《平行四边形及其性质》知识讲解(提高).doc

平行四边形及其性质（提高）【学习目标】1理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相等” 【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，AOB的周长比BOC的周长大8，求AB，BC的长【答案与解析】解： 四边形ABCD是平行四边形 ABCD，ADBC，AOCO， ABCD的周长是602AB2BC60，即ABBC30，又 AOB的周长比BOC的周长大8即（AOOBAB）（BOOCBC）ABBC8， 由有 解得 AB，BC的长分别是19和11 【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是DCB的平分线，F是AB的中点，AB6，BC4.求AE：EF：FB的值.【答案】解： ABCD是平行四边形，所以ABCD，ECDCEBCE为DCB的角平分线，ECDECB，ECBCEB，BCBEBC4，所以BE4AB6，F为AB的中点，所以BF3EFBEBF1，AEABBE2 AE：EF：FB2：1：3.2、平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M，如果CDM的周长是40cm，求平行四边形ABCD的周长【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OMAC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD的周长【答案与解析】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AD=BC，OA=OC，OMAC，AM=CM，CDM的周长是40，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=240=80（cm）平行四边形ABCD的周长为80cm【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质解题的关键是注意数形结合思想的应用【变式】将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF，将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O（1）当DEF旋转至如图位置，点B（E），C，D在同一直线上时，AF与CD的数量关系是 AF=CD_；（2）当DEF继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由 【答案】解：（1）AF=CD，理由是：在ABC和DEF中ABCDEF（SAS），BF=EC，AB=DE，AF=CD，故答案为：AF=CD（2）成立，理由是：ABCDEF，AB=DE，BC=EF，ABC=DEF，ABC-FBC=DEF-FBC，ABF=DEC，在ABF和DEC中ABFDEC（SAS），AF=CD3、如图，在平行四边形ABCD中，ABC、BCD的平分线相交于点O，BO延长线交CD延长线于点E，求证：OB=OE【思路点拨】在平行四边形ABCD中，ABDC，ABE=CEB，又BE平分ABC，ABE=CBE，用等量代换可得CBE=CEB，所以BCE是等腰三角形，又因为CO平分BCE，因为等腰三角形三线合一，所以OB=OE【答案与解析】证明：ABDC，ABE=CEB，又BE平分ABC，ABE=CBE，CBE=CEB，CB=CE，BCE是等腰三角形，又CO平分BCE，BCO=ECO，OB=OE【总结升华】本题考查平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是知道平行四边形对边平行以及等腰三角形的三线合一4、如图1，P为RtABC所在平面内任一点（不在直线AC上），ACB=90，M为AB的中点操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE（1）请你猜想与线段DE有关的三个结论，并证明你的猜想；（2）若将“RtABC”改为“任意ABC”，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）【思路点拨】（1）连接BE，证PMAEMB，推出PA=BE，MPA=MEB，推出PABE根据平行四边形的性质得出PADC，PA=DC，推出BEDC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可；（2）连接BE，证PMAEMB，推出PA=BE，MPA=MEB，推出PABE根据平行四边形的性质得出PADC，PA=DC，推出BEDC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可【答案与解析】（1） DEBC，DE=BC，DEAC，证明：连接BE，M为AB中点，AM=MB，在PMA和EMB中，PMAEMB（SAS），PA=BE，MPA=MEB，PABE四边形PADC是平行四边形，PADC，PA=DC，BEDC，BE=DC，四边形DEBC是平行四边形，DEBC，DE=BCACB=90，BCAC，DEAC（2）解：DEBC，DE=BC【总结升华】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用【变式】已知：如图，在平行四边形ABCD中，DEAB于点E，DFBC于点F，DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P（1）求证：ADE=CDF；（2）如果B=120，求证：DMN是等边三角形【答案】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，DAB=C，DCAB，DEAB于点E，DFBC于点F，ADE=90-DAB，CDF=90-C，ADE=CDF（2）证明：DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P，DAP=BAP，DCAB，DPA=BAP，DAP=DPA，DA=DP，ADE=CDF，DAP=DPA，DA=DP，DAMDPN，DM=DN，B=120，MDN=360-DEB-EFB-B=360-90-90-120=60，DMN是等边三角形类型二、平行线性质定理及其推论5、如图1，已知直线mn，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上；（1）写出图1中面积相等的各对三角形：CAB与PAB、BCP与APC、ACO与BOP_；（2）如图，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有_PAB与ABC的面积相等；（3）如图，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积【思路点拨】（1）找出图中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说ABC与PAB的公共边AB上的高相等，所以总有PAB与ABC的面积相等；（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可【答案与解析】解：（1）mn，点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；又同底等高的三角形的面积相等，图中符合条件的三角形有：CAB与PAB、BCP与APC，ACO与BOP；（2）mn，点C、P到直线n间的距离是相等的，ABC与PAB的公共边AB上的高相等，总有PAB与ABC的面积相等；（3）连接EC，过点D作直线DMEC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线【总结升华】本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键【巩固练习】一.选择题1平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是( )A.8和16B.10和16C.8和14D.8和122以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个A.1B.2C.3D.无数3平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )A.5B.6 C.8D.124. 国家级历史文化名城-金华，风光秀丽，花木葱茏某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花如果有ABEFDC，BCGHAD，那么下列说法中错误的是（） A红花，绿花种植面积一定相等 B紫花，橙花种植面积一定相等 C红花，蓝花种植面积一定相等 D蓝花，黄花种植面积一定相等5. 如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，若BF=DE，则图中的全等三角形最多有（）A8对 B6对 C5对 D4对6在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（） A 2 B C D 15二.填空题7. 如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是 . 8. 如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，ABAE，连结EC交AD于点F，若CF平分BCD，AB3，则BC的长为 9. 在ABCD中, A的平分线分BC成4和3的两条线段, 则ABCD的周长为_.10.如图，在ABCD中，AB3，AD4，ABC60，过BC的中点E作EFAB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则DEF的面积是_. 11. 如图，在周长为20的ABCD中，ABAD，AC、BD 相交于点O，OEBD交AD于E，则ABE的周长为_. 12如图，在ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，AF5，则CEF的周长为_三.解答题13. 如图，P是平行四边形ABCD内部一点，PA，PB，PC，PD将平行四边形ABCD分成4个三角形，它们的面积分别为a，ar，ar2，ar3（a0，r0），试确定点P的位置，并说明理由 14. 如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H求证：S平行四边形ABCD-S平行四边形AEPH=2SAFG15. 如图，四边形ABCD是平行四边形，ABD与ABD关于BD所在的直线对称，AB与DC相交于点E，连接AA（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）；（2）求证：AE=CE【答案与解析】一.选择题1【答案】B；【解析】设对角线长为，需满足，只有B选项符合题意. 2【答案】C； 【解析】分别以AB，BC，AC为对角线作平行四边形.3【答案】D； 【解析】过C点作CF垂直于BD的延长线，CF就是两短边间的距离，如图所示，C30，CF.4.【答案】C；【解析】ABEFDC，BCGHADGH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，一条对角线可以把一个平行四变形的面积一分为二，据此可从图中获得S黄=S蓝，S绿=S红，S（紫+黄+绿）=S（橙+红+蓝），根据等量相减原理知S紫=S橙，A、B、D说法正确，再考查S红与S蓝显然不相等故选C5.【答案】B；【解析】共6对，有ABDCDB，ABCCDA，AODCOB，AOBCOD，AOECOF，DOEBOF，理由是：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，AB=CD，在ABC和CDA中，ABCCDA，同理ABDCDB，四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD，在AOD和COB中，AODCOB，同理，AOBCOD，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AEO=CFO，在AOE和COF中，AOECOF，同理，DOEBOF，故选B6.【答案】C； 【解析】设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3bAB边上的高是3x，BC边上的高是5y则S=5a3x=3b5y即ax=by=AA4D2与B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是5y=4y则AA4D2和B2CC4的面积是2by=同理D2C4D与A4BB2的面积是则四边形A4B2C4D2的面积是S-，即=1，解得S=故选C二.填空题7.【答案】PQAB，PQAB；【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.8.【答案】6；【解析】易证AEFDCF，所以AFDF，由CF平分BCD，ADBC可证ABDCDF3，所以BCAD6.9.【答案】20或22； 【解析】由题意，AB可能是4，也可能是3，故周长为20或22.10.【答案】；【解析】由题意，平行四边形的高为，.11.【答案】10；【解析】因为BODO，OEBD，所以BEDE，ABE的周长为ABAEDE.12【答案】7；【解析】可证ABE与CEF均为等腰三角形，ABBE6，CECF963，由勾股定理算得AGEG2，所以EFAFAE541，CEF的周长为7.二.解答题13.