高中数学 第三章 直线与方程 直线的方程学习过程 新人教A版必修2.doc

直线的方程学习过程知识点一：直线的点斜式方程（1） 推导 直线 经过点p0（x0,y0）,斜率为k,设点p（x,y）是直线上的不同于点p0的任意一点，因为直线的斜率为k，由斜率公式得，即y-y0=k(x-x0)（2） 定义 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一定点及其斜率确定，我们把y-y0=k(x-x0)叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（3） 说明与y-y0=k(x-x0)是不同的,前者表示的直线上缺少一个点p0（x0,y0），后者才是整条直线当直线的倾斜角为0时，tan0=0,即k=0，这时直线 与x轴平行或重合， 的方程为y-y0=0,或y= y0当直线的倾斜角为90时，直线没有斜率，这时直线 与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示，因为这时直线上的每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是x-x0=0，或x=x0知识点二：直线的斜截式方程 （1） 推导 直线的斜率为k,且与y轴的交点为（0，b），代入直线的点斜式方程，得y-b=k(x-0),即y=kx+b (2) 定义 我们把直线与y轴的交点为（0，b）的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距，方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式 （3） 说明方程特点：左端y 的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。 截距可取一切实数，在此要区分截距与距离，距离必须大于等于0知识点三：直线的两点式方程（1） 推导与定义 已知，（其中），如何求过两点的直线方程？当时，任取p1，p2中的一点，由点斜式方程，得y-y1= (x-x1)当时，可写为，这就是经过两点（其中），的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（2） 说明若中有时，直线p1p2没有两点式方程 当时，直线p1p2平行于y轴，直线方程为x-x1=0,或x=x1;当时，直线p1p2平行于x轴，直线方程为y-y1=0，或y=y1知识点四：直线的截距式方程（1）推导 直线 与x轴的交点为a（a,0）, 与y轴的交点为b（0，b）,其中a0,b0,求直线l 的方程将两点a（a,0），b（0，b）的坐标代入两点式，得，即（2） 定义 我们把直线与x轴的交点为a（a,0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b，方程由直线在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程（3） 说明截距式方程的条件是a0,b0，即两个非零截距，即截距式方程不能表示过原点的直线，以及不能表示与坐标轴平行的直线。知识点五：直线的一般式方程（1） 推导 对于任意一个二元一次方程ax+by+c=0（a,b不同时为0），它是否表示一条直线？当b0时，方程ax+by+c=0可变形为当b=0时，a0此时直线方程为x= 由上可知，关于x,y的二元一次方程，它都表示一条直线(2) 定义 我们把关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0（a,b不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式(3) 说明a,b不同时为0 直线方程的其他形式都可化为一般式，若没特殊说明应把最后结果化为一般式学习结论（1） 利用点斜式和斜截式求方程时，需注意斜率是否存在，只有在存在的前提下才能使用。（2） 直线的两点式方程的适用条件是（3） 直线的截距式方程的适用范围是ab0（4） 已知的中点坐标为（5） 若则，（6） ，则 ，典型例题例1. 已知三角形的三个顶点a(-5,0),b(3,-3),c（0，2），求bc边所在直线的方程，以及该边中线所在直线的方程。解析：过b(3,-3),c（0，2）的两点式方程为，整理得5x+3y-6=0,这就是bc边所在直线的方程bc边上的中线是顶点a与bc边中点m所连线段，由中点坐标公式可得点m的坐标为。过a(-5,0)，的直线的方程为，即x+13y+5=0, 这就是bc边中线所在直线的方程例2. 求经过点（-2，2），且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线方程。解：由题设，设所求直线方程为，由已知可得，解得a=-1,b= -2,或a=2,b=12x+y+2=0或x+2y-2=0例3. 已知点p（-4，2），直线：3x-2y-7=0,求（1） 过点p且与平行的直线的方程（2） 过点p且与垂直的直线的方程解析：(1)与直线：3x-2y-7=0平行的直线可设为3x-2y+m=0由直线过点p（-4，2），则m=16过点p且与平行的直线的方程3x-2y+16=0(2) 与垂直的直线可设为2x+3y+n=0由直线过点p（-4，2），则n=2过点p且与垂直的直线的方程2x+3y+2=0例4过点p（3，0）有一条直线，它夹在两条直线：2x-y-2=0与：x+y+3=0之间的线段恰