高三数学精品复习15 椭圆及其性质.doc

2014届高三数学精品复习之椭圆及其性质1.方程表示椭圆0，0，且；是，中之较大者，焦点的位置也取决于，的大小。举例 椭圆的离心率为，则= 解析：方程中4和哪个大哪个就是，因此要讨论；（）若04,则，=，得=；综上：=3或=。巩固若方程：x2+ay2=a2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是a1个b .2个c.4个d.无数个2椭圆关于x轴、y轴、原点对称；p(x,y)是椭圆上一点，则|x|a,|y|b，a-c|pf|a+c，（其中f是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a，椭圆的焦准距为，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2，通经是过焦点最短的弦。举例1 已知椭圆（0,0）的左焦点为f，右顶点为a，上顶点为b，若bfba,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。解析：|ab|2=2+2，|bf|=，|fa|=+，在rtabf中，(+)2=2+2+2化简得： 2+-2=0，等式两边同除以2得：，解得：=。注：关于,，的齐次方程是“孕育”离心率的温床。举例2 已知椭圆（0,0）的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为=，则原来椭圆的方程是 。解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x轴上，直线=为新椭圆的上准线，故新椭圆的焦准距为，原来椭圆的焦准距也为，于是有：= ，= ，由解得：=5，=3。巩固1一椭圆的四个顶点为a1，a2，b1，b2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为 。巩固2 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(a) (b) (c) (d)迁移椭圆上有n个不同的点p1，p2，p3，pn，椭圆的右焦点f，数列| pnf|是公差大于的等差数列，则n的最大值为 （ ）a198 b199 c200 d2013.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。举例1已知q：(x-1)2+y2=16,动m过定点p(-1,0)且与q相切，则m点的轨迹方程是： 。解析：p(-1,0)在q内，故m与q内切，记：m(x,y)，m的半径是为r，则：|mq|=4-r，又m过点p，|mp|=r，于是有：|mq|=4-|mp|，即|mq|+|mp|=4，可见m点的轨迹是以p、q为焦点（c=1）的椭圆，a=2。举例2 若动点p（x,y）满足|x+2y-3|=5，则p点的轨迹是：a圆 b、椭圆 c、双曲线 d、抛物线解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以，于是有：=，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了，只需将方程再变形为：，即动点p（x,y）到定点a（1，2）与到定直线x+2y-3=0的距离之比为，其轨迹为椭圆。巩固1 已知圆为圆上一点，aq的垂直平分线交cq于m，则点m的轨迹方程为 .巩固2设x、yr，在直角坐标平面内，=(x,y+2),=(x,y-2),且|+|=8，则点m(x,y)的轨迹方程为 。提高已知a（0，7），b（o，-7），c（12，2），以c为一个焦点作过a、b的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 。迁移 p为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为f1（-1，0）、f2（1，0），则椭圆过p点且长轴最短时的方程为 。4研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。举例1 如图把椭圆的长轴ab分成8分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于,七个点，f是椭圆的一个焦点，则_解析：p1与p7，p2与p6，p3与p5关于y轴对称，p4在y轴上，记椭圆的另一个焦点为f/，则|p7f|=|p1f/|，|p6f|=|p2f/|，|p5f|=|p3f/|，于是|p1f|+|p1f/|+|p2f|+|p2f/|+|p3f|+|p3f/|+|p4f|=7a=35. 举例2 已知a、b是椭圆上的两点，f2是椭圆的右焦点，如果 ab的中点到椭圆左准线距离为，则椭圆的方程 .解析： =，记ab的中点为m ，a、b、m在椭圆左准线上的射影分别为a1、b1，m1，由椭圆第二定义知：|af1|=e|aa1|，|bf1|=e|bb1|，于是有：e（|aa1|+|bb1|）=，而e=|aa1|+|bb1|=3a2|mm1|=3a，又|mm1|=，得a=1，故椭圆方程为。巩固1 椭圆的两焦点为f1，f2，以f1f2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为 。巩固2已知f1、f2是椭圆的左右焦点，点是此椭圆上的一个动点，为一个定点，则的最大值为 ，的最小值为 。提高 过椭圆左焦点f且斜率为的直线交椭圆于a、b两点，若|fa|=2|fb|，则椭圆的离心率e=_5研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，常用椭圆定义及正、余弦定理。举例已知焦点在轴上的椭圆f1,f2是它的两个焦点，若椭圆上存在点p，使得，则的取值范围是 。解析：思路一：先证一个结论：若b为椭圆短轴端点，则f1pf2f1bf2。记f1pf2=,|pf1|=r1, |pf2|=r2,cos=又()2=,cos=cosf1bf2,当且仅当r1=r2时等号成立，即f1pf2f1bf2。题中椭圆上存在点p，使得f1pf2=900，当且仅当f1bf2900，即cosf1boba=,b(0, .思路二：用勾股定理：r1+r2=2a r12+r22=4c2 ,由得：2r1r2=4b2,又2r1r2r12+r22 b2c2=4-b2 即b(0, .思路三：用向量的坐标运算：记p(x0,y0),=(-c-x0,-y0), =(c-x0,-y0),=c2-x02+y02=0(b2+4)x02=4(c2-b2),注意到：0x024，04(c2-b2)4(b2+4)即04-2b2b2+4，得b(0, .巩固1椭圆的焦点为、，点p为其上的动点，当为钝角时，点p横坐标的取值范围是_。 巩固2已知p是椭圆上一点，f1和f2是焦点，若f1pf2=30，则pf1f2的面积为（ ）abcd46椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。举例若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ ）abcd2解析：本题可以直接借助于椭圆方程把x2用y表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记x=2cos,y=bsin, =4cos2+2bsin=f(),f()=-4sin2+2bsin+4=-4(sin-)2+,