江苏省淮安市清江中学高三数学上学期10月月考试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1若集合a=0，1，集合b=0，1，则ab=2命题“xr，x2+x0”的否定是“”3函数f（x）=sin2x的最小正周期为4若幂函数f（x）=xa（aq）的图象过点（2，），则a=5若等比数列an满足a2=3，a4=9，则a6=6若，均为单位向量，且，则，的夹角大小为7若函数f（x）=是奇函数，则m=8已知点p是函数f（x）=cosx（0x）图象上一点，则曲线y=f（x）在点p处的切线斜率的最小值为9已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2+2）f（3x），则实数x的取值范围是10在abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，若a=4，b=3，a=2b，则sinb=11若直线l：y=x+a被圆（x2）2+y2=1截得的弦长为2，则a=12已知正实数x，y，z满足，则的最小值为13已知an，bn均为等比数列，其前n项和分别为sn，tn，若对任意的nn*，总有=，则=14设点p，m，n分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点p横坐标的取值范围为二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值（2）若f（）=0，f（x）=（0x），求tanx的值16已知三棱锥pabc中，pa平面abc，abbc，d为pb中点，e为pc的中点，（1）求证：bc平面ade；（2）求证：平面aed平面pab17合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域abcd，ab=100米，bc=50米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路oe、ef和of，考虑到学校整体规划，要求o是ab的中点，点e在边bc上，点f在边ad上，且oeof，如图所示（1）设boe=，试将oef的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用18啊啊如图，椭圆的中心为原点o，已知右准线l的方程为x=4，右焦点f到它的距离为2（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆c经过点f，且被直线l截得的弦长为4，求使oc长最小时圆c的方程19已知数列an中，a1=1，且点p（an，an+1）（nn*）在直线xy+1=0上（1）求数列an的通项公式；（2）若函数，求函数f（n）的最小值；（3）设表示数列bn的前项和试问：是否存在关于n的整式g（n），使得s1+s2+s3+sn1=（sn1）g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由20已知函数f（x）=xalnx，（ar）（1）若a=1，求函数f（x）在（2，f（2）处的切线方程；（2）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（3）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1若集合a=0，1，集合b=0，1，则ab=1，0，1【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合【分析】ab=x|xa或xb【解答】解：ab=1，0，1故答案为：1，0，1【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题2命题“xr，x2+x0”的否定是“xr，x2+x0”【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“xr，x2+x0”的否定“xr，x2+x0”故答案为：xr，x2+x0【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系3函数f（x）=sin2x的最小正周期为【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题【分析】利用二倍角余弦公式，将f（x）化为f（x）=cos2x+，最小正周期易求【解答】解：f（x）=sin2x=（1cos2x）=cos2x+最小正周期t=故答案为：【点评】本题考查二倍角余弦公式的变形使用，三角函数的性质，是道简单题4若幂函数f（x）=xa（aq）的图象过点（2，），则a=【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数的性质及应用【分析】由于幂函数f（x）=xa（aq）的图象过点（2，），可得，解出即可【解答】解：幂函数f（x）=xa（aq）的图象过点（2，）， =2a，a=故答案为：【点评】本题考查了幂函数的性质、指数的运算性质，属于基础题5若等比数列an满足a2=3，a4=9，则a6=27【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的性质：若p+q=m+n则有apaq=aman，列出等式求出a6的值【解答】解：等比数列an中a2a6=a42，即：3a6=81a6=27故答案为：27【点评】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，有时利用上它们的性质解决起来比较简单常用的性质由：等比数列中，若p+q=m+n则有apaq=aman，等差数列中有若p+q=m+n则有ap+aq=am+an6若，均为单位向量，且，则，的夹角大小为【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】设，的夹角为由，可得=0，利用数量积运算性质即可得出【解答】解：设，的夹角为，=2=0，12cos=0，cos=，解得=，故答案为：=【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系及其数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7若函数f（x）=是奇函数，则m=2【考点】有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】利用奇函数的性质即可得出【解答】解：函数f（x）=是奇函数，f（x）+f（x）=+=0，化为（m2）（2x1）=0，上式恒成立，m2=0，解得m=2故答案为：2【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题8已知点p是函数f（x）=cosx（0x）图象上一点，则曲线y=f（x）在点p处的切线斜率的最小值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用；三角函数的求值【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由正弦函数的单调性，即可求得范围【解答】解：函数f（x）=cosx的导数f（x）=sinx，设p（m，cosm），则曲线y=f（x）在点p处的切线斜率为f（m）=sinm，由于0m，则0sinm，则sinm0，则在点p处的切线斜率的最小值为故答案为：【点评】本题考查导数的几何意义，考查运用三角函数的性质求切线的斜率的范围，考查运算能力，属于中档题9已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2+2）f（3x），则实数x的取值范围是（1，2）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题【分析】求导确定函数在定义域上是单调的，再将不等式转化为关于x的一元二次不等式，解之得实数x的取值范围【解答】解：函数的定义域为（0，+）f（x）=+2xln20，f（x）在（0，+）上是增函数，f（x2+2）f（3x），x2+23x，1x2，实数x的取值范围是 （1，2）故答案为：（1，2）【点评】此题是知函数值的大小来求自变量的取值范围，就需知函数的单调性，用导数来判断10在abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，若a=4，b=3，a=2b，则sinb=【考点】正弦定理的应用【专题】解三角形【分析】由正弦定理可得，且sina=sin2b=2sinbcosb，故可求sinb【解答】解：a=2bsina=sin2b=2sinbcosb由正弦定理知cosb=sinb=故答案为：【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，属于基础题11若直线l：y=x+a被圆（x2）2+y2=1截得的弦长为2，则a=2【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值【解答】解：圆（x2）2+y2=1，圆心为：（2，0），半径为：1直线l：y=x+a被圆（x2）2+y2=1截得的弦长为2，直线l：y=x+a过圆心，a=2故答案为：2【点评】本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题12已知正实数x，y，z满足，则的最小值为【考点】函数的最值及其几何意义【分析】先把已知中的式子展开，出现，代入的展开式中，再用基本不等式就可求出最小值【解答】解：x，y，z满足，2x2+=yz，又=x2+=+x，y，z为正实数， +2=即，当且仅当=时等号成立的最小值为故答案为【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，做题时注意变形13已知an，bn均为等比数列，其前n项和分别为sn，tn，若对任意的nn*，总有=，则=9【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】设an，bn的公比分别为q，q，利用=，求出q=9，q=3，可得=3，即可求得结论【解答】解：设an，bn的公比分别为q，q，=，n=1时，a1=b1n=2时，n=3时，2q5q=3，7q2+7qq2q+6=0，解得：q=9，q=3，故答案为：9【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，求出公比是关键，属中档题14设点p，m，n分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点p横坐标的取值范围为【考点】向量数乘的运算及其几何意义【专题】平面向量及应用【分析】如图所示，由=2，可得点p是线段mn的中点设m（x1，y1），p（x，y），n（x2，y2）可得，（0x14），y2=x2+3，y=2x+2化为2x=1x1（0x14）令f（t）=（0t4）利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出【解答】解：如图所示，=2，点p是线段mn的中点设m（x1，y1），p（x，y），n（x2，y2），（0x14），y2=x2+3，y=2x+2化为2x=1x1（0x14）令f（t）=（0t4）f（t）=1，当2t4时，f（t）0，函数f（t）单调递减当0t2时，f（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减而极大值即最大值=3，又f（0）=1，f（4）=5点p横坐标的取值范围为故答案为：【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值（2）若f（）=0，f（x）=（0x），求tanx的值【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数线【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值【解答】解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），当sin（x+）=1，即x+=+2k（kz），x=+2k（kz）时，f（x）有最大值2； （2）f（）=sin+acos=+a=0，a=1；f（x）=sinxcosx=，即（cosx+）cosx=； 整理得，25cos2x+5cosx12=0，解得，cosx=，或cosx=；当cosx=时，sinx=，当cosx=时，sinx=；又x（0，）取；tanx=【点评】本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题16已知三棱锥pabc中，pa平面abc，abbc，d为pb中点，e为pc的中点，（1）求证：bc平面ade；（2）求证：平面aed平面pab【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证【解答】（1）证明：pe=ec，pd=db，debc，de平面ade，bc平面ade，bc平面ade；（2）证明：pa平面pac，bc平面pac，pacb，abcb，abpa=a，bc平面pab，debcde平面pab，又de平面ade，平面ade平面pab【点评】本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题17合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域abcd，ab=100米，bc=50米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路oe、ef和of，考虑到学校整体规划，要求o是ab的中点，点e在边bc上，点f在边ad上，且oeof，如图所示（1）设boe=，试将oef的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）在直角三角形中写出三边长的公式，从而得到周长公式，根据题意写出定义域即可；（2）利用换元法，设，从而得到，从而求最小值【解答】解：（1）在rtboe中，在rtaof中，在rtoef中，当点f在点d时，角最小，当点e在点c时，角最大，则，定义域为（2）设，则，则当时，总费用最低为元【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及最值的求法，属于中档题18如图，椭圆的中心为原点o，已知右准线l的方程为x=4，右焦点f到它的距离为2（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆c经过点f，且被直线l截得的弦长为4，求使oc长最小时圆c的方程【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质【专题】综合题【分析】（1）假设椭圆的标准方程，利用右准线l的方程为x=4，右焦点f到它的距离为2，即可确定几何量，从而可求椭圆的标准方程；（2）计算圆的标准方程，利用圆c经过点f，且被直线l截得的弦长为4，可确定圆心坐标之间的关系，进而可求使oc长最小时圆c的方程【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为（ab0）由题意可得，解得a=2，c=2从而b2=a2c2=4所以椭圆的标准方程为（2）设圆c的方程为（xm）2+（yn）2=r2，r0由圆c经过点f（2，0），得（2m）2+n2=r2，由圆c被l截得的弦长为4，得|4m|2+（）2=r2，联立，消去r得：n2=164m所以|oc|=n20，m4，当m=2时，|oc|有最小值2此时n=2，r=2，故所求圆c的方程为（x2）2+（y2）2=8【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查圆的标准方程，考查圆中弦长问题，解题的关键是利用待定系数法，充分利用椭圆、圆的性质19已知数列an中，a1=1，且点p（an，an+1）（nn*）在直线xy+1=0上（1）求数列an的通项公式；（2）若函数，求函数f（n）的最小值；（3）设表示数列bn的前项和试问：是否存在关于n的整式g（n），使得s1+s2+s3+sn1=（sn1）g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由【考点】等差数列的通项公式；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题【专题】计算题；压轴题【分析】（1）把点p代入直线方程，可得an+1an=1进而判断数列an是以1为首项，1为公差的等差数列数列an的通项公式可得（2）分别表示出f（n）和f（n+1），通过f（n+1）f（n）0判断f（n）单调递增，故f（n）的最小值是（3）把（1）中的an代入求得bn，进而求得最后（n1）sn1（n2）sn2=nsnn=n（sn1），判断存在关于n的整式g（x）=n【解答】解：（1）由点p（an，an+1）在直线xy+1=0上，即an+1an=1，且a1=1，数列an是以1为首项，1为公差的等差数列an=1+（n1）1=n（n2），a1=1同样满足，所以an=n（2）所以f（n）是单调递增，故f（n）的最小值是（3），可得，nsn（n1）sn1=sn1+1，（n1）sn1（n2）sn2=sn2+12s2s1=s1+1nsns1=s1+s2+s3+sn1+n1s1+s2+s3+sn1=nsnn=n（sn1），n2g（n）=n故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式即数列与不等式相结合的问题考查，考查了学生综合思维能力20已知函数f（x）=xalnx，（ar）（1）若a=1，求函数f（x）在（2，f（2）处的切线方程；（2）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（3）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题