的相交问题等综合问