高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列（二）课件 新人教B版必修5.ppt

第二章 2 2等差数列 2 2 1等差数列 二 1 能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质 2 能运用等差数列的性质解决有关问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一等差数列通项公式的推广 已知等差数列 an 的首项a1和公差d能表示出通项an a1 n 1 d 如果已知第m项am和公差d 又如何表示通项an 答案 设等差数列的首项为a1 则am a1 m 1 d 变形得a1 am m 1 d 则an a1 n 1 d am m 1 d n 1 d am n m d 思考2 由思考1可得 你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗 等差数列通项公式可变形为an dn a1 d 其图象为一条直线上孤立的一系列点 1 a1 n an m am 都是这条直线上的点 d为直线的斜率 故两点 1 a1 n an 连线的斜率d 当两点为 n an m am 时 有d 答案 梳理等差数列 an 中 若公差为d 则an am n m d 当n m时 d 知识点二等差数列的性质 利用1 100 2 99 在有穷等差数列中 与首末两项 等距离 的两项之和等于首项与末项的和 即a1 an a2 an 1 a3 an 2 思考 还记得高斯怎么计算1 2 3 100的吗 推广到一般的等差数列 你有什么猜想 答案 梳理在等差数列 an 中 若m n p q m n p q n 则am ap 特别地 若m n 2p 则an am 2ap an aq 知识点三由等差数列衍生的新数列 思考 若 an 是公差为d的等差数列 那么 an an 2 是等差数列吗 若是 公差是多少 an 1 an 3 an an 2 an 1 an an 3 an 2 d d 2d an an 2 是公差为2d的等差数列 答案 梳理若 an bn 分别是公差为d d 的等差数列 则有 题型探究 因为a8 a2 8 2 d 所以17 5 6d 解得d 2 又因为an a2 n 2 d 所以an 5 n 2 2 2n 1 类型一等差数列推广通项公式的应用 例1在等差数列 an 中 已知a2 5 a8 17 求数列的公差及通项公式 解答 灵活利用等差数列的性质 可以减少运算 反思与感悟 跟踪训练1数列 an 的首项为3 bn 为等差数列 且bn an 1 an n n 若b3 2 b10 12 则a8等于a 0b 3c 8d 11 答案 解析 bn 为等差数列 设其公差为d bn b3 n 3 d 2n 8 a8 a8 a7 a7 a6 a6 a5 a5 a4 a4 a3 a3 a2 a2 a1 a1 b7 b6 b1 a1 b7 b1 b6 b2 b5 b3 b4 a1 7b4 a1 7 0 3 3 取数列 an 中任意相邻两项an和an 1 n 1 求差得an an 1 pn q p n 1 q pn q pn p q p 它是一个与n无关的常数 所以 an 是等差数列 由于an pn q q p n 1 p 所以首项a1 p q 公差d p 类型二等差数列与一次函数的关系 例2已知数列 an 的通项公式an pn q 其中p q为常数 那么这个数列一定是等差数列吗 若是 首项和公差分别是多少 解答 反思与感悟 本题可以按照解析几何中的直线问题求解 但是 如果换个角度 利用构造等差数列模型来解决 更能体现出等差数列这一函数特征 这种解答方式的转变 同学们要在学习中体会 在体会中升华 跟踪训练2某公司经销一种数码产品 第1年获利200万元 从第2年起由于市场竞争等方面的原因 利润每年比上一年减少20万元 按照这一规律如果公司不开发新产品 也不调整经营策略 从哪一年起 该公司经销这一产品将亏损 解答 由题意可知 设第1年获利为a1 第n年获利为an 则an an 1 20 n 2 n n 每年获利构成等差数列 an 且首项a1 200 公差d 20 所以an a1 n 1 d 200 n 1 20 20n 220 若an 0 则该公司经销这一产品将亏损 由an 20n 220 0 解得n 11 即从第12年起 该公司经销这一产品将亏损 类型三等差数列性质的应用 例3已知在等差数列 an 中 a1 a4 a7 15 a2a4a6 45 求此数列的通项公式 解答 方法一因为a1 a7 2a4 a1 a4 a7 3a4 15 所以a4 5 又因为a2a4a6 45 所以a2a6 9 即 a4 2d a4 2d 9 5 2d 5 2d 9 解得d 2 若d 2 an a4 n 4 d 2n 3 若d 2 an a4 n 4 d 13 2n 方法二设等差数列的公差为d 则由a1 a4 a7 15 得a1 a1 3d a1 6d 15 即a1 3d 5 由a2a4a6 45 得 a1 d a1 3d a1 5d 45 将 代入上式 得 a1 d 5 5 2d 45 即 a1 d 5 2d 9 解 组成的方程组 得a1 1 d 2或a1 11 d 2 所以an 1 2 n 1 2n 3或an 11 2 n 1 2n 13 引申探究1 在例3中 不难验证a1 a4 a7 a2 a4 a6 则在等差数列 an 中 若m n p q r s m n p q r s n 是否有am an ap aq ar as 解答 设公差为d 则am a1 m 1 d an a1 n 1 d ap a1 p 1 d aq a1 q 1 d ar a1 r 1 d as a1 s 1 d am an ap 3a1 m n p 3 d aq ar as 3a1 q r s 3 d m n p q r s am an ap aq ar as a3 a8 10 a3 a3 a8 a8 20 3 3 8 8 5 5 5 7 a3 a3 a8 a8 a5 a5 a5 a7 即3a5 a7 2 a3 a8 20 2 在等差数列 an 中 已知a3 a8 10 则3a5 a7 20 答案 解析 解决等差数列运算问题的一般方法 一是灵活运用等差数列 an 的性质 二是利用通项公式 转化为等差数列的首项与公差的求解 属于通项方法 或者兼而有之 这些方法都运用了整体代换与方程的思想 反思与感悟 跟踪训练3在等差数列 an 中 已知a1 a4 a7 39 a2 a5 a8 33 求a3 a6 a9的值 解答 方法一 a2 a5 a8 a1 a4 a7 3d a3 a6 a9 a2 a5 a8 3d a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9成等差数列 a3 a6 a9 2 a2 a5 a8 a1 a4 a7 2 33 39 27 方法二 a1 a4 a7 a1 a1 3d a1 6d 3a1 9d 39 a1 3d 13 a2 a5 a8 a1 d a1 4d a1 7d 3a1 12d 33 a1 4d 11 a3 a6 a9 a1 2d a1 5d a1 8d 3a1 15d 3 19 15 2 27 当堂训练 由等差数列的性质得a8 a3 8 3 d 5d 1 在等差数列 an 中 已知a3 10 a8 20 则公差d等于a 3b 6c 4d 3 答案 解析 1 2 3 由a8 a4 8 4 d 4d 得d 3 所以a15 a8 15 8 d 14 7 3 35 2 在等差数列 an 中 已知a4 2 a8 14 则a15等于a 32b 32c 35d 35 答案 解析 1 2 3 由数列的性质 得a4 a5 a2 a7 所以a2 15 12 3 1 2 3 3 在等差数列 an 中 已知a4 a5 15 a7 12 则