数学答案4.11.doc

习题4.1.11.设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来:(1)A发生，B、C不发生；(2)A、B都发生，而C不发生；(3)三个事件都发生；(5)三个事件都不发生；(4.1)三个事件中恰好有一个发生；(4.2)三个事件中至少有一个发生；(6.1)三个事件中恰好有两个发生；(6.2)三个事件中至少有两个发生.分析：A表示事件A发生，而表示事件A不发生; A+B表示事件A或B至少有一个发生，而AB表示事件A和B同时发生.解：(1); (2); (3); (5);(4.1) 三个事件中恰好有一个发生,即：A发生，B、C不发生；或B发生，A、C不发生；或C发生，A、B不发生即；(4.2) 三个事件中至少有一个发生,即：A发生；或B发生；或C发生即；(6.1)三个事件中恰好有两个发生,即：A、B发生，而C不发生；或A、C发生，而B不发生；或B、C发生，而A不发生即；(6.2)三个事件中至少有两个发生,即：A、B发生；或A、C发生；或B、C发生 即.2.事件A与事件是否互不相容？是否对立？分析：若，则A、B互不相容； 若，则A、B对立；解；因为,所以事件A与事件互不相容；因为,所以事件A与事件不是对立事件.注：A、B对立 A、B互不相容.3.设A=“四件产品中至少有两件是次品”，B=“四件产品中次品数不少于三件”，问各表示什么意思？分析：至少有两件，即，对立事件即为2，即； 不少于三件，即，对立事件即为3，即.解：=“四件产品中至多有一件是次品”；=“四件产品中次品数至多两件”.4.袋中有红、黄、白求各一个，每次取一个又放回，连取三次，求下列事件的概率.A=“三个球都是红球”=“全红”，B=“全黄”，C=“全白”，D=“三球颜色相同”，E=“全不同”，F=“不全同”，G=“无红”，H=“无黄”，I=“无白”，J=“无红且无黄”，K=“全红或全黄”.解：从3个球中，每次取一个又放回，连取三次，共有种取法，即基本事件总数，A：要使取出的球全红，即第一次红，第二次红，第三次红，共有111=1种取法，即A中基本事件数m(A)=1，所以；同理：；D=“三球颜色相同”,即“全红”或“全黄”或“全白”，即D=A+B+C，因为事件A、B、C两两互不相容，所以；E=“全不同”，即为红黄白的一个全排列，所以E中基本事件数m(E)=3!=321=6,所以；因为F=“不全同”，所以=“全同”=D，所以；G=“无红”,即“全黄”或“全白”或“两黄一白”或“两白一黄”，所以G中基本事件数=1+1+3+3=8，所以；同理：；J=“无红且无黄”=“全白”=C，所以； K=“全红或全黄”=A+B，又A、B互不相容，所以5.从一副扑克牌（共52张）中，任取2张，求都是黑桃的概率.解：从52张扑克牌中任取2张，共有种取法，即基本事件总数，扑克牌中共有13张黑桃，设A=“取到的都是黑桃”，则A中基本事件数，根据古典概型公式得.6.在书架上任意排着10本书，求指定的3本书放在一起的概率.分析：指定的三本放在一起，包含“第一步：将三本看成“一大本”，与其他7本进行排列，即8本书任意排列，共有种排列方法；第二步：指定的三本书只要求放在一起，不要求顺序，因此三本书可任意排列，共有种排列方法”，根据计数的乘法原则得，.解：10本书任意排列，共有种排列方法，即基本事件总数，设A=“指定的3本书放在一起”，则A中基本事件数，.7.在20件产品中有18件一级品，2件二级品，任取3件，求下列事件的概率：(1)A=“恰有一件二级品”；(2)B=“至少有一件二级品”.解：(1)20件产品中任取3件，即基本事件总数为，A=“恰有一件二级品”=“一件二级品两件一级品”，所以A中基本事件数，所以(2)因为=“全都是一级品”，而，所以.8.一个袋中有5个红球、3个白球、2个黑球，求任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率.解：10个球中任取3个，所以基本事件总数，设A=“取出的球恰为一红一白一黑”，则A中基本事件数，所以9.袋中有18个白球、2个红球，从中随机地连续取3个球，取后不放回，求第三个是红球的概率.解一：20个球中不放回地连续取三次，每次一个，所以基本事件总数，设=“第三个是红球”，则事件包含两类：第一类：前两个是白球，第三个是红球，共有18172=612种取法；第二类：前两个一红一白，第三个是红球，共有1821+2181=72种取法. 根据计数的加法原则得，事件A的基本事件数m=612+72=684，所以解二：设Ai=“第i次取到白球”，(i=1,2,3),则“第三次取到红球”， 所以 0.110.甲、乙两射手进行射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.85，甲、乙两人同时击中目标的概率是0.68，求至少有一人击中目标的概率以及都没击中目标的概率.解：设=“甲击中目标”，B=“乙击中目标”，则P(A)=0.8，P(B)=0.85，P(AB)=0.68， A+B=“至少有一人击中目标”，“两人都没击中目标” 所以11.一批零件共50个，次品率为10，每次从中任取一个，取后不放回，求第三次才取得正品的概率.解一：次品率为10，所以次品数为5，正品数为45.从50个零件中不放回地连续取三次，每次一个，所以基本事件总数，设事件=“第三次才取得正品”，则前两次取得次品，所以事件的基本事件数为5445所以解二：次品率为10，所以次品数为5，正品数为45.设Ai=“第i次取得正品”，(i=1,2,3),则“第i次取得次品”，则第三次才取得正品表示为, 所以注：“第三次取到正品”与“第三次才取到正品”含义不同： “第三次取到正品”，则前两次可以是次品，也可以是正品； “第三次才取到正品”则前两次为次品，第三次为正品.（与第9题比较）12.将由3件一等品和6件二等品所组成的一批产品随机分成三组，每组各3件，求每组恰有2件一等品的概率.分析：每组恰有2件一等品，表示每组有两件二等品和一件一等品，可分以下两步进行：1)将6件二等品分成三组，可分以下三步进行：第一步：从6件中选2件组成一组，有种取法；第二步：从剩下的4件中选2件组成一组，有种取法；第三步：从剩下的2件中选2件组成一组，有种取法. 2)将3件一等品分到各组，有种取法.解：将9种产品分成3组，有种取法，即基本事件总数；记事件A=“每组恰有两件二等品”，则每组有两件二等品和一件一等品，其基本事件数，所以13.某产品可能有两种缺陷A和B中的一种或两种，缺陷A和B的发生是独立的，且有P(A)=0.05,和P(B)=0.03，求产品有下述各种情况的概率：(1)两种缺陷都有；(2)有A没有B；(3)两种缺陷中至少有一种.解：依题意，AB=“两种缺陷都有”；=“有A没有B”；A+B=“两种缺陷中至少有一种”，因为A和B相互独立，=0.050.03=0.0015；=0.05+0.03-0.0015=0.078514.进行摩托车比赛，在AB地段内设有3个障碍，在每个障碍前停车的概率均为0.1，从B点到终点C不停车的概率为0.7，求在AC地段内竞赛者一次也不停车的概率.解：设A=“在AB地段不停车”，B=“在BC地段不停车”，则AB=“在AC地段内竞赛者一次也不停车”，依题意，P(A)=0.90.90.9=0.729；P(B)=0.7，事件A、B相互独立，所以=0.7290.7=0.5103；15.制造一零件可以采用两种工艺：第一种是零件经过三道独立工序，经过每道工序时出废品的概率分别为0.1、0.2、0.3；第二种是经过两道独立工序，在每道工序中出废品的概率均为0.3.如果采用第一种工艺，则在合格的零件中得到一级品的概率为0.9，而采用第二种工艺时为0.8，试确定哪一种工艺得到一级品的概率较大.解： A=“得到合格品”，Bi=“采用第i种工艺”i=1,2.则，所以采用第一道工艺得到一级品的概率为P1=0.5040.9=0.4536，所以采用二道工艺得到一级品的概率为P2=0.490.8=0.392综上，采用第一种工艺得到一级品的概率较大.16.两台车床加工同样的零件，第一台车床加工零件的废品率为0.03，第二台车床加工零件的废品率为0.02，现把加工出来的零件放在一起，并且已知第一台车床加工的零件比第二台车床加工的零件多1倍，求：(1)从全部零件中任取1件是合格品的概率；(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率.分析：(1)从所有零件中任取一件，有可能是第一台车床或第二台车床中的零件，考虑全概率公式； (2)在已经知道取得废品的条件下，求是第二台车床的概率，是后验概率，考虑贝叶斯公式.解：设B=“取得合格品”，“取得第i台车床加工的产品”(i=1,2),A1，A2构成一个完备事件组.因为第一台车床的零件比第二台的多1倍，所以第一台与第二台车床的产量比为2:1即第一台车床占，第二台车床占，所以依题意，(1)由全概率公式得：；(2)由贝叶斯公式得：.17.A袋中有2个白球1个黑球，B袋中有1个白球5个黑球，现从A中任取1球放入B中，再从B中任取1球，求此球是白球的概率.分析：取出的白球可能来自A袋，也可能来自B袋，因此需对从A袋中取出的球做分析： 若从A袋中取得白球，则取后B袋中有2个白球5个黑球； 若从A袋中取得黑球，则取后B袋中有1个白球6个黑球；解：设B=“取得的球是白球”， =“从A袋中取出白球”，则 =“从A袋中取出黑球”. ，构成一个完备事件组.所以，由全概率公式得：18.成年人中吸烟的人占25，吸烟的人得肺癌的概率为0.18，而不吸烟的人得肺癌的概率仅为 0.0