高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程课件 新人教B版选修21.ppt

第三章3 2空间向量在立体几何中的应用 3 2 1直线的方向向量与直线的向量方程 学习目标1 理解直线的方向向量 了解直线的向量方程 2 会用向量方法证明线线 线面 面面的平行 3 会用向量证明两条直线垂直 4 会利用向量求两条直线所成的角 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一用向量表示直线或点在直线上的位置 在平面中 可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合 空间中一点的位置或点的集合怎样确定 已知向量a 在空间中固定一个基点o 再作向量 a 则点a在空间中的位置就被向量a唯一确定了 称向量a为位置向量 答案 梳理用向量表示直线或点在直线上的位置上面三个向量等式都叫做空间直线的 向量a称为该直线的方向向量 2 线段ab的中点m的向量表达式 向量参数方程 ta 知识点二用向量方法证明直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则由向量共线的条件 得l1 l2或l1与l2重合 2 已知两个不共线向量v1 v2与平面 共面 一条直线l的一个方向向量为v 则由共面向量定理 可得l 或l在 内 3 已知两个不共线向量v1 v2与平面 共面 则由两平面平行的判定与性质 得 或 与 重合 v1 v2 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 v1 且v2 知识点三用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为 v1和v2分别是l1和l2的方向向量 则l1 l2 cos 2 求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上 或同方向上 取两条直线的方向向量v1 v2 所以cos v1 v2 但要注意 两直线的夹角与 v1 v2 并不完全相同 当 v1 v2 为钝角时 应取其作为两直线的夹角 v1 v2 cos v1 v2 补角 题型探究 类型一空间中点的位置确定 例1已知点a 2 4 0 b 1 3 3 如图 以的方向为正向 在直线ab上建立一条数轴 p q为轴上的两点 且分别满足条件 1 ap pb 1 2 解答 设点p坐标为 x y z 则上式换用坐标表示 得 2 aq qb 2 求点p和点q的坐标 解答 因为aq qb 2 设点q的坐标为 x y z 则上式换用坐标表示 得 x y z 2 4 0 2 1 3 3 0 2 6 即x 0 y 2 z 6 因此 q点的坐标是 0 2 6 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得 反思与感悟 答案 解析 设c x y z 类型二向量方法处理平行问题 证明 1 直线与直线平行 直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线 共面定理 2 利用直线的方向向量证明直线与直线平行 直线与平面平行时 要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点 反思与感悟 跟踪训练2 1 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 3 ad 4 aa1 2 点m在棱bb1上 且bm 2mb1 点s在dd1上 且sd1 2sd 点n r分别为a1d1 bc的中点 求证 mn rs 证明 方法二如图所示 建立空间直角坐标系 证明 建立如图所示的空间直角坐标系 设ac bd n 连接ne 则点n e的坐标分别是 又 ne 平面bde am 平面bde am 平面bde 例3已知三棱锥o abc 如图 oa 4 ob 5 oc 3 aob boc 60 coa 90 m n分别是棱oa bc的中点 求直线mn与ac所成角的余弦值 类型三两直线所成的角的求解 解答 向量所成角与异面直线所成角的差异 向量所成角的范围是 0 而异面直线所成角的范围是 故异面直线所成角的余弦值一定大于等于0 反思与感悟 跟踪训练3长方体abcd a1b1c1d1中 ab 4 bc bb1 2 e f分别是面a1b1c1d1与面b1bcc1的中心 求异面直线af与be所成角的余弦值 解答 如图 以d为原点建立空间直角坐标系 则a 2 0 0 b 2 4 0 c1 0 4 2 a1 2 0 2 e 1 2 2 f 1 4 1 当堂训练 1 若直线l1 l2的方向向量分别为a 1 2 2 b 2 3 2 则a l1 l2b l1 l2c l1 l2相交但不垂直d 不能确定 答案 解析 a b 1 2 2 3 2 2 0 a b l1 l2 2 3 4 5 1 2 设l1的方向向量a 1 3 2 l2的方向向量b 4 3 m 若l1 l2 则m等于 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若a 1 0 1 b 1 4 7 在直线l上 则直线l的一个方向向量为a 1 2 3 b 1 3 2 c 2 1 3 d 3 2 1 2 3 4 5 1 答案 解析 4 已知向量a 4 2m m 1 m 1 b 4 2 2m 2 2m 若a b 则实数m的值为a 1b 3c 1或3d 以上答案都不正确 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 因为b 4 2 2m 2 2m 0 所以 a b的充要条件是a b 代入4 2m 4 得m 3 2 3 4 5 1 5 已知直线l1的一个方向向量为 7 3 4 直线l2的一个方向向量为 x y 8 且l1 l2 则x y 答案 解析 14 6 1 利用向量可以表示直线或点在直线上的位置 2 线线平行 线面平行 面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题 证明依据是空间向量共线 共面定理 3 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表