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2015 考研数学强化班概率统计重要题型讲解 1 第一章 随机事件与概率 题型一 三种基本概型 内容提要 内容提要 一 古典概型一 古典概型 若随机试验的可能结果有限 且每个可能的结果发生的概率相同 称其为古典概型 样本点总数 中所含样本点数A AP 二 贝努利概型二 贝努利概型 设随机试验每次试验只有两个可能结果 且每次试验两个可能的结果发生的概率不变 n次这样的试 验称为n重贝努利试验 设每次试验发生A与A 且pAP 令 次发生次试验中kAnAk nk 1 0 则 knkk nk ppCAP 1 nk 1 0 三 几何概型三 几何概型 设 为有限区域 且区域中每个点发生等可能 称其为几何概型 的几何度量 的几何度量 A AP 例 1 口袋有 10 个球 其中 4 个白球 6 个黑球 从中任取两个 求 1 两个都是白球的概率 2 两个球中一个是白球一个是黑球的概率 3 至少有一个白球的概率 例 2 在区间 1 0 内任取两个数yx 求yx 之差的绝对值小于 2 1 的概率 解 令 10 10 yxyx 2 1 yxyxyxA且 则 4 3 1 4 1 1 S S AP A 例 3 2 222 zyx内每点等可能取到 求取到单位球与 22 yxz 内点的概率 解 令 2 222 zyxzyx 22 yxzzyxzyxA 且 又 3 28 V 购课认准惊呼网 2015 考研数学强化班概率统计重要题型讲解 2 由 22 222 2 yxz zyx 得1 22 yx 于是 2 1 222222 yxzyxyxzyxA 1 0 2 2 0 1 2222 2 2 22 drrrrddxdyyxyxV yx A 3 12 4 3 1 2 3 2 2 1 2 1 0 2 3 2 r 故 22 12 V V AP A 例 4 在 3 次独立试验中 事件A发生的概率不变且A至少出现一次的概率为 27 19 求事件A发生的概 率 题型二 事件的关系与运算 例1 设BA 为两个随机事件 且1 0 AP 证明 BA 独立的充分必要条件是 ABPABP 例 2 设两个独立的事件BA 都不发生的概率为 9 1 A发生B不发生的概率与A不发生B发生的概率 相等 求 AP 例 3 设事件BA 同时发生时 事件C一定发生 则下列结论正确的是 A CPABP B CPBAP C1 BPAPCP D1 BPAPCP 题型三 全概率公式与贝叶斯公式 例 1 甲 乙两人对同一目标射击 命中率分别为6 0与5 0 就下列两种情形求 已知目标命中 求是 甲击中的概率 1 甲 乙两人同时射击 2 甲 乙两人中先选择一人 由此人射击 例 2 口袋中有 12 个球 其中红球 5 个 白球 7 个 先后两次各取一个球 不放回 求 1 求第二次取红球的概率 2 已知第二次取红球 求第一次取红球的概率 例 3 设有来自三个地区的各 10 15 25 名考生的报名表 其中女生报名表分别为3 7 5 随机取 一个地区 从该地区报名表中先后抽取两份表明表 1 求先抽到的是女生报名表的概率p 2 已知第二份抽到的男生报名表 求先抽到的是女生报名表的概率q 例 4 设 X 随机变量Y等可能取X 0之间的整数 求 2 YP 购课认准惊呼网 2015 考研数学强化班概率统计重要题型讲解 3 第二章 一维随机变量及分布 题型一 分布律与分布密度 分布函数 例 1 设YX 为两个随机变量 其密度为 21 xfxf 分布函数为 21 xFxF 下列函数是密度函 数的是 A 21 xfxf B 21 xfxf C 21 xFxf D 1221 xFxfxFxf 例 2 设随机变量X的分布函数为 1 1 1 0 2 1 0 0 xe x x xF x 求 1 XP 例 3 设X的概率密度为 xx Aexf 2 求A 例 4 设随机变量1 X 其分布为 4 1 1 8 1 1 XPXP 在 1 1 内X的概率与区间长度 成正比 求 xF 例 5 由四个电子元件先两两串联再并联 各个元件工作状态相互独立 且每个元件正常工作时间服从 参数为 的指数分布 求整个系统正常工作T的分布 题型二 常见的随机变量的分布 例 1 设随机变量 2 2 NX 且4 0 42 XP 求 0 XP 例 2 设 2 22 2 11 NYNX 已知 1 1 21 YPXP 则 A 21 C 21 例 3 设 2 NX 其中0X至少 2 次的概率 题型三 随机变量函数的分布 例 1 设 4 1 4 1 4 1 4 1 2101 X 求1 2 XY的分布律 例 2 设 3 0 UX 1 2 XY 求Y的密度函数 例 3 设 1 EX X eY 求随机变量Y的密度函数 例 4 设 2 EX 求 X eY 2 1 的密度函数 购课认准惊呼网 2015 考研数学强化班概率统计重要题型讲解 4 例 5 设随机变量的密度为X的密度为 其他 0 0 02 2 yxe yxf yx 求YX 得边缘分布密度及条件密度 例 5 设 1 0 UX 当 10 xxX时 0 xUY 1 求 YX的联合密度 2 求Y的边缘密度 2 求 1 22 YXP 题型二 随机变量的独立性 例 1 设随机变量YX 相互独立 下表给出了二维随机变量 YX的联合与边缘分布的部分数据 请 填上其余数据 Y X 1 y 2 y 3 y i p 1 x 8 1 2 x 8 1 jp 6 1 1 例 2 设 YX的联合密度为 其他 0 0 xye yxf x 购课认准惊呼网 2015 考研数学强化班概率统计重要题型讲解 5 1 求 YX的边缘密度与条件密度 2 判断YX 的独立性 题型三 二维随机变量函数的分布 例 1 设 YX的联合密度为 其他 0 10 10 2 yxyx yxf 求YXZ 的密度函数 例 2 设 1 1 0 EYUX 且YX 独立 求YXZ 2的密度 例 3 设 21 EYEX 且YX 独立 求 max YXZ 与 min YXZ 的分布函数 例 4 设 2 UYNX 求YXZ 的密度函数 例 5 设 YX的联合密度函数为 其他 0 20 10 1 xyx yxf 1 求YX 的边缘分布 2 求YXZ 2的密度函数 例 6 设 3 EX 求 2 min XY 的分布函数 并讨论其连续性 例 7 设 4 1 2 1 4 1 210 X 1 0 NY 求XYZ 的分布函数 例 8 设 3 1 3 1 3 1 101 X 1 0 UY 且YX 独立 YXZ 求 1 Z的分布函数 2 0 2 1 XZP 第四章 随机变量的数字特征 题型一 随机变量的数学期望与方差 例 1 从学校到火车站有 3 个红绿灯 各路口的信号灯相互独立 任一路口遇到红灯的概率为 5 2 求途 中遇到红绿灯的平均次数 例 2 某人射击命中率为 5 1 设射击直到首次命中目标的射击次数为X 求EX 例 3 设X的密度函数为 X的次数 购课认准惊呼网 2015 考研数学强化班概率统计重要题型讲解 6 求 2 EY 例 4 设 1 EX 求 2X eXE 例 5 设X的分布函数为 2 1 7 0 3 0 x xxF 求EX 例 6 设 2 1 0 2 1 0 NYNX 且YX 相互独立 求 YXE 及 YXD 例 7 设 4 0 4 0 NYNX且YX 相互独立 求 22 YXE 例 8 设YX 独立同分布于参数为 1 的指数分布 令 min max YXVYXU 1 求VU 的分布函数 2 求 VUE 题型二 协方差与相关系数 例 1 设 3 2 3 1 21 X YX 独立且同分布 令 min max YXVYXU 1 求 VU的联合分布律 2 求 UV 例 2 设随机变量 n XXX 21 独立同分布于标准正态分布 令 n i i X n X 1 1 XXY ii 求 1 0 1 n YYP 2 cov 1n YY 题型三 随机变量的独立性与相关性 例 1 设YX 表示n次投硬币中正 反面次数 求 XY 例 2 设 1 1 UX 2 XY 讨论YX 的不相关性与独立性 例 3 设BA 为两个随机事件 令 不发生 发生 A A X 1 1 不发生 发生 B B Y 1 1 证明 YX 不相关的充要条件是BA 独立 购课认准惊呼网 2015 考研数学强化班概率统计重要题型讲解 7 第五章 大数定律与中心极限定理 题型一 车比雪夫不等式 例 1 设 2 DXEX 用车比雪夫不等式估计 2 XP 例 2 设9 2 4 1 DYEYDXEX 又 2 1 XY 用车比雪夫不等式估计 5 1 YXP 题型二 大数定律 例 1 设 21n XXX独立同分布于 则 1 1 2 n i P i X n 题型三 中心极限定理 例 1 设随机变量 21n XXX独立同分布于参数为 的指数分布 则 A lim 1 xx n nX P n i i n B lim 1 xx n nX P n i i n C lim 1 xx n X P n i i n D lim 1 xx n X P n i i n 例 2 设 10 1 100 BX 用中心极限定理估计 16 XP 例 3 一系统由 100 个相互独立的元件构成 系统运行时每个元件损坏的概率为1 0 只有至少有 85 个 元件正常工作时系统才能正常工作 求系统的可靠性 例 4 一生产线生产包装箱 每箱重量随机 设每箱平均重量为50千克 标准差为 5 千克 若用最大载 重量为 5 吨的汽车承运 利用中心极限定理说明 最多装多少箱 可以保证部超载的概率大于977 0 977 0 2 第六章 数理统计的基本概念 题型一 统计量的数字特征 例 1 设 2 NX n XX 1 为来自总体的简单随机样本 令 22 1n XXT 求 2 1T XE 例 2 设 2 NX n XX 1 是来自总体的简单样本 令 n i i X n U 1 1 求统计量U的 数学期望与方差 例3 设 总 体X概 率 密 度 为 2 1 x exf n XX 1 是 来 自 总 体 的 简 单 样 本 购课认准惊呼网 2015 考研数学强化班概率统计重要题型讲解 8 n i i XX n S 1 22 1 1 求 2 ES 例 4 设总体 2 1 NX XX 1 为来自总体X的简单样本 2 2 NY n YY 1 为来自总体Y的简单样本 令 2 1 2 1 2 mm YYXX U n j j m i i 求DU 题型二 统计量的分布 例 1 设总体 4 0 NX 4321 XXXX为总体的简单样本 令 2 43 2 21 43 2 XXbXXaU 且 2 2 U 求ba 例 2 设总体YX 独立同分布于 0 2 N 且 91 XX 与 91 YY 为两个总体的简单样本 求 2 9 2 1 91 YY XX U 服从的分布 例 3 设 1 2 NX 4321 XXXX为总体的简单样本 求 2 43 21 XX XX 服从的分布 第七章 参数估计与假设检验 题型一 参数的点估计 例 1 设总体 21 1 2 3210 22 X 其中 是未知参数 且样本观察值为3 2 1 3 0 3 1 3 求 的矩估计值和最大似然估计值 例 2 设总体X的密度为 为未知参数 n XXX 21 为简单随机变量 求 的矩 估计量和最大似然估计量 例 3 设总体 x xe xfX x 0 2 其中 为未知参数 n XXX 21 为简单样本 求 的 最大似然估计量 题型二 参数点估计的评价标准 例 1 设 n XXX 21 为 总 体X的 简 单 样 本 且 2 DXEX 确 定 常 数c 使 得 购课认准惊呼网 2015 考研数学强化班概率统计重要题型讲解 9 1 1 2 1 n i ii XXc为 2 的无偏估计量 例 2 设总体 x xe xfX x 0 2