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文档简介
学案74不等式选讲(一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式导学目标: 1.理解不等式的基本性质.2.理解绝对值的几何意义,理解绝对值不等式的性质:|ab|a|b|.3.求解以下类型的不等式:|axb|c;|axb|c;|xa|xb|c(c0)自主梳理1不等式的基本性质(1)对称性:如果ab,那么ba;如果bb.即ab_.(2)传递性:如果ab,bc,那么_即ab,bc_.(3)可加性:如果_,那么acbc,如果ab,cd,那么acbd.(4)可乘性:如果ab,c0,那么_;如果ab,cb0,cd0,那么acbd.(5)乘方:如果ab0,那么an_bn(nn,n1)(6)开方:如果ab0,那么(nn,n1)2形如|axb|c(c0)的不等式的解法(1)换元法:令taxb,则|t|c,故tc或tc或axbc(c0)或.(3)两端同时平方:即运用移项法则,使不等式两边都变为非负数,再平方,从而去掉绝对值符号3形如|xa|xb|c的绝对值不等式的解法(1)运用绝对值的几何意义(2)零点分区间讨论法(3)构造分段函数,结合函数图象求解4绝对值不等式的性质|a|b|ab|a|b|.自我检测1若xy,ab,则在axby,axby,axby,xbya,这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是_2已知集合axr|x3|x4|9,bxr|x4t6,t(0,),则集合ab_.3已知不等式|x2|x3|a的解集不是空集,则实数a的取值范围是_4若不等式|x1|x2|a无实数解,则a的取值范围是_5解不等式|2x1|x|1.探究点一绝对值不等式的解法例1 解下列不等式:(1)17x;(3)|x1|2x1|2.变式迁移1 (1)解不等式x|2x1|2;求函数yf(x)的最小值探究点二绝对值的几何意义在不等式中的应用例2已知不等式|x2|x3|m.(1)若不等式有解;(2)若不等式解集为r;(3)若不等式解集为.分别求出实数m的取值范围变式迁移2设函数f(x)|x1|x2|,若f(x)a对xr恒成立,求实数a的取值范围探究点三绝对值三角不等式定理的应用例3“|xa|,且|ya|”是“|xy|”(x,y,a,r)成立的_条件变式迁移3(1)求函数y|x2|x2|的最大值;(2)求函数y|x3|x2|的最小值转化与化归思想的应用例(10分)设ar,函数f(x)ax2xa (1x1),(1)若|a|1,求证:|f(x)|;(2)求a的值,使函数f(x)有最大值.多角度审题第(1)问|f(x)|f(x),因此证明方法有两种,一是利用放缩法直接证出|f(x)|;二是证明f(x)亦可第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为,求a的值由于x1,1,f(x)是关于x的二次函数,那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间1,1上【答题模板】证明(1)方法一1x1,|x|1.又|a|1,|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2分2.若|a|1,则|f(x)|.5分方法二设g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.1x1,当x1,即x210时,|f(x)|g(a)|1;1分当1x1即x210时,g(a)(x21)ax是单调递减函数|a|1,1a1,g(a)maxg(1)x2x12;3分g(a)ming(1)x2x12.4分|f(x)|g(a)|.5分(2)当a0时,f(x)x,当1x1时,f(x)的最大值为f(1)1,不满足题设条件,a0.又f(1)a1a1,f(1)a1a1.故f(1)和f(1)均不是最大值,7分f(x)的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得,命题等价于,8分解得,9分a2.即当a2时,函数f(x)有最大值.10分【突破思维障碍】由于|a|1,f(x)的表达式中有两项含有a,要想利用条件|a|1,必须合并含a的项,从而找到解题思路;另外,由于x的最高次数为2,而a的最高次数为1,把ax2xa看作关于a的函数更简单,这两种方法中,对a的合并都是很关键的一步【易错点剖析】在第(1)问中的方法一中,如果不合并含a的项,就无法正确应用条件|a|1,从而导致出错或证不出;方法二也需要先合并含a的项后,才容易把f(x)看作g(a)解含有绝对值不等式时,去掉绝对值符号的方法主要有:公式法、分段讨论法、平方法、几何法等这几种方法应用时各有利弊,在解只含有一个绝对值的不等式时,用公式法较为简便;但是若不等式含有多个绝对值时,则应采用分段讨论法;应用平方法时,要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用因此,在去绝对值符号时,用何种方法需视具体情况而定课后练习(满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分)1不等式|x1|x3|0的解集是_2函数y|x4|x6|的最小值为_3不等式3|52x|9的解集为_4不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为_5若不等式|8x9|2的解集相等,则实数a、b的值分别为_和_6若关于x的不等式|x1|x3|a22a1在r上的解集为,则实数a的取值范围是_7函数f(x)|x2|x4|的值域是_8若不等式|x1|x3|a对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是_二、解答题(共42分)9(14分)已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5,求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围10(14分)设函数f(x)|xa|3x,其中a0.(1)当a1时,求不等式f(x)3x2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1,求a的值11(14分)对于任意实数a(a0)和b,不等式|ab|ab|a|(|x1|x2|)恒成立,试求实数x的取值范围学案74不等式选讲(一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式答案自主梳理1(1)bcac(3)ab(4)acbcac自我检测1解析令x2,y3,a3,b2,符合题设条件xy,ab,ax3(2)5,by2(3)5,axby,因此不成立又ax6,by6,axby,因此也不正确又1,1,因此不正确由不等式的性质可推出成立2x|2x5解析|x3|x4|9,当x3时,x3(x4)9,即4x4时,x3x49,即4x5.综上所述,ax|4x5又x4t6,t(0,),x262,当t时取等号bx|x2,abx|2x53a5解析由绝对值的几何意义知|x2|x3|5,),因此要使|x2|x3|a有解集,需a5.4a3解析由绝对值的几何意义知|x1|x2|的最小值为3,而|x1|x2|a无解,知a3.5解当x0时,原不等式可化为2x10,又x0,x不存在;当0x时,原不等式可化为2x10,又0x,0x;当x时,原不等式可化为2x1x1,解得x2,又x,x2.综上,原不等式的解集为x|0x2课堂活动区例1 解题导引(1)绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号其方法主要有:利用绝对值的意义;利用公式;平方、分区间讨论等(2)利用平方法去绝对值符号时,应注意不等式两边非负才可进行(3)零点分段法解绝对值不等式的步骤:求零点;划区间、去绝对值号;分别解去掉绝对值的不等式;取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值解(1)原不等式等价于不等式组,即,解得1x1或3x5,所以原不等式的解集为x|1x1,或37x,可得2x57x或2x52,或x4.原不等式的解集是x|x2(3)由题意x1时,|x1|0,x时,2x10(以下分类讨论)所以当x时,原不等式等价于得x.当x1时,原不等式等价于得x1时,原不等式等价于得x无解由得原不等式的解集为x|x0变式迁移1 解(1)原不等式可化为或解得x或2x.所以原不等式的解集是x|2x2的解集为(,7)(,)由函数y|2x1|x4|的图象可知,当x时,y|2x1|x4|取得最小值.例2解题导引恒成立问题的解决方法(1)f(x)m恒成立,需有f(x)maxm恒成立,需有f(x)minm;(3)不等式的解集为r,即不等式恒成立;(4)不等式的解集为,即不等式无解解因为|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点p(x)与两定点a(2)、b(3)距离的差即|x2|x3|papb.易知(papb)max1,(papb)min1.即|x2|x3|1,1(1)若不等式有解,m只要比|x2|x3|的最大值小即可,即m1.(2)若不等式的解集为r,即不等式恒成立,m小于|x2|x3|的最小值即可,所以ma恒成立,只需1a.即实数a的取值范围为(,1)例3解题导引对绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|.(1)当ab0时,|ab|a|b|;当ab0时,|ab|a|b|.(2)该定理可以推广为|abc|a|b|c|,也可强化为|a|b|ab|a|b|,它们经常用于含绝对值的不等式的推证(3)利用“”成立的条件可求函数的最值答案充分不必要解析|xy|xa(ya)|,由三角不等式定理|a|b|ab|a|b|得:|xy|xa|ya|.反过来由|xy|,得不出|xa|且|ya|2时,“”成立故函数y|x2|x2|的最大值为4.(2)|x3|x2|(x3)(x2)|5.当2x3时,取“”故y|x3|x2|的最小值为5.课后练习区11,)解析方法一不等式等价转化为|x1|x3|,两边平方得(x1)2(x3)2,解得x1,故不等式的解集为1,)方法二不等式等价转化为|x1|x3|,根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点1的距离大于等于到点3的距离,到两点距离相等时x1,故不等式的解集为1,)22解析y|x4|x6|(x4)(x6)|2,ymin2.3(2,14,7)解析由得,解得2x1或4x7.不等式解集为(2,14,7)4(,14,)解析由|x3|x1|的几何意义知,|x3|x1|4,4,即|x3|x1|的最大值是4,要使|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立,只需a23a4恒成立即可所以a(,14,)549解析由|8x9|7,得78x97,2x.由题意知2,为方程ax2bx20的两根,.61a3解析由|x1|x3|的几何意义知|x1|x3|2,即|x1|x3|的最小值为2.当a22a12时满足题意,a22a30,1a0时,a4,当且仅当a2时,取等号,当a0,显然符合题意9解方法一(1)由f(x)3得|xa|3,解得a3xa3.(3分)又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5,所以解得a2.(6分)(2)当a2时,f(x)|x2|,设g(x)f(x)f(x5),于是g(x)|x2|x3|(9分)所以当x5;当3x2时,g(x)5;当x2时,g(x)5.综上可得,g(x)的最小值为5.(12分)从而若f(x)f(x5)m,即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(,5(14分)方法二(1)同方法一(6分)(2)当a2时,f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)得,g(x)的最小值为5.(10分)从而,若f(x)f(x5)m,即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(,5(14分)10解(1)当a1时,f(x)3x2可化为|x
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