高考数学一轮复习 12.1 合情推理与演绎推理考点及自测 理 新人教A版.doc

第1讲合情推理与演绎推理【2014年高考会这样考】1考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论2考查演绎推理，主要与立体几何、解析几何、函数与导数等结合 考点梳理1合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断【助学微博】一个防范合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明两个要点(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性(2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确考点自测1(2013烟台质检)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()a使用了归纳推理b使用了类比推理c使用了“三段论”，但大前提错误d使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提是特称命题，而小前提是全称命题答案c2(2012江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()a28 b76 c123 d199解析记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nn*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案c3(2013临沂二模)对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：2213,32135,421357，根据上述分解规律，对任意自然数n，当n2时，有_解析分解后是以1为首项，2为公差，项数为n的等差数列的和答案n213(2n1)4在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为18.答案185(2011陕西)观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式应为_解析由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n1个整数相加，右边为(2n1)2，故第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 考向一归纳推理【例1】观察下列等式：可以推测：132333n3_(nn*，用含有n的代数式表示)审题视点 第二列的右端分别是12,32,62,102,152，与第一列比较可得结论解析第二列等式的右端分别是11,33,66,1010,1515，1,3,6,10,15，第n项an与第n1项an1(n2)的差为：anan1n，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，等号的左右两端分别相加得，ana123n，其中a11，an123n，即an，an2(n1)2.答案n2(n1)2 (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳【训练1】 (2012青岛模拟)观察下列等式：1，1，1，由以上等式推测到一个一般结论为_解析观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为.答案1(nn*) 考向二类比推理【例2】在平面几何里，有“若abc的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为sabc(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体abcd的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为r，则四面体的体积为_”审题视点 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论解析三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的，得v四面体abcd(s1s2s3s4)r.答案v四面体abcd(s1s2s3s4)r (1)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能【训练2】 (2013长沙模拟)已知p(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的一点，过p点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y22px两边同时对x求导，得2yy2p，则y，所以过p的切线的斜率k.类比上述方法求出双曲线x21在p(，)处的切线方程为_解析将双曲线方程化为y22(x21)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy4x，则y，即过p的切线的斜率k，由于p(，)，故切线斜率k2，因此切线方程为y2(x)，整理得2xy0.答案2xy0 考向三演绎推理【例3】数列an的前n项和记为sn，已知a11，an1sn(nn*)证明：(1)数列是等比数列；(2)sn14an.审题视点 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成(1)由等比数列的定义及sn与an的关系证明；(2)由(1)可推得证明(1)an1sn1sn，an1sn，(n2)snn(sn1sn)，即nsn12(n1)sn.2，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，sn14(n1)4sn14an(n2)，(小前提)又a23s13，s2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略【训练3】 已知函数f(x)(xr)(1)判定函数f(x)的奇偶性；(2)判定函数f(x)在r上的单调性，并证明解(1)对任意xr有xr，并且f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)f(x)在r上单调递增，证明如下：任取x1，x2r，并且x1x2，f(x1)f(x2).x1x2，2x12x20，即2x12x20.又2x110,2x210，0.f(x1)f(x2)f(x)在r上为单调递增函数 方法优化20活用归纳推理巧解题 【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，合情推理重点考查归纳推理，主要以函数、数列、不等式等知识为背景，以选择题或填空题的形式进行命题，试题难度不大【真题探究】 (2012陕西)观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_教你审题 根据已知的不等式归纳两边式子的特征，找出其规律性优美解法 观察三个不等式发现：第一个不等式左边为两式之和，且分母为两个连续整数的平方；右边为；第二个不等式左边为三式之和，且分母为三个连续整数的平方；右边为；第三个不等式左边为四式之和，且分母为四个连续整数的平方；右边为；归纳推理知：第五个不等式为：10ab”类比推出“若a，bc，则ab0ab”；“若xr，则|x|11x1”类比推出“若zc，则|z|11z1”其中类比结论正确的个数有()a1 b2 c3 d4解析类比结论正确的只有.答案b4(2011江西)观察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，则52 011的末四位数字为()a3 125 b5 625 c0 625 d8 125解析553 125,5615 625,5778 125,58390 625，591 953 125,5109 765 625，5n(nz，且n5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(nz，且n5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)f(50147)f(7)52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选d.答案d二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013山东省实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1，a2满足aa1，则a1a2”的证明过程：证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因为对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，从而得4(a1a2)280，所以a1a2.根据上述证明方法，若n个正实数满足aaa1时，你能得到的结论为_(不必证明)解析依题意，构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2，则有f(x)nx22(a1a2an)x1，2(a1a2an)24n4(a1a2an)24n0，即有a1a2an.答案a1a2an6用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖_块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是_ 解析按拼图的规律，第1个图有白色地砖331(块)，第2个图有白色地砖352(块)，第3个图有白色地砖373(块)，则第100个图中有白色地砖3201100503(块)第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是.答案503三、解答题(共25分)7(12分)给出下面的数表序列：其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解表4为1357 4812 1220 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列8(13分)(2012福建)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2. b级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013九江质检)观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为 ()a76 b80 c86 d92解析由|x|y|1的不同整数解的个数为4，|x|y|2的不同整数解的个数为8，|x|y|3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|y|n的不同整数解的个数为4n，故|x|y|20的不同整数解的个数为80.故选b.答案b2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ()a289 b1 024c1 225 d1 378解析观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案c二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013福州模拟)对一个边长为1的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成33方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图1所示的几何图形，其面积s1；第二步，将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图2；依此类推，到第n步，所得图形的面积snn.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积vn_.解析对一个棱长为1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成333个小正方体，接着用中心和8个角的9个小正方体，构成新1几何体，其体积v1；第二步，将新1几何体的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到新2几何体，其体积v22；，依此类推，到第n步，所得新n几何体的体积vnn.答案n4(2012湖南)设n2n(nn*，n2)，将n个数x1，x2，xn依次放入编号为1,2，n的n个位置，得到排列p0x1x2xn.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列p1x1x3xn1x2x4xn，将此操作称为c变换将p1分成两段，每段个数，并对每段作c变换，得到p2；当2in2时，将pi分成2i段，每段个数，并对每段作c变换，得到pi1.例如，当n8时，p2x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于p2中的第4个位置(1)当n16时，x7位于p2中的第_个位置；(2)当n2n(n8)时，x173位于p4中的第_个位置解析(1)当n16时，p1x1x3x5x7x9x16，此时x7在第一段内，再把这段变换x7位于偶数位的第2个位置，故在p2中，x7位于后半段的第2个位置，即在p2中x7位于第6个位置(2)在p1中，x173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在p2中x173位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得p3时，x173位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，x173位于十六段中