大学经典课件之高等数学——10-6高斯公式与散度.pdf

第十章第十章 第六节第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式与散度高斯公式与散度 二 沿任意闭曲面的曲 面积分为零的条件 一 高斯公式 三 通量与散度 二 沿任意闭曲面的曲 面积分为零的条件 一 高斯公式 三 通量与散度 一 高 斯 公 式一 高 斯 公 式 若若 可表成 可表成 xy Dyxyxzzyxzyx 21 则称 则称 是是xy型空间区域 型空间区域 说明 说明 若若 可表成 可表成 yz Dzyzyxxzyxzy 21 则称 则称 是是yz型空间区域 型空间区域 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 若若 可表成 可表成 zx Dxzxzyyxzyxz 21 则称 则称 是是zx型空间区域 型空间区域 若若 即是即是xy型区域 又是型区域 又是yz型及型及zx型区 域 则称 型区 域 则称 为简单区域 为简单区域 对于一般的区域 通常可用几张辅助曲面将 其分为有限个简单区域 对于一般的区域 通常可用几张辅助曲面将 其分为有限个简单区域 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1 定理 1 设空间闭区域 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 围 成 函数 由分片光滑的闭曲面 围 成 函数 zyxP zyxQ zyxR在 在 上上具具 有一阶连续偏导数 则有公式有一阶连续偏导数 则有公式 dV z R y Q x P dSRQP coscoscos dV z R y Q x P RdxdyQdzdxPdydz 或或 这里这里 是 的整个边界曲面的外侧 是 的整个边界曲面的外侧 cos cos cos 是是 上点上点 zyx处的外法向量的方向余弦 处的外法向量的方向余弦 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 设闭区域设闭区域 在在xoy坐标面上的投影区域为坐标面上的投影区域为 xy D x y z o 由由 1 2 和 和 3 三部分组成 三部分组成 11 yxzz 22 yxzz 1 2 3 xy D 为柱面上的一部分 为柱面上的一部分 3 先对 先对 是简单区域的情况进行证明 是简单区域的情况进行证明 这里 这里 21 yxzyxz 1 取下侧 取下侧 2 取上侧 取上侧 3 取外侧 取外侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法 1 1 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR 2 2 xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR 0 3 dxdyzyxR 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 12 xy D dxdyyxzyxRyxzyxR dxdyzyxR 于是于是 dxdyzyxRdV z R dydzzyxPdV x P 同理同理 dzdxzyxQdV y Q 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法 2 1 yxz yxz D dz z R dxdydV z R xy 12 xy D dxdyyxzyxRyxzyxR dV z R y Q x P RdxdyQdzdxPdydz 高斯公式高斯公式 合并以上三式得 合并以上三式得 对于一般的区域 通常可用几张辅助曲面将其 分为有限个简单区域 每个区域上高斯公式成立 然后相加 因在辅助曲面上的积分正反两面各积 一次 正好互相抵消 因此高斯公式也成立 对于一般的区域 通常可用几张辅助曲面将其 分为有限个简单区域 每个区域上高斯公式成立 然后相加 因在辅助曲面上的积分正反两面各积 一次 正好互相抵消 因此高斯公式也成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 Gauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 dV z R y Q x P dSRQP coscoscos 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另 一种形式 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另 一种形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 使用使用Guass公式时应注意公式时应注意 2 2 RQP 是对什么变量求偏导数 是对什么变量求偏导数 1 判断是否满足高斯公式的条件 1 判断是否满足高斯公式的条件 3 是取闭曲面的外侧 3 是取闭曲面的外侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 是分片光滑的闭曲面 1 是分片光滑的闭曲面 2 2 RQP 在 围成的空间区域 在 围成的空间区域 上 具有一阶连续偏导数 上 具有一阶连续偏导数 例 1 例 1 计算曲面积分 计算曲面积分 xdydzzydxdyyx 其 中 其 中 为 柱 面为 柱 面1 22 yx及 平 面及 平 面 3 0 zz所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域 的的整整 个边界曲面的外侧 个边界曲面的外侧 解解 0 yxRQxzyP 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x o z y 1 3 1 0 0 z R y Q zy x P dxdydzzy 高斯公式高斯公式 原式原式 dzddz sin 2 9 3 0 1 0 2 0 sindzzdd 例 2例 2 计算 计算 dxdyxzdzdxzydydzyxI 其中 是以原点为中心 边长为 其中 是以原点为中心 边长为 a的轴向正方 体的整个表面的外侧 的轴向正方 体的整个表面的外侧 解解 dxdydzI 111 dxdydz 3 3 3a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x z y 上上1 下下1 左左2 右右2 前前3 后后3 由高斯公式由高斯公式 例 3 例 3 计算计算 dSzyxI coscoscos 222 其中 其中 为 锥面 为 锥面 222 zyx 介于介于0 z 0 hhz之间的部分取下侧 之间的部分取下侧 cos cos cos是是 在点在点 zyx处法向量的方向余弦 处法向量的方向余弦 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解1解1 直接用公式直接用公式 dxdyzdzdxydydzxI 222 xy D yx y y yx x x 22 2 22 2 dxdyyx 22 o x y z h h xy D dxdyyx 22 h dd 0 2 2 0 4 2 h 解2解2用高斯公式 如图用高斯公式 如图 21 11 III 1 222 1 dxdyzdzdxydydzxI dxdydzzyx 222 o x y z h h 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 hh dzzdd 0 2 0 2 4 2 h 1 222 2 dxdyzdzdxydydzxI xy D dxdyh2 4 h 21 III 4 2 h dxdydzz 2 例 4 例 4 计算 计算 222 zyx zdxdyydzdxxdydz I 其中 其中 是球 面 是球 面 2222 Rzyx 上半部分的下侧 上半部分的下侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y z 解1解1 直接用公式直接用公式 下下 zdxdyydzdxxdydz R I 1 xy D yxR y yxR x R I 222 2 222 2 1 dxdyyxR 222 dxdy yxR R R xy D 222 2 1 d R R d R R 0 22 2 2 0 1 2 2 R 例 4 例 4 计算 计算 222 zyx zdxdyydzdxxdydz I 其中 其中 是球 面 是球 面 2222 Rzyx 上半部分的下侧 上半部分的下侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解2解2 加辅助平面 用高斯公式加辅助平面 用高斯公式 o x y z 1 下下 zdxdyydzdxxdydz R I 1 1 11 下下 R 1 21 II R 1 1 下下 zdxdyydzdxxdydzI dxdydz 111 3 2 R 1 2 zdxdyydzdxxdydzI xy D dxdy00 2 2 RI 例5 例5 计算曲面积分计算曲面积分 yx r z xz r y zy r x Idddddd 333 其中 其中 222 zyxr 2222 取外侧取外侧Rzyx 解 解 yxzxzyzyx R Idddddd 1 3 zyx R ddd3 1 3 4 不能直接用高斯公式不能直接用高斯公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考 思考 本题本题 改为椭球面改为椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 时 应如何计算 时 应如何计算 例5 例5 计算曲面积分计算曲面积分 yx r z xz r y zy r x Idddddd 333 其中其中 222 zyxr 1 2 2 2 2 2 2 取外侧 取外侧 c z b y a x 解 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 r x zyxP 3 r y zyxQ 3 r z zyxR x P 3 5 22 r xr y Q 3 5 22 r yr z R 3 5 22 r zr z R y Q x P 5 2222 33 r zyxr 0 11 I则则 yx r z xz r y zy r x Idddddd 333 222 zyxr yxzxzyzyxdddddd 1 1 3 zyxddd3 1 1 3 高斯公式高斯公式 4 在椭球面内作辅助小球面在椭球面内作辅助小球面 2222 1 zyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z 1 1 xdydzd0 高斯公式高斯公式 1 4 I 0 例 6 例 6 设函数 设函数 zyxu和和 zyxv在闭区域 在闭区域 上具有一阶上具有一阶及及 二阶连续偏导数 证明 二阶连续偏导数 证明 dxdydz z v z u y v y u x v x u dS n v uvdxdydzu r 其中 是闭区域 其中 是闭区域 的整个边界曲面 取外侧 的整个边界曲面 取外侧 n v r 为函为函数数 zyxv沿 的外法线方向的方向导数 沿 的外法线方向的方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 符号符号 2 2 2 2 2 2 zyx 称为拉普拉斯 称为拉普拉斯 Laplace 算子 这个公式叫做格林第一公式 算子 这个公式叫做格林第一公式 证证 coscoscos z v y v x v n v r Q dS n v u r dS z v y v x v u coscoscos dS z v u y v u x v u cos cos cos 利用高斯公式 利用高斯公式 dS n v u r dxdydz z v u zy v u yx v u x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dxdydz z v z u y v y u x v x u vdxdydzu 移项即得移项即得 例 7 例 7 计算 计算 dxdyzdzdxydydzxI 222 其中 其中 是球面 是球面 2222 Rzyx 的外侧 的外侧 dVzyxI 2 解解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 由奇偶对称性由奇偶对称性 例 7 例 7 计算 计算 dxdyzdzdxydydzxI 222 其中 其中 是球面 是球面 2222 Razayax 的外侧 的外侧 dVzyxI 2解解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 xdxdydz6 由轮换对称性由轮换对称性 dxdydz xdxdydz a 由形心公式由形心公式 dxdydza6 3 8Ra 例 7 例 7 计算 计算 dxdyzdzdxydydzxI 222 其中 其中 是球面 是球面 2222 Rczbyax 的外侧 的外侧 解解1 由形心公式的形心为因为球面由形心公式的形心为因为球面 cba 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dxdydz xdxdydz a dxdydz ydxdydz b dxdydz zdxdydz c dxdydzzyxI 2 dxdydzcba 2 3 3 8 Rcba dVzyxI 2 dVzyxI 2解解2 做平移变换做平移变换 czw byv axu cwz bvy aux 2222 Rwvu 则 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7 例 7 计算 计算 dxdyzdzdxydydzxI 222 其中 其中 是球面 是球面 2222 Rczbyax 的外侧 的外侧 1 wvu zyx J dxdydzzyxI 2 dudvdwcbawvu 2 dudvdwcba 2 由奇偶对称性由奇偶对称性 3 3 8 Rcba 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称曲面积分则称曲面积分 RdxdyQdzdxPdydz在在G内内与曲面 无关 与曲面 无关 二 曲面积分与路径无关的条件二 曲面积分与路径无关的条件 定义 定义 设 设 G 是一空间区域 是一空间区域 L 是是 G 内任一简单闭曲 线 如果对 内任一简单闭曲 线 如果对 G 内任意两个以 内任意两个以 L 为边界曲线的曲面 为边界曲线的曲面 1 2 都有 都有 否则称与曲面有关 否则称与曲面有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 RdxdyQdzdxPdydz 2 RdxdyQdzdxPdydz 连通区域的类型连通区域的类型设有空间区域 设有空间区域 G 若 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G 则称 则称 G 为为空间二维单连通域 空间二维单连通域 若 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面 则称 的曲面 则称 G 为为空间一维单连通域 空间一维单连通域 例如 例如 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 既是一维也是二维单连通区域 是二维但不是一维单连通区域 是一维但 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 既是一维也是二维单连通区域 是二维但不是一维单连通区域 是一维但 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 定理2 zyxP函数函数设设 G 是空间二维单连通区域 是空间二维单连通区域 在在 G 内具有连续一阶偏导数 内具有连续一阶偏导数 则下列条件等价则下列条件等价 机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxRzyxQ 1 在 在 G 内曲面积分内曲面积分 RdxdyQdzdxPdydz 与曲面无关 与曲面无关 2 对 对 G 内任一闭曲面 都有内任一闭曲面 都有 0dddddd yxRxzQzyP 0 z R y Q x P 3 在 在 G 内恒有内恒有 L 证明 证明 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 2 设 是 设 是 G 内任一闭曲面 内任一闭曲面 在 上任意取一条简单闭曲线 在 上任意取一条简单闭曲线 L 它把 分成两片 它把 分成两片 1 2 由假设 有 由假设 有 上上1 RdxdyQdzdxPdydz 上上2 RdxdyQdzdxPdydz 则则 外外 RdxdyQdzdxPdydz 下上下上21 上上上上21 0 用反证法 用反证法 使假设存在一点使假设存在一点 0 GM 0 0 M z R y Q x P 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 不妨设其大于 不妨设其大于 0 则存在邻域 则存在邻域 0 GMU 0 上使在上使在MU 0 z R y Q x P 0 的边界为设的边界为设MU则由高斯公式得取外侧 则由高斯公式得取外侧 yxRxzQzyPdddddd zyx z R y Q x P MU ddd 0 0 矛盾 矛盾 因 因 P Q R 在 在 G 内具有连续一阶 偏导数 内具有连续一阶 偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 3 L 1 2 设设 L 是是 G 内任意一条简单闭曲线 内任意一条简单闭曲线 在在 G 内任意做两张以 内任意做两张以 L 为边界曲 线的曲面 为边界曲 线的曲面 1 2 它们构成 它们构成 G 内内 的闭曲面 如图 记 所围的闭曲面 如图 记 所围 外外 RdxdyQdzdxPdydz 下上下上21 上上上上21 dxdydz z R y Q x P 0 空间区域为 则 空间区域为 则 上上上上 于是于是 21 由由L 1 2 的任意性知 在的任意性知 在 G 内曲面积分与曲面无关内曲面积分与曲面无关 dzdxzyxxzdydzzyxyzI 222222 dxdyzyxxyyx 2 22222 例8 例8 计算计算 其中其中 是曲面 是曲面 0 1 2 22 zyxz 的上侧 的上侧 解 解 容易验证容易验证 0 z R y Q x P 故在不包含原点的 二维单连通区域内曲面积分与曲面无关 故在不包含原点的 二维单连通区域内曲面积分与曲面无关 上侧取上侧取 0 1 222 1 zzyx 和和 1 的边界曲线都是 的边界曲线都是 0 1 22 z yx L 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 P Q R 由定理2知由定理2知 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 222222 dzdxzyxxzdydzzyxyzI dxdyzyxxyyx 2 22222 1 2 22 dxdyxyyxxzdzdxyzdydz 容易验证容易验证 0 z R y Q x P P Q R 由定理2由定理2 2 2 22 dxdyxyyxxzdzdxyzdydz 上侧取上侧取 0 1 22 2 zyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 22 dxdyxyyxxzdzdxyzdydzI 0 1 22 2 zyx 2 2 22 dxdyxyyx xy D dxdyxyyx 2 22 1 22 yxDxy xy D dxdyyx 22 由奇偶对称性由奇偶对称性 1 0 224 2 0 sincos dxxd 极坐标极坐标 24 三 向量场的通量与散度三 向量场的通量与散度 引例 引例 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1 速度场为设稳定流动的不可压缩流体的密度为1 速度场为 kzyxRjzyxQizyxPzyxv 理意义可知 设 理意义可知 设 为场中任一有向曲面 为场中任一有向曲面 yxRxzQzyPdddddd 单位时间通过曲面单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系 流量还可表示为 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系 流量还可表示为 SRQPdcoscoscos Snvd 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 若若 为方向向外的闭曲面 为方向向外的闭曲面 yxRxzQzyPdddddd 说明流入说明流入 的流体质量少于 当 的流体质量少于 当 0 时 说明流入 0 时 0 时 方向向外的任一闭曲面 记方向向外的任一闭曲面 记 所围域为所围域为 在 设 在 设 是包含点是包含点M M 且为了揭示场内任意点且为了揭示场内任意点M M 处的特性 处的特性 M 并令并令 以以 任意方式缩小至点任意方式缩小至点M M 则有则有 M 记作记作 V M limzyx z R y Q x P V M ddd 1 lim lim z R y Q x P M 积分中值定理积分中值定理 M z R y Q x P 此式反应了流速场在点此式反应了流速场在点M M 的特点 其值为正 负或 0 分别反映在该点有流体涌出 吸入 或没有任何变化 的特点 其值为正 负或 0 分别反映在该点有流体涌出 吸入 或没有任何变化 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 式两边同除以 式两边同除以 的体积的体积V V 定义 定义 设有向量场设有向量场 kzyxRjzyxQizyxPzyxA 其中其中P Q R 具有连续一阶偏导数 具有连续一阶偏导数 是场内的一片有向 则称曲面 其单位法向量 是场内的一片有向 则称曲面 其单位法向量 n0 SnAd 0 为向量场为向量场A A通过通过有向曲面有向曲面 的的通量通量 流量 在场中点 流量 在场中点 M x y z 处 称为向量场 处 称为向量场A A在点在点MM处的处的散度散度 记作记作 Adiv z R y Q x P 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxRxzQzyPdddddd 0div A表明该点处有正源 表明该点处有正源 0div A表明该点处有负源 表明该点处有负源 0div A表明该点处无源 散度绝对值的大小反映了源的强度 表明该点处无源 散度绝对值的大小反映了源的强度 0div A若向量场若向量场A A处处有处处有 则称 则称A A为为无源场无源场 例如 例如 匀速场匀速场 为常数其中为常数其中 zyxzyx vvvvvvv 0div v 故它是无源场 故它是无源场 P16 目录 上页 下页 返回 结束P16 目录 上页 下页 返回 结束 说明 说明 由引例可知 散度是通量对体积的变化率 且由引例可知 散度是通量对体积的变化率 且 例 9 例 9 设 设 222 ln zyxzyxu 求 div grad 求 div grad u 解 解 grad z u y u x u u 2 2 2 2 2 2 grad div z u y u x u u 222 zyx x x u 2222 222 2 2 zyx xzy x u 2222 222 2 2 zyx yxz y u 2222 222 2 2 zyx zyx z u 222 1 grad div zyx u 同理同理 P16 目录 上页 下页 返回 结束P16 目录 上页 下页 返回 结束 例10 例10 置于原点 电量为 置于原点 电量为q q的点电荷产生的场强为的点电荷产生的场强为 r r q E 3 divE求求 解 解 3 r y y 3 r z z 3 5 22 r xr q 5 22 3 r yr 5 22 3 r zr 0 3 r x x 3 zyx r q 0 r 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符 0 r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 qEdiv 四 内容小结四 内容小结 1 高斯公式及其应用1 高斯公式及其应用 公式 公式 yxRxzQzyPdddddd zyx z R y Q x P ddd 应用 应用 1 计算曲面积分 非闭曲面时注意添加辅助面的技巧 2 推出闭曲面积分为零的充要条件 1 计算曲面积分 非闭曲面时注意添加辅助面的技巧 2 推出闭曲面积分为零的充要条件 0dddddd yxRxzQzyP 0 z R y Q x P 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 通量与散度2 通量与散度 设向量场设向量场P Q R 在域 在域 G 内有一阶内有一阶 连续偏导数 连续偏导数 则 向量场通过有向曲面 则 向量场通过有向