高考数学一轮复习 13.2 直线与圆的位置关系考点及自测 理 新人教A版.doc

第2讲直线与圆的位置关系 考点梳理1圆周角定理(1)圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数2圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理1：圆内接四边形的对角互补定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆3圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理及推论(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角5与圆有关的比例线段圆中的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦ab、cd相交于圆内点p(1)papbpcpd(2)acpbdp(1)在pa、pb、pc、pd四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理pab、pcd是o的割线(1)papbpcpd(2)pacpdb(1)求线段pa、pb、pc、pd及ab、cd(2)应用相似求ac、bd切割线定理pa切o于a，pbc是o的割线(1)pa2pbpc(2)pabpca(1)已知pa、pb、pc知二可求一(2)求解ab、ac切线长定理pa、pb是o的切线(1)papb(2)opaopb(1)证线段相等，已知pa求pb(2)求角考点自测1.如图，ab、ac是o的两条切线，切点分别为b、c，d是优弧上的点，已知bac80， 那么bdc_.解析连接ob、oc，则obab，ocac，boc180bac100，bdcboc50.答案502(2012湖北)如图，点d在o的弦ab上移动，ab4，连接od，过点d作od的垂线交o于点c，则cd的最大值为_解析当od的值最小时，dc最大，易知d为ab的中点时，dbdc2最大答案23(2012北京)如图，acb90，cdab于点d，以bd为直径的圆与bc交于点e，则()acecbaddbbcecbadabcadabcd2dceebcd2解析在直角三角形abc中，根据直角三角形射影定理可得cd2addb，再根据切割线定理可得cd2cecb，所以cecbaddb.答案a4. (2012湖南)如图所示，过点p的直线与o相交于a，b两点若pa1，ab2，po3，则o的半径等于_解析设圆的半径为r，则(3r)(3r)13，即r26，解得r.答案5. (2012天津)如图，已知ab和ac是圆的两条弦，过点b作圆的切线与ac的延长线相交于点d.过点c作bd的平行线与圆相交于点e，与ab相交于点f，af3，fb1，ef，则线段cd的长为_解析因为afbfefcf，解得cf2，所以，即bd.设cdx，ad4x，所以4x2，所以x.答案 考向一圆的切线的性质与判定【例1】如图，已知ab是o的直径，直线cd与o相切于点c，ac平分dab，adcd.(1)求证：ocad；(2)若ad2，ac，求ab的长(1)证明直线cd与o相切于点c，dcodcaaco90，aoco，oacaco，ac平分dab，dacoac，dacaco，ocad.(2)解连接bc，ab是o的直径，acb90，adcacb，又dacbac，adcacb，ad2，ac，ab. 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等【训练1】如图，o是abc的外接圆，abac，过点a作apbc，交bo的延长线于点p.(1)求证：ap是o的切线；(2)若o的半径r5，bc8，求线段ap的长(1)证明过点a作aebc，交bc于点e，abac，ae平分bc，点o在ae上又apbc，aeap，ap为圆o的切线(2)解bebc4，oe3，又aopboe，obeopa，即，ap. 考向二弦切角定理及推论的应用【例2】如图，梯形abcd内接于o，adbc，过b引o的切线分别交da、ca的延长线于e、f.已知bc8，cd5，af6，则ef的长为_解析be切o于b，abeacb.又adbc，eababc，eababc，.又aebc，.又adbc，abcd，ef.答案 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角【训练2】如图，已知圆上的弧，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点，证明：(1)acebcd；(2)bc2becd.证明(1)因为，所以bcdabc.又因为ec与圆相切于点c，故aceabc，所以acebcd.(2)因为ecbbdc，ebcbcd，所以bdcecb，故，即bc2becd. 考向三圆内接四边形性质的应用【例3】 (2013辽宁三校联考)已知四边形pqrs是圆内接四边形，psr90，过点q作pr、ps的垂线，垂足分别为点h、k.(1)求证：q、h、k、p四点共圆；(2)求证：qtts.证明(1)phqpkq90，q、h、k、p四点共圆(2)q、h、k、p四点共圆，hkshqp，psr90，pr为圆的直径，pqr90，qrhhqp，而qspqrh，由得，qsphks，tstk，又skq90，sqktkq，qttk，qtts. (1)四边形abcd的对角线交于点p，若papcpbpd，则它的四个顶点共圆(2)四边形abcd的一组对边ab、dc的延长线交于点p，若papbpcpd，则它的四个顶点共圆以上两个命题的逆命题也成立该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效【训练3】如图，ab是o的直径，g为ab延长线上的一点，gcd是o的割线，过点g作ab的垂线，交ac的延长线于点e，交ad的延长线于点f，过g作o的切线，切点为h.求证：(1)c，d，f，e四点共圆；(2)gh2gegf.证明(1)如图，连接bc.ab是o的直径，acb90.agfg，age90.又eagbac，abcaeg.又fdcabc，fdcaeg.fdccef180.c，d，f，e四点共圆(2)gh为o的切线，gcd为割线，gh2gcgd.由c，d，f，e四点共圆，得gceafe，gecgdf.gcegfd.，即gcgdgegf.gh2gegf. (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1. 如图，ab是o的直径，mn与o切于点c，acbc，则sinmca_.解析由弦切角定理得，mcaabc，sin abc.答案2. 如图，ab为o的直径，c为o上一点ad和过c点的切线互相垂直，垂足为d，dab80，则aco_.解析cd是o的切线，occd，又adcd，ocad.由此得，acocad，ocoa，caoaco，cadcao，故ac平分dab.cao40，又acocao，aco40.答案403. 如图，在abc中，abac，c72，o过a、b两点且与bc相切于点b，与ac交于点d，连接bd，若bc1，则ac_.解析由题易知，cabc72，adbc36，所以bcdacb，又易知bdadbc，所以bc2cdac(acbc)ac，解得ac2.答案24. 如图，已知rtabc的两条直角边ac，bc的长分别为3 cm，4 cm，以ac为直径的圆与ab交于d，则_.解析c90，ac为圆的直径，bc为圆的切线，ab为圆的割线，bc2bdab，即16bd5，解得bd，dababd5，.答案5. 如图，四边形abcd是圆o的内接四边形，延长ab和dc相交于点p，若，则的值为_解析pp，pcbpad，pcbpad，.答案6. (2012陕西)如图，在圆o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e，efdb，垂足为f，若ab6，ae1，则dfdb_.解析由题意知，ab6，ae1，be5.cedede2aebe5.在rtdeb中，efdb，由射影定理得dfdbde25.答案57(2012广东)如图，圆o的半径为1，a、b、c是圆周上的三点，满足abc30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则pa_.解析如图，连接oa.由abc30，得aoc60，在直角三角形aop中，oa1，于是paoatan 60.答案8. 如图，o和o相交于a、b两点，过a作两圆的切线分别交两圆于c、d.若bc2，bd4，则ab的长为_解析ac、ad分别是两圆的切线，c2，1d，acbdab.，ab2bcbd248.ab2(舍去负值)答案2二、解答题(共20分)9(10分)(2012新课标全国)如图，d，e分别为abc边ab，ac的中点，直线de交abc的外接圆于f，g两点若cfab，证明：(1)cdbc；(2)bcdgbd.证明(1)因为d，e分别为ab，ac的中点，所以debc.又已知cfab，故四边形bcfd是平行四边形，所以cfbdad.而cfad，连结a