高考数学一轮复习 12.5 复数考点及自测 理 新人教A版.doc

第5讲复数【2014年高考会这样考】考查复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数的代数形式的运算 考点梳理1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，br)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dr)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dr)(4)复数的模向量的模r叫做复数zabi(a，br)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点z(a，b)(a，br)(2)复数zabi(a，br)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3c，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)【助学微博】一条规律任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小两条性质(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(各式中nn)(2)(1i)22i，i，i.三个充要条件(1)一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件；(2)两个复数互为共轭复数的充要条件；(3)两个复数相等的充要条件考点自测1(2012天津)i是虚数单位，复数()a2i b2ic2i d2i解析2i.答案b2(2012福建)若复数z满足zi1i，则z等于()a1i b1ic1i d1i 解析z1i.答案a3(2012安徽)复数z满足(zi)(2i)5，则z()a22i b22ic22i d22i解析由题意知zii22i.答案d4(2013济宁一模)复数z满足(1i)2z1i(i为虚数单位)则在复平面内，复数z对应的点位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析由于z，其在复平面对应点坐标为，位于第一象限，故选a.答案a5(2012上海)计算：_(i为虚数单位)解析12i.答案12i 考向一复数的有关概念【例1】(2012陕西)设a，br，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件审题视点 化为abi(a，br)的形式，根据纯虚数的定义求解解析若ab0，则a0或b0，当b0时，复数a是实数而不是纯虚数充分性不成立；若复数a为纯虚数，则a0且b0，那么ab0必要性成立答案b 注意弄清复数xyi(x，yr)为纯虚数的充要条件是“x0且y0”充分与必要的实质还是集合的包含关系，站在子集的角度往往顺畅一些，由于a0或b0a0且b0，所以“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件【训练1】 复数为纯虚数，则实数a为()a2 b2 c d.解析i，由纯虚数的概念知：0，0，a2，a.答案a 考向二复数的几何意义【例2】在复平面内，复数对应的点的坐标为_审题视点 化简复数，结合复数的几何意义求解解析1i，故其对应的点的坐标是(1,1)答案(1,1) 复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值【训练2】 (2012临沂模拟)已知复数z的实部为1，虚部为2，则(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析依题意，得，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第三象限，选c.答案c 考向三复数的代数运算【例3】(2012山东)若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()a35i b35ic35i d35i审题视点 利用复数的乘除运算可求解析z35i.答案a 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1z2|z1|2|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化【训练3】 已知复数z1，满足(z12)(1i)1i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，则z2_.解析由(z12)(1i)1i，得z12i，z12i.设z2a2i(ar)，z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2r，a4.z242i.答案42i 热点突破29灵活掌握复数的几何意义 【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，复数主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，几乎每套高考试题中都有一个小题，并且一般在前三题的位置上，难度较小【真题探究】 (2011山东)复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限教你审题 一审 把复数z化为形如abi(a，br)的形式二审 复数zabi(a，br)的几何表示就是点z(a，b)解法 zi，它在复平面内对应的点在第四象限，故选d.答案 d反思 在复数zabi中，如果没有注明a，br，而只是个形式上的复数，就要看其中a，b满足什么条件，然后根据这些条件把实部和虚部分别求出，把复数表示成标准的代数形式，才可以使用复数的几何意义【试一试】 设i为虚数单位，复数z11i，z22i1，则复数1z2在复平面上对应的点在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析11i，1z2(1i)(2i1)13i，其在复平面内对应的点的坐标为(1,3)故其在第一象限答案a a级基础演练(时间：30分钟满分：50分) 一、选择题(每小题5分，共30分)1(2012全国)复数() a2i b2i c12i d12i解析12i，故选c.答案c2(2012广东)设i为虚数单位，则复数()a65i b65ic65i d65i解析65i.答案d3复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，则实数a的取值范围是()a1a1ca0 da1解析|z1|，|z2|，1a1.故选a.答案a4(2012辽宁)复数()a.i b.i c1i d1i解析i.答案a5(2012湖北)方程x26x130的一个根是()a32i b32ic23i d23i解析6241316，x32i.答案a6(2012浙江)已知i是虚数单位，则()a12i b2ic2i d12i解析12i.答案d二、填空题(每小题5分，共20分)7(2013佛山二模)设i为虚数单位，则(1i)5的虚部为_解析因为(1i)5(1i)4(1i)(2i)2(1i)4(1i)44i，所以它的虚部为4.答案48(2013青岛一模)已知复数z满足(2i)z1i，i为虚数单位，则复数z_.解析(2i)z1i，zi.答案i9(2012重庆)若(1i)(2i)abi，其中a，br，i为虚数单位，则ab_.解析(1i)(2i)abi13iabi，ab4.答案410(2012湖南)已知复数z(3i)2(i为虚数单位)，则|z|_.解析z(3i)286i，|z|10.答案10 b级能力突破(时间： 20分钟满分：30分) 一、选择题(每小题5分，共20分)1(2012新课标全国)下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2；p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i；p4：z的虚部为1.其中的真命题为()ap2，p3 bp1，p2 cp2，p4 dp3，p4解析z1i，所以|z|，p1为假命题；z2(1i)2(1i)22i，p2为真命题；1i，p3为假命题；p4为真命题故选c.答案c2(2013西安质检)已知复数z满足z(1i)1ai(其中i是虚数单位，ar)，则复数z在复平面内对应的点不可能位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析由条件可知：zi；当0时，a，所以z对应的点不可能在第二象限，故选b.答案b3(2012日照一模)在复数集c上的函数f(x)满足f(x)则f(1i)等于()a2i b2 c0 d2解析1ir，f(1i)(1i)(1i)2.答案d4(2013长沙质检)已知i为虚数单位，a为实数，复数z(12i)(ai)在复平面内对应的点为m，则“a”是“点m在第四象限”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析z(12i)(ai)(a2)(12a)i，若其对应的点在第四象限，则a20，且12a.即“a”是“点m在第四象限”的充要条件答案c