高考数学一轮必备 6.4《数列求和》考情分析学案(1).docVIP

6.4数列求和考情分析掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法基础知识数列求和的常用方法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：sn2倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和5分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.注意事项1.一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和2.在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项3.(1)；(2)；(3).题型一公式法求和【例1】在等比数列an中，a39，a6243，求数列an的通项公式an及前n项和公式sn，并求a9和s8的值解在等比数列an中，设首项为a1，公比为q，由a39，a6243，得q327，q3.由a1q2a3，得9a19，a11.于是，数列an的通项公式为an13n13n1，前n项和公式为sn.由此得a93916 561，s83 280.【变式1】已知数列an是首项a14，公比q1的等比数列，sn是其前n项和，且4a1，a5，2a3成等差数列(1)求公比q的值；(2)求tna2a4a6a2n的值解(1)由题意得2a54a12a3.an是等比数列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首项为a24(1)4，公比为q21的等比数列，tnna24n.题型二分组转化求和【例2】求和sn1.解和式中第k项为ak12.sn2222n2.【变式2】已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nn*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项和sn的公式解(1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以sn(2222n)(12n)2n12.题型三裂项相消法求和【例3】在数列an中，a11，当n2时，其前n项和sn满足san. (1)求sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和tn.解(1)san，ansnsn1(n2)，s(snsn1)，即2sn1snsn1sn，由题意sn1sn0，式两边同除以sn1sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，sn.(2)又bn，tnb1b2bn.【训练3】 在数列an中，an，又bn，求数列bn的前n项和sn.解an.bn8.sn88.题型四错位相减法求和【例4】已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为sn，sn.记tn1，则tn，得：tn1，tn.即tn4.sn444.【变式4】 设数列an满足a13a232a33n1an，nn*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和sn.解(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，得：3n1an，an.当n1时，a1也适合上式，an.(2)bnn3n，sn13232333n3n，则3sn32233334n3n1，得：2sn332333nn3n1n3n1(13n)n3n1.sn(13n).重难点突破【例5】已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nn*)，求数列bn的前n项和sn.解析 (1)设an的公差为d，则由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n. (2)由(1)知，bnnqn1，于是sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式两边同乘以q.qsn1q12q2(n1)qn1nqn，两式相减得：(1q)sn1q1q2qn1nqnnqn.sn.若q1，则sn123n，sn巩固提高1已知数列an的前n项和snan2bn(a、br)，且s25100，则a12a14等于()a16b8c4 d不确定解析：由数列an的前n项和snan2bn(a、br)，可得数列an是等差数列，s25100，解得a1a258，所以a1a25a12a148.答案：b2数列an的通项公式an，若前n项的和为10，则项数为()a11 b99c120 d121解析：an，sn110，n120.答案：c3若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()a15 b12c12 d15解析：a1a2a1014710(1)10(3102)(14)(710)(1)9(392)(1)10(3102)3515.答案：a4若数列an为等比数列，且a11，q2，则tn的结果可化为()a1 b1c. d.解析：an2n1，设bn2n1，则