高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教版.ppt

第3节函数的奇偶性与周期性 考纲展示 知识梳理自测 考点专项突破 知识梳理自测把散落的知识连起来 教材导读 1 函数图象分别关于坐标原点 y轴对称的函数一定是奇函数 偶函数吗 反之 成立吗 提示 一定是 反之 也成立 2 如果函数f x 是奇函数 那么是否一定有f 0 0 提示 只有在x 0处有定义的奇函数 才有f 0 0 3 函数y f x x r 是周期函数 则其周期唯一吗 是否有最小正周期 提示 不唯一 若t是y f x x r 的一个周期 则nt n z 也是函数的周期 若函数y f x 是常数函数 则y f x 是周期函数 且无最小正周期 4 若函数y f x 满足f x a f x 与f x a f x 有什么区别 知识梳理 1 奇函数 偶函数的概念及图象特征 原点 任意 原点 y轴 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 存在一个最小的正数 f x t f x 重要结论 1 奇偶性的五个重要结论 1 如果一个奇函数f x 在原点处有定义 即f 0 有意义 那么一定有f 0 0 2 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x f x 3 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型 即f x 0 x d 其中定义域d是关于原点对称的非空数集 4 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 5 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大 小 值 取最值时的自变量互为相反数 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 取最值时的自变量也互为相反数 2 周期性的常用结论设函数y f x x r a 0 1 若f x a f x a 则函数的周期为2a 2 若f x a f x 则函数的周期为2a 3 对称性的三个常用结论 1 若函数y f x a 是偶函数 即f a x f a x 则函数y f x 的图象关于直线x a对称 2 若对于r上的任意x都有f 2a x f x 或f x f 2a x 则y f x 的图象关于直线x a对称 3 若函数y f x b 是奇函数 即f x b f x b 0 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 双基自测 1 若y f x x r 是奇函数 则下列坐标表示的点一定在y f x 图象上的是 a a f a b a f a c a f a d a f a b 解析 因为f x 为奇函数 所以f a f a 所以点 a f a 在函数y f x 图象上 故选b 2 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 a y x 1 b y x3 c y d y x x 解析 y x 1是非奇非偶函数 a错 y x3是减函数 b错 y 在 0 上为减函数 c错 y x x 为奇函数 当x 0时 y x2 为增函数 由奇函数性质得y x x 在r上为增函数 故选d d 3 导学号38486024已知f x g x 分别是定义在r上的偶函数和奇函数 且f x g x x3 x2 1 则f 1 g 1 等于 a 3 b 1 c 1 d 3 c 解析 用 x 代替 x 得f x g x x 3 x 2 1 化简得f x g x x3 x2 1 令x 1 得f 1 g 1 1 故选c a 5 若函数f x x2 ax 1在区间 2b 1 3b 上是偶函数 则a b 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 函数奇偶性的判定 解 2 法一 定义法 当x 0时 f x x2 2x 1 x0 f x x 2 2 x 1 x2 2x 1 f x 所以f x 为奇函数 法二 图象法 作出函数f x 的图象 由图象关于原点对称的特征知函数f x 为奇函数 2 f x 3 f x 4 f x loga x a 0且a 1 反思归纳判断函数奇偶性的常用方法 1 定义法 确定函数的奇偶性时 必须先判定函数定义域是否关于原点对称 若对称 再化简解析式后验证f x f x 或其等价形式f x f x 0是否成立 2 图象法 3 判断函数奇偶性除利用定义法和图象法 也可利用性质法判断如下 设f x g x 的定义域分别是d1 d2 那么在它们的公共定义域上 奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 4 分段函数奇偶性的判断 要分别从x 0或x 0来寻找等式f x f x 或f x f x 成立 只有当对称的两个区间上满足相同关系时 分段函数才具有确定的奇偶性 跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性 1 f x ln 2 f x ln 3x 1 3 f x 4 f x 解 4 当x0 f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 f x x2 x x 0 f x x 2 x x2 x f x 所以f x 是奇函数 考点二 函数周期性的应用 例2 1 导学号38486025 2017 江西南昌调研 函数y f x 满足对任意x r都有f x 2 f x 成立 且函数y f x 1 的图象关于点 1 0 对称 f 1 4 则f 2016 f 2017 f 2018 的值为 解析 1 因为函数y f x 1 的图象关于点 1 0 对称 所以f x 是r上的奇函数 f x 2 f x 所以f x 4 f x 2 f x 故f x 的周期为4 所以f 2017 f 504 4 1 f 1 4 所以f 2016 f 2018 f 2016 f 2016 2 f 2016 f 2016 0 所以f 2016 f 2017 f 2018 4 答案 1 4 答案 2 2 反思归纳 1 求解与函数的周期性有关的问题 应根据题目特征及周期定义 求出函数的周期 2 根据函数的周期性 可以由函数的局部性质得到函数的整体性质 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 3 在解决具体问题时 要注意结论 若t是函数的周期 则kt k z且k 0 也是函数的周期 的应用 答案 1 d 答案 2 1 考点三 函数奇偶性的应用 例3 1 已知函数f x 为奇函数 且当x 0时 f x x2 则f 1 等于 a 2 b 0 c 1 d 2 解析 1 因为函数f x 为奇函数 所以f 1 f 1 2 故选a 2 导学号38486026奇函数f x 的定义域为r 若f x 2 为偶函数 且f 1 1 则f 8 f 9 等于 a 2 b 1 c 0 d 1 解析 2 由f x 2 是偶函数可得f x 2 f x 2 又由f x 是奇函数得f x 2 f x 2 所以f x 2 f x 2 f x 4 f x f x 8 f x 故f x 是以8为周期的周期函数 所以f 9 f 8 1 f 1 1 又因为f x 是定义在r上的奇函数 所以f 0 0 所以f 8 f 0 0 故f 8 f 9 1 故选d 反思归纳函数奇偶性应用的常见题型及求解策略 跟踪训练3 1 2017 河北武邑中学高三上期中 已知f x 满足对 x r f x f x 0 且x 0时 f x ex m m为常数 则f ln5 的值为 a 4 b 4 c 6 d 6 解析 1 由题设函数f x 是奇函数 故f 0 e0 m 1 m 0 即m 1 所以f ln5 f ln5 eln5 1 5 1 4 故选b 答案 1 b 2 设函数f x 为奇函数 则a 答案 2 1 3 已知函数y f x 是r上的偶函数 且在 0 上是增函数 若f a f 2 则实数a的取值范围是 解析 3 由已知f x 在 0 上为增函数 且f a f a 所以f a f 2 f a f 2 所以 a 2 即a 2或a 2 答案 3 a a 2或a 2 备选例题 例1 已知y f x x2是奇函数 且f 1 1 若g x f x 2 则g 1 解析 由已知y f x x2是奇函数 得f 1 12 f 1 1 2 0 又f 1 1 所以f 1 3 所以g 1 f 1 2 1 答案 1 解析 因为f x 是r上的奇函数 所以f 0 0 又对任意x r都有f x 6 f x f 3 所以当x 3时 有f 3 f 3 f 3 0 所以f 3 0 f 3 0 所以f x 6 f x 周期为6 故f 2017 f 1 2 答案 2 例2 2017 山西晋中模拟 已知f x 是r上的奇函数 f 1 2 且对任意x r都有f x 6 f x f 3 成立 则f 2017 例3 已知奇函数f