广东省汕头市金山中学高二数学上学期12月月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若p：xr，sin x1，则（）ap：x0r，sin x01bp：xr，sin x1cp：x0r，sin x01dp：xr，sin x12如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）a3m4bcd3椭圆（ab0）的左、右顶点分别是a，b，左、右焦点分别是f1，f2若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）abcd4有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）abcd5等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y2=16x的准线交于a，b两点，则c的实轴长为（）abc4d86设圆（x+1）2+y2=25的圆心为c，a（1，0）是圆内一定点，q为圆周上任一点线段aq的垂直平分线与cq的连线交于点m，则m的轨迹方程为（）abcd7设条件p：|x2|3，条件q：0xa，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（）a（0，5b（0，5）c5，+）d（5，+）8点p在椭圆7x2+4y2=28上，则点p到直线3x2y16=0的距离的最大值为（）abcd 9已知斜率为k=1的直线与双曲线=1（a0，b0）交于a、b两点，若a、b的中点为m（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）axy=0b xy=0cx2y=0d2xy=010已知抛物线c的方程为y2=2px（p0），一条长度为4p的线段ab的两个端点a、b在抛物线c上运动，则线段ab的中点d到y轴距离的最小值为 （）a2pbcd3p11双曲线c：=1的左、右顶点分别为a1，a2，点p在c上且直线pa2斜率的取值范围是4，2，那么直线pa1斜率的取值范围是（）a1，b，c，d，12已知f为抛物线y2=x的焦点，点a，b在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中o为坐标原点），则abo与afo面积之和的最小值是（）a2b3cd二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13命题：x0r，使得x02+2x0+5=0的否定是14与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且过点（3，2）的椭圆方程为15已知f是双曲线的左焦点，a（1，4），p是双曲线右支上的动点，则|pf|+|pa|的最小值为16命题p：关于x的不等式x2+2ax+40，对一切xr恒成立； 命题q：函数f（x）=（32a）x在r上是增函数若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an满足a1=2，an+1=4an+2n+1（nn*）（1）令bn=+1，求证：数列bn为等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）求满足an240的最小正整数n18如图，在abc中，bc边上的中线ad长为3，且cosb=，cosadc=（）求sinbad的值；（）求ac边的长19如图，在四面体abcd中，已知abd=cbd=60，ab=bc=2，（1）求证：acbd；（2）若平面abd平面cbd，且bd=，求二面角cadb的余弦值20已知一条曲线c在y轴右边，c上任一点到点f（2，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是2（1）求曲线c的方程；（2）一直线l与曲线c交于a，b两点，且|af|+|bf|=8，求证：ab的垂直平分线恒过定点21如图，椭圆的离心率为，直线x=a和y=b所围成的矩形abcd的面积为8（）求椭圆m的标准方程；（）设直线l：y=x+m（mr）与椭圆m有两个不同的交点p，q，l与矩形abcd有两个不同的交点s，t求的最大值及取得最大值时m的值2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若p：xr，sin x1，则（）ap：x0r，sin x01bp：xr，sin x1cp：x0r，sin x01dp：xr，sin x1【考点】全称命题；命题的否定【专题】规律型【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可求解【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，xr，sin x1的否定为：xr，sin x1故选a【点评】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础试题2如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）a3m4bcd【考点】椭圆的定义【专题】计算题【分析】进而根据焦点在y轴推断出4m0，m30并且m34m，求得m的范围【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4m0，m30并且m34m，解得：故选d【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴3椭圆（ab0）的左、右顶点分别是a，b，左、右焦点分别是f1，f2若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质；等比关系的确定【专题】计算题【分析】由题意可得，|af1|=ac，|f1f2|=2c，|f1b|=a+c，由|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列可得到e2=，从而得到答案【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|af1|=ac，|f1f2|=2c，|f1b|=a+c，|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，（2c）2=（ac）（a+c），=，即e2=，e=，即此椭圆的离心率为故选b【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用a，c分别表示出|af1|，|f1f2|，|f1b|是关键，属于基础题4有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）abcd【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；通过若q1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误利用原命题与逆否命题同真同假判断即可【解答】解：对于，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0它是真命题对于，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等它是假命题对于，若q1，则=44q0，故命题若q1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题对于，原命题为假，故逆否命题也为假故选：b【点评】本题考查四种命题的真假判断以及命题的否定，解题时要注意四种命题的相互转化，和真假等价关系，属基础题5等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y2=16x的准线交于a，b两点，则c的实轴长为（）abc4d8【考点】圆锥曲线的综合【专题】计算题；压轴题【分析】设等轴双曲线c：x2y2=a2（a0），y2=16x的准线l：x=4，由c与抛物线y2=16x的准线交于a，b两点，能求出c的实轴长【解答】解：设等轴双曲线c：x2y2=a2（a0），y2=16x的准线l：x=4，c与抛物线y2=16x的准线l：x=4交于a，b两点，a（4，2），b（4，2），将a点坐标代入双曲线方程得=4，a=2，2a=4故选c【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化6设圆（x+1）2+y2=25的圆心为c，a（1，0）是圆内一定点，q为圆周上任一点线段aq的垂直平分线与cq的连线交于点m，则m的轨迹方程为（）abcd【考点】圆锥曲线的轨迹问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据线段中垂线的性质可得，|ma|=|mq|，又|mq|+|mc|=半径5，故有|mc|+|ma|=5|ac|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程【解答】解：由圆的方程可知，圆心c（1，0），半径等于5，设点m的坐标为（x，y ），aq的垂直平分线交cq于m，|ma|=|mq| 又|mq|+|mc|=半径5，|mc|+|ma|=5|ac|依据椭圆的定义可得，点m的轨迹是以 a、c 为焦点的椭圆，且 2a=5，c=1，b=，故椭圆方程为 =1，即 故选d【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|mc|+|ma|=5|ac|，是解题的关键和难点7设条件p：|x2|3，条件q：0xa，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（）a（0，5b（0，5）c5，+）d（5，+）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义，即可得到结论【解答】解：由|x2|3，得3x23，即1x5，即p：1x5，q：0xa，a为正常数要使若p是q的必要不充分条件，则0a5，故选：a【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法以及充分条件和必要条件的判断，比较基础8点p在椭圆7x2+4y2=28上，则点p到直线3x2y16=0的距离的最大值为（）abcd 【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】综合题【分析】由p在椭圆7x2+4y2=28上，知p点坐标是（），点p到直线3x2y16=0的距离d=，由此能求出点p到直线3x2y16=0的距离的最大值【解答】解：p在椭圆7x2+4y2=28上，椭圆7x2+4y2=28的标准方程是，可设p点坐标是（），（0360）点p到直线3x2y16=0的距离d=，=，（0360）故选c【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用9已知斜率为k=1的直线与双曲线=1（a0，b0）交于a、b两点，若a、b的中点为m（1，3），则双曲线的渐近线方程为（）axy=0b xy=0cx2y=0d2xy=0【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用点差法，可得，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），则，两式相减可得：，斜率为k=1的直线与双曲线=1（a0，b0）交于a、b两点，a、b的中点为m（1，3），故选：b【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，考查点差法，得出是关键10已知抛物线c的方程为y2=2px（p0），一条长度为4p的线段ab的两个端点a、b在抛物线c上运动，则线段ab的中点d到y轴距离的最小值为 （）a2pbcd3p【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】l：x=，分别过a，b，m作acl，bdl，mhl，垂足分别为c，d，h，要求m到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求m到抛物线的准线的最小距离d，然后用d即可求解【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x=分别过a，b，m作acl，bdl，mhl，垂足分别为c，d，h在直角梯形abdc中，mh=，由抛物线的定义可知ac=af，bd=bf（f为抛物线的焦点）mh=2p即ab的中点m到抛物线的准线的最小距离为2p，线段ab的中点m到y轴的最短距离为=故选：c【点评】本题考查线段中点到y轴距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用11双曲线c：=1的左、右顶点分别为a1，a2，点p在c上且直线pa2斜率的取值范围是4，2，那么直线pa1斜率的取值范围是（）a1，b，c，d，【考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线c：=1可知其左顶点a1（，0），右顶点a2（，0）设p（x0，y0）（x0），则得=，记直线pa1的斜率为k1，直线pa2的斜率为k2，则k1k2=，再利用已知给出的直线pa2斜率的取值范围是4，2，即可解出【解答】解：由双曲线c：=1可知其左顶点a1（，0），右顶点a2（，0）设p（x0，y0）（x0），则得=记直线pa1的斜率为k1，直线pa2的斜率为k2，则k1k2=，直线pa2斜率的取值范围是4，2，直线pa1斜率的取值范围是，故选：c【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键12已知f为抛物线y2=x的焦点，点a，b在该抛物线上且位于x轴的两侧， =2（其中o为坐标原点），则abo与afo面积之和的最小值是（）a2b3cd【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题【解答】解：设直线ab的方程为：x=ty+m，点a（x1，y1），b（x2，y2），直线ab与x轴的交点为m（m，0），由y2tym=0，根据韦达定理有y1y2=m，=2，x1x2+y1y2=2，结合及，得，点a，b位于x轴的两侧，y1y2=2，故m=2不妨令点a在x轴上方，则y10，又，sabo+safo=2（y1y2）+y1，=当且仅当，即时，取“=”号，abo与afo面积之和的最小值是3，故选b【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13命题：x0r，使得x02+2x0+5=0的否定是xr，使得x2+2x+50【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：xr，使得x2+2x+50故答案为：xr，使得x2+2x+50【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查14与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且过点（3，2）的椭圆方程为【考点】圆锥曲线的共同特征【专题】计算题【分析】由椭圆4x2+9y236=0求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆过点（3，2）求得a，根据b和c与a的关系求得b即可写出椭圆方程【解答】解：椭圆4x2+9y236=0，焦点坐标为：（，0），（，0），c=，椭圆的焦点与椭圆4x2+9y236=0有相同焦点设椭圆的方程为：，椭圆的半焦距c=，即a2b2=5解得：a2=15，b2=10椭圆的标准方程为 故答案为：【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的共同特征、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题15已知f是双曲线的左焦点，a（1，4），p是双曲线右支上的动点，则|pf|+|pa|的最小值为9【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用【专题】计算题；压轴题【分析】根据a点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据pa|+|pf|af|=5两式相加求得答案【解答】解：a点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为f（4，0），由双曲线性质|pf|pf|=2a=4而|pa|+|pf|af|=5两式相加得|pf|+|pa|9，当且仅当a、p、f三点共线时等号成立故答案为9【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用16命题p：关于x的不等式x2+2ax+40，对一切xr恒成立； 命题q：函数f（x）=（32a）x在r上是增函数若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为（，2）1，2）【考点】复合命题的真假【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】根据不等式的恒成立的等价条件及幂函数的单调性分别求得命题命题p、q为真时a的范围，再利用复合命题真值表判断：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，分别求出当p真q假时和当p假q真时a的范围，再求并集【解答】解：关于x的不等式x2+2ax+40，对一切xr恒成立，则=4a2160，即a24，解得2a2；命题q为真命题，则32a1a1，根据复合命题真值表知：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，当p真q假时，则1a2；当p假q真时，则a2，实数a的取值范围是a2或1a2，故答案为：（，2）1，2）【点评】本题借助考查复合命题的真假判断，考查了不等式的恒成立问题及幂函数的单调性，熟练掌握不等式的恒成立的等价条件及幂函数的单调性是解题的关键三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an满足a1=2，an+1=4an+2n+1（nn*）（1）令bn=+1，求证：数列bn为等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）求满足an240的最小正整数n【考点】数列递推式；等比关系的确定【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由an+1=4an+2n+1，bn=+1，可得bn+1=2bn，结合a1=2，可得数列bn是首项为2，公比为2的等比数列，（2）由（1）得：bn=2n，结合bn=+1，可得数列an的通项公式；（3）令t=2n，则an240可化为：t2t240，先解二次不等式，再解指数不等式可得答案【解答】证明：（1）an+1=4an+2n+1，bn=+1，bn+1=+1=2（+1）=2bn，又a1=2，b1=2，数列bn是首项为2，公比为2的等比数列，（2）由（1）得：bn=2n，即+1=2n，an=4n2n，（3）令t=2n，则an240可化为：t2t240，解得：t16，即2n16，n4，故满足an240的最小正整数n=4【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的通项公式，等比数列的证明，解指数不等式，二次不等式，是数列与不等式的综合应用，难度中档18如图，在abc中，bc边上的中线ad长为3，且cosb=，cosadc=（）求sinbad的值；（）求ac边的长【考点】解三角形【专题】综合题【分析】（）根据cosb=，cosadc=，利用平方关系，可得sinb、sinadc的值，利用sinbad=sin（adcb），即可求得结论；（）在abd中，由正弦定理，求bd=2，故dc=2，在adc中，由余弦定理，可求ac的长【解答】解：（）因为cosb=，所以sinb=（2分）又cosadc=，所以sinadc=（4分）所以sinbad=sin（adcb）=（）=（7分）（）在abd中，由正弦定理，得，解得bd=2（10分）故dc=2，从而在adc中，由余弦定理，得ac2=9+4232=16，所以ac=4（14分）【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题19如图，在四面体abcd中，已知abd=cbd=60，ab=bc=2，（1）求证：acbd；（2）若平面abd平面cbd，且bd=，求二面角cadb的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由已知得abdcbd，从而ad=cd，取ac的中点e，连结be，de，则beac，deac，从而ac平面bed，由此能证明acbd（2）过c作chbd于点h，由已知得ch平面abd，过h做hkad于点k，连接ck，则ckh为二面角cadb的平面角，由此能求出二面角cadb的余弦值【解答】（1）证明：abd=cbd，ab=bc，bd=bdabdcbd，ad=cd取ac的中点e，连结be，de，则beac，deac又bede=e，be平面bed，bd平面bed，ac平面bed，acbd（2）解：过c作chbd于点h则ch平面bcd，又平面abd平面bcd，平面abd平面bcd=bd，ch平面abd 过h做hkad于点k，连接ck ch平面abd，chad，又hkch=h，ad平面chk，ckadckh为二面角cadb的平面角 连接ahabdcbd，ahbdabd=cbd=60，ab=bc=2，ah=ch=，bh=1bd=，dh= ad=，hk=tan=，cos，二面角cadb的余弦值为【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20已知一条曲线c在y轴右边，c上任一点到点f（2，0）的距离减去它到y轴的距离的差都是2（1）求曲线c的方程；（2）一直线l与曲线c交于a，b两点，且|af|+|bf|=8，求证：ab的垂直平分线恒过定点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由条件，p到f（2，0）的距离等于到直线x=2的距离，可得曲线c是以f为焦点、直