中考数学一轮复习 第七章 专题拓展 7.2 尺规作图原理问题（试卷部分）课件.ppt

7 2尺规作图原理问题 中考数学 北京专用 1 2017北京 16 3分 下面是 作已知直角三角形的外接圆 的尺规作图过程 已知 rt abc c 90 求作 rt abc的外接圆 作法 如图 1 分别以点a和点b为圆心 大于ab的长为半径作弧 两弧相交于p q两点 2 作直线pq 交ab于点o 3 以o为圆心 oa长为半径作 o 好题精练 o即为所求作的圆 请回答 该尺规作图的依据是 答案到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 两点确定一条直线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 圆的定义 2 2015北京 16 3分 阅读下面材料 在数学课上 老师提出如下问题 尺规作图 作一条线段的垂直平分线 已知 线段ab 求作 线段ab的垂直平分线 小芸的作法如下 如图 1 分别以点a和点b为圆心 大于ab的长为半径作弧 两弧相交于c d两点 2 作直线cd 所以直线cd就是所求作的垂直平分线 老师说 小芸的作法正确 请回答 小芸的作图依据是 答案到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 两点确定一条直线 解析由小芸的作法可知 ac bc ad bd 所以由 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 可知点c d在线段ab的垂直平分线上 再由 两点确定一条直线 可知直线cd就是所求作的垂直平分线 思路分析可以从为什么直线cd是线段ab的垂直平分线来考虑 即需要思考如何证明 如何连线 解题关键解决本题的关键是要明确作图过程中各步的依据 要熟练掌握基本作图的步骤和依据 3 2018北京东城一模 16 已知正方形abcd 求作 正方形abcd的外接圆 作法 如图 1 分别连接ac bd 交于点o 2 以点o为圆心 oa长为半径作 o o即为所求作的圆 请回答 作图的依据是 答案正方形的对角线相等且互相平分和圆的定义 解析圆是由到定点的距离等于定长的点构成的图形 而正方形的对角线交点到四个顶点的距离相等 所以作图依据为正方形的对角线相等且互相平分和圆的定义 解题关键解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和圆的定义 4 2018北京西城一模 16 阅读下面材料 在复习课上 围绕一道作图题 老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法 并交流其中蕴含的数学原理 已知 直线l和直线外的一点p 求作 过点p且与直线l垂直的直线pq 垂足为点q 某同学的作图步骤如下 请你根据该同学的作图方法完成以下推理 pa pb apq pq l 依据 答案bpq 等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合 解析 pa pb pab为等腰三角形 pq为 apb的平分线 根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合可以得到pq l 5 2018北京海淀一模 16 下面是 过圆上一点作圆的切线 的尺规作图过程 已知 o和 o上一点p 求作 o的切线mn 使mn经过点p 作法 如图 1 作射线op 2 以点p为圆心 小于op的长为半径作弧 交射线op于a b两点 3 分别以点a b为圆心 大于ab长为半径画弧 两弧交于m n两点 4 作直线mn 则mn就是所求作的 o的切线 请回答 该尺规作图的依据是 答案到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 两点确定一条直线 解析作切线需要用到切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 同时一定是作两个点 两点确定一条直线 根据 到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 获得垂直 进而证明了mn就是所求作的切线 6 2018北京朝阳一模 16 下面是 经过已知直线外一点作这条直线的垂线 的尺规作图过程 已知 直线a和直线外一点p 求作 直线a的垂线 使它经过点p 作法 如图 1 在直线a上取一点a 连接pa 2 分别以点a和点p为圆心 大于ap的长为半径作弧 两弧相交于b c两点 连接bc交pa于点d 3 以点d为圆心 dp为半径作圆 交直线a于点e 作直线pe 直线pe就是所求作的垂线 请回答 该尺规作图的依据是 答案到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 直径所对的圆周角是直角 解析 pea 90 是因为直径所对的圆周角是直角 通过构造垂直平分线 找到pa的中点d 依据是到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 7 2018北京丰台一模 16 下面是 作一个角等于已知角 的尺规作图过程 已知 a 求作 一个角 使它等于 a 作法 如图 1 以点a为圆心 任意长为半径作 a 交 a的两边于b c两点 2 以点c为圆心 bc长为半径作弧 与 a交于点d 作射线ad cad就是所求作的角 请回答 该尺规作图的依据是 答案同圆的半径相等 三条边对应相等的两个三角形全等 全等三角形的对应角相等 解析通过圆规获得等线段 ab ad bc dc 所以两个三角形全等 则对应角相等 8 2018北京石景山一模 16 小林在没有量角器和圆规的情况下 利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线 他的作法是这样的 1 如图 利用刻度尺在 aob的两边oa ob上分别取点m n 使om on 2 利用两个三角板 分别过点m n画om on的垂线 交点为p 3 画射线op 则射线op为 aob的平分线 请写出小林的作法的依据 答案斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 全等三角形的对应角相等 解析由操作 1 得到om on 由操作 2 得到两个90 角 又op op 所以两个三角形全等 hl 由全等三角形的对应角相等得 aop bop 9 2018北京大兴一模 16 下面是 求作 aob的平分线 的尺规作图过程 已知 如图 钝角 aob 求作 aob的平分线 作法 在oa和ob上 分别截取od oe 使od oe 分别以d e为圆心 大于de的长为半径作弧 在 aob内 两弧交于点c 作射线oc 射线oc就是所求作的 aob的平分线 请回答 该尺规作图的依据是 答案三条边对应相等的三角形全等 全等三角形的对应角相等 解析通过圆规截取获得等线段 od oe和cd ce 再结合oc oc 可证两个三角形全等 全等三角形的对应角相等 所以 aoc boc 10 2018北京顺义一模 16 在数学课上 老师提出一个问题 用直尺和圆规作一个矩形 小华的作法如下 1 如图1 任取一点o 过点o作直线l1 l2 2 如图2 以o为圆心 任意长为半径作圆 与直线l1 l2分别交于点a c b d 3 如图3 连接ab bc cd da 四边形abcd即为所求作的矩形 请回答 小华的作图依据是 答案同圆的半径相等 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 解析通过作圆 根据同圆的半径相等可以得到ao co bo do 所以由 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 可得四边形abcd为矩形 一题多解直径所对的圆周角是直角 有三个角是直角的四边形是矩形 11 2018北京门头沟一模 16 下面是 已知一条直角边和斜边作直角三角形 的尺规作图过程 已知 线段a b 求作 rt abc 使得斜边ab b ac a 作法 如图 1 作射线ap 在ap上截取线段ab b 2 以ab为直径作 o 3 以点a为圆心 a的长为半径作弧交 o于点c 4 连接ac cb abc即为所求作的直角三角形 请回答 该尺规作图的依据是 答案直径所对的圆周角是直角 三角形定义 解析90 是由 直径所对的圆周角是直角 提供的 通过直角三角形定义可知 abc即为所求作的直角三角形 12 2017北京海淀一模 16 下面是 作三角形一边中线 的尺规作图过程 已知 abc 求作 bc边上的中线ad 作法 如图 1 分别以点b c为圆心 ac ab长为半径作弧 两弧相交于p点 2 作直线ap ap与bc交于d点 所以线段ad就是所求作的中线 请回答 该作图的依据是 答案两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的对角线互相平分 解析由作图可知ab cp ac bp 所以四边形abpc为平行四边形 由平行四边形对角线互相平分的性质可知bd cd 所以ad是bc边上的中线 13 2017北京西城一模 16 下面是 经过已知直线外一点作这条直线的平行线 的尺规作图过程 已知 如图 直线l和直线l外一点p 求作 直线l的平行直线 使它经过点p 作法 如图 1 过点p作直线m与直线l交于点o 2 在直线m上取一点a oa op 以点o为圆心 oa长为半径画弧 与直线l交于点b 3 以点p为圆心 oa长为半径画弧 交直线m于点c 以点c为圆心 ab长为半径画弧 两弧交于点d 4 作直线pd 直线pd就是所求作的平行线 请回答 该作图的依据是 答案三边分别相等的两个三角形全等 全等三角形的对应角相等 同位角相等 两直线平行 两点确定一条直线 解析通过画弧操作可知 oa ob pc pd ab cd 所以 oab pcd 三边分别相等的两个三角形全等 aob cpd 全等三角形的对应角相等 pd l 同位角相等 两直线平行 最后要连接点p和点d 要画出直线的理由是两点确定一条直线 14 2017北京丰台一模 16 在数学课上 老师提出如下问题 已知 线段a b 求作 等腰 abc 使ab ac bc a bc边上的高为b 小姗的作法如下 如图 1 作线段bc a 2 作线段bc的垂直平分线mn交线段bc于点d 3 在mn上截取线段da b 连接ab ac abc就是所求作的等腰三角形 老师说 小姗的作法正确 请回答 得到 abc是等腰三角形的依据是 答案垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 有两条边相等的三角形是等腰三角形 解析由操作步骤可知 通过作垂直平分线 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 再由垂直平分线的性质可得ab ac 根据等腰三角形的定义可以判定 abc是等腰三角形 15 2017北京东城一模 16 下面是 以已知线段为直径作圆 的尺规作图过程 已知 线段ab 求作 以ab为直径的 o 作法 如图 1 分别以a b为圆心 大于ab的长为半径作弧 两弧相交于点c d 2 作直线cd交ab于点o 3 以o为圆心 oa长为半径作圆 则 o即为所求 请回答 该作图的依据是 答案到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上 两点确定一条直线 同圆半径相等 且圆心到圆周的距离相等 解析由题意可知ac bc ad bd 可知点c d都在线段ab的垂直平分线上 所以直线cd是线段ab的垂直平分线 点o为ab的中点 根据圆的定义 即可作出以ab为直径的圆 16 2016北京石景山一模 16 阅读下面材料 在数学课上 老师请同学思考如下问题 已知 在 abc中 a 90 求作 p 使得点p在边ac上 且 p与ab bc都相切 小轩的主要作法如下 如图 1 作 abc的平分线bf 与ac交于点p 2 以点p为圆心 ap长为半径作 p 所以 p即为所求 老师说 小轩的作法正确 请回答 p与bc相切的依据是 答案角平分线上的点到角两边的距离相等 若圆心到直线的距离等于半径 则这条直线为圆的切线 解析过点p作pd bc 垂足为d 由角平分线的性质可知pa pd 由切线的判定可知 p与bc相切 17 2016北京朝阳一模 16 阅读下面材料 数学课上 老师提出如下问题 尺规作图 经过已知直线上一点作这条直线的垂线 已知 直线ab和ab上一点c 求作 ab的垂线 使它经过点c 小艾的作法如下 如图 1 在直线ab上取一点d 使点d与点c不重合 以点c为圆心 cd长为半径作弧 交ab于点e 2 分别以点d和点e为圆心 大于de长为半径作弧 两弧相交于点f 3 作直线cf 所以直线cf就是所求作的垂线 老师说小艾的作法是对的 请回答 小艾这样作图的依据是 答案等腰三角形 三线合一 两点确定一条直线 解析由圆规作图可得等线段df和ef 所以 def是等腰三角形 因为cf是中线 所以cf de 18 2016北京东城一模 16 阅读下面的材料 在数学课上 老师提出如下问题 如图 已知 abc ab bc 用尺规作图的方法在bc上取一点p 使得pa pc bc 甲 乙 丙 丁四位同学的主要作法如下 甲同学的作法 如图甲 以点b为圆心 ba长为半径画弧 交bc于点p 则点p就是所求的点 乙同学的作法 如图乙 作线段ac的垂直平分线交bc于点p 则点p就是所求的点 丙同学的作法 如图丙 以点c为圆心 ca长为半径画弧 交bc于点p 则点p就是所求的点 丁同学的作法 如图丁 作线段ab的垂直平分线交bc于点p 则点p就是所求的点 请你判断哪位同学的作法正确 这位同学作图的依据是 答案丁 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 等量代换 解析题图甲由同圆的半径相等可以得到ab pb 则ab pc bc 不符合题意 题图乙由垂直平分线的性质可以得到pa pc 则pb pa bc 不符合题意 题图丙由同圆的半径相等可以得到ac pc 则pb ac bc 不符合题意 题图丁由垂直平分线的性质可以得到pa pb 则pa pc bc 符合题意 思路分析依次确定甲 乙 丙 丁四种作法中的等量关系 作出判断 解题关键熟练掌握线段的垂直平分线的性质 1 2018河北 6 3分 尺规作图要求 过直线外一点作这条直线的垂线 作线段的垂直平分线 过直线上一点作这条直线的垂线 作角的平分线 下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图 教师专用题组 则正确的配对是 a b c d 答案d根据尺规作图的方法可知正确的配对是 故选d 2 2018河南 9 3分 如图 已知 aobc的顶点o 0 0 a 1 2 点b在x轴正半轴上 按以下步骤作图 以点o为圆心 适当长度为半径作弧 分别交边oa ob于点d e 分别以点d e为圆心 大于de的长为半径作弧 两弧在 aob内交于点f 作射线of 交边ac于点g 则点g的坐标为 a 1 2 b 2 c 3 2 d 2 2 答案a如图 设ac与y轴交于点h 在 aobc中 ac ob ah y轴 a 1 2 ao 由作图知of平分 aob aof bof ago ag ao hg ag ah 1 点g的坐标为 1 2 故选a 思路分析根据作图方法可知of平分 aob 在 aobc中判定 aog为等腰三角形 用勾股定理可求相关边长度 进而求得点g的坐标 方法总结本题考查了平行四边形的性质 基本作图 勾股定理 主要载体为一种数学模型 如下图 若存在3个条件 ab cd cb平分 acd ac ab 取任意两个作条件 一定能得出第三个 3 2018山西 14 3分 如图 直线mn pq 直线ab分别与mn pq相交于点a b 小宇同学利用尺规按以下步骤作图 以点a为圆心 以任意长为半径作弧交an于点c 交ab于点d 分别以c d为圆心 大于cd长为半径作弧 两弧在 nab内交于点e 作射线ae交pq于点f 若ab 2 abp 60 则线段af的长为 答案2 解析过点b作bg af交af于点g 由尺规作图可知 af平分 nab naf baf mn pq naf bfa baf bfa ba bf 2 bg af ag fg abp 60 baf bfa 30 在rt bfg中 fg bfcos bfa 2 af 2fg 2 4 2018陕西 17 5分 如图 已知 在正方形abcd中 m是bc边上一定点 连接am 请用尺规作图法 在am上求作一点p 使 dpa abm 不写作法 保留作图痕迹 解析如图所示 点p即为所求 5分 思路分析过d点作dp am于点p 进而可利用 apd b dap amb判断 dpa abm 5 2018江西 15 6分 如图 在四边形abcd中 ab cd ab 2cd e为ab的中点 请仅用分别按下列要求画图 保留画图痕迹 1 在图1中 画出 abd的bd边上的中线 2 在图2中 若ba bd 画出 abd的ad边上的高 解析画法如图 1 af即为所求 2 bf即为所求 解题关键本题考查复杂作图 解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和三角形的重心及等腰三角形三线合一等知识解决问题 思路分析 1 见答案第一个图 连接ec 通过判断四边形bedc是平行四边形得出ec和bd的交点f为线段bd的中点 进而画出所求