2013-计算力学习题讲解.pdf

东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院 计算力学习题讲解计算力学习题讲解 东南大学土木工程学院 1 试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点 之间的异同点 东南大学土木工程学院 1 试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点 之间的异同点 弹性力学有限单元法 物理模型 基本方程 解法 解答形式 解答精度 东南大学土木工程学院 1 试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点 之间的异同点 弹性力学有限单元法 物理模型连续体 基本方程 几何方程 物理方程 平衡微分方程 解法解微分方程 解答形式用函数表示 解答精度精确解 东南大学土木工程学院 1 试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点 之间的异同点 弹性力学有限单元法 物理模型连续体离散化结构 基本方程 几何方程 物理方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 结点平衡方程 解法解微分方程解代数方程 解答形式用函数表示用数值表示 解答精度精确解近似解 补充要点 弹性力学设定的位移函数力求反映整体结构位移状态 有限元的位移 函数仅针对离散单元 但是需要验证位移函数的收敛性 东南大学土木工程学院 2 以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质 试证以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质 试证 明之 明之 解 系统总位能的离散形式 1 2 TT p aK aaP 求解的方程 KaP 在平衡情况下 系统总位能等于负的应变能 在有限元 解中 由于假定的近似位移模式一般来说总是与精确解 有差别的 11 22 TTT p aK aaK aaK aU 东南大学土木工程学院 2 以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质 试证以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质 试证 明之 明之 minmax min pp p p p UU UKaKaP UKaKaP 有限元解使得 对应的解就是真实解 有限元得到解一般都是近似解 近似解 真实解 根据最小势能原理 得到的系统的总位能总会比真正的 总位能要大 故 pp TT UU aKaaKa 即 东南大学土木工程学院 2 以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质 试证以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质 试证 明之 明之 TT aPaP 故有限元解总体上不大于真实解 即解具有下限性质 单元原是连续体的一部分 具有无限多个单元原是连续体的一部分 具有无限多个 自由度 在假定了单元的位移函数后 自自由度 在假定了单元的位移函数后 自 由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度限制为只有以结点位移表示的有限自 由度 引入了更多的约束和限制 使得单由度 引入了更多的约束和限制 使得单 元刚度较实际连续体加强了 连续体的整元刚度较实际连续体加强了 连续体的整 体刚度随之增加 所以有限元解整体上较体刚度随之增加 所以有限元解整体上较 真实解偏小 真实解偏小 东南大学土木工程学院 3 某平面结构采用四结点矩形 某平面结构采用四结点矩形 单元和三结点三角形单元建立有单元和三结点三角形单元建立有 限元计算模型 其如图所示 试限元计算模型 其如图所示 试 求结点求结点2的等效荷载列阵的等效荷载列阵 R2 q 1 2 3 4 7 5 6 9 8 ll 平衡所用到的的量均要属于节点的量 如单元位移 单元力 平衡所用到的的量均要属于节点的量 如单元位移 单元力 载荷亦应如此 必须将体积力 表面力转化到节点上去 成载荷亦应如此 必须将体积力 表面力转化到节点上去 成 为等效荷载 载荷 为等效荷载 载荷 东南大学土木工程学院 cSV e pFFR 把总等效荷载把总等效荷载 R e分解成体积力 表面力和集中力的等效荷分解成体积力 表面力和集中力的等效荷 载之和 有载之和 有 FV 单元上体积力的等效荷载单元上体积力的等效荷载 FS 单元上表面力的等效荷载单元上表面力的等效荷载 pC 单元上节点上的集中力单元上节点上的集中力 A V T V hdxdyqNF T SS l FNqhds 1 体积力的等效荷载 体积力的等效荷载 2 表面力的等效荷载 表面力的等效荷载 东南大学土木工程学院 3 某平面结构采用四结点矩形 某平面结构采用四结点矩形 单元和三结点三角形单元建立有单元和三结点三角形单元建立有 限元计算模型 其如图所示 试限元计算模型 其如图所示 试 求结点求结点2的等效荷载列阵的等效荷载列阵 R2 q 1 2 3 4 7 5 6 9 8 ll 可以使用线性单元的 简化方法 东南大学土木工程学院 1 2 4 5 1 1 1 单元 荷载作用在1 2边上 故等 效结点力只与1 2号结点有关 形函数 1 1 N 2 N 线性分布面力 0 q q T SS l FNqhds dsld q 1 2 3 4 7 5 6 9 8 ll 东南大学土木工程学院 1 2 4 5 1 1 1 1 在边上 1 1N 2 N 1 2 22 0 3 yy l ql PN q dsqld 22 0 xx l PN q ds q 1 2 3 4 7 5 6 9 8 ll 东南大学土木工程学院 2 3 6 s 2 2 s N l 单元 形函数 3 1 s N l 6 0N 0 s q s q l 010000 12 0000 233 01000 T T T ss ll ss ql ll FNqdsds s ssq l ll 故结点2的等效荷载列阵为 2 0 2 3 Rql 东南大学土木工程学院 4 图中两个三角形单元组成平行四边形 已知单元 按局部 图中两个三角形单元组成平行四边形 已知单元 按局部 编码编码i j m 的单元刚度矩阵和应力矩阵是的单元刚度矩阵和应力矩阵是 1 806626 1661264 13 597 53 13 531 5 9 53 5 5 K 对 称 1 003030 040301 201 51 50 5 1 5 S 1 2 i i jm j m 按图中所示单元按图中所示单元 的局部的局部 编码写出单元刚度矩阵和编码写出单元刚度矩阵和 应力矩阵 应力矩阵 东南大学土木工程学院 平面问题的单元刚度矩阵平面问题的单元刚度矩阵 k 不随单元 或坐标轴 的不随单元 或坐标轴 的 平行移动或作平行移动或作n 角度 角度 n为整数 的转动而改变 为整数 的转动而改变 东南大学土木工程学院 5 如图所示 如图所示8结点矩形单元 每边中点为结点 结点矩形单元 每边中点为结点 3点为坐点为坐 标原点 标原点 a b 2 单元厚度为 单元厚度为t 1 求该单元的位移函数和形函数 并检验其是否满足收 求该单元的位移函数和形函数 并检验其是否满足收 敛性条件 敛性条件 2 求在 求在2 6 3边作用均布水平荷载边作用均布水平荷载q时的等效结点荷载 时的等效结点荷载 q a b y x 152 6 374 8 东南大学土木工程学院 q a b y x 152 6 374 8 1 xy x2xyy2 x3x2yxy2y3 x4x3yx2y2xy3y4 完全二次 完全三次 完全一次 Pascal三角形 2222 12345678 2222 910111213141516 uxyxxyyx yxy vxyxxyyx yxy 东南大学土木工程学院 2222 12345678 2222 910111213141516 uxyxxyyx yxy vxyxxyyx yxy 东南大学土木工程学院 12 3 4 5 6 7 8 1 构造角节点的插值函数 构造角节点的插值函数 双线性乘双线性乘 积积 暂时保证在 暂时保证在本节点本节点处为处为1 在其在其余角余角 节点节点处为处为0 12 34 00 11 1 1 1 1 44 11 1 1 1 1 44 1 1 1 1 2 3 4 4 i NN NN Ni 统一形式 课本内容课本内容 东南大学土木工程学院 2 构造边中节点的插值函数 构造边中节点的插值函数 某个方向的一次项与另某个方向的一次项与另 一个方向的一个方向的Lagrange多项式的乘积多项式的乘积 保证在本节点处保证在本节点处 为为1 在在其余所有节点处其余所有节点处为为0 但在单元内部不为但在单元内部不为0 若没若没 有中心点有中心点 单元内单元内 由此构造的插值函数为最终的结由此构造的插值函数为最终的结 果果 如有单元中心点如有单元中心点 则需对边中节点修正则需对边中节点修正 22 56 22 78 11 1 1 1 1 22 11 1 1 1 1 22 NN NN 5 2 1 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 1 2 N 课本内容课本内容 东南大学土木工程学院 3 使角节点的插值函数在边中点处等于使角节点的插值函数在边中点处等于0 12 3 4 5 6 7 8 12 3 4 5 6 7 8 12 3 4 5 6 7 8 12 3 4 5 6 7 8 1 0 1 0 12 3 4 5 6 7 8 1 0 0 5 0 5 1 01 0 1 N 5 N8 N 15 1 2 NN 158 11 22 NNN 课本内容课本内容 东南大学土木工程学院 12 34 1111 4 4 1 2222 1111 4 1 1 4 1 2222 NN NN 56 78 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 NN NN q a b y x 152 6 374 8 局部坐标 xy ab 东南大学土木工程学院 q a b y x 152 6 374 8 2 荷载作用在2 3边上 故等效结点力只与2 6 3号结点 有关 263 1111 4 1 4 1 1 4 1 1 2222 NNN 0 i N 在边上计算 632 362 22 41 4 1 2 43 0 02 2 2 NNN x NNNyb b xy dsdd 东南大学土木工程学院 1 333 0 1 666 0 1 222 0 2 3 4 2 3 2 3 xx s xx s xx s qt Pt N q dsqt N d Pt N q dsqt N dqt qt Pt N q dsqt N d q a b y x 152 6 374 8 东南大学土木工程学院 6 如图所示刚架 如图所示刚架 1 如何进行结点编号使整体刚度矩阵 如何进行结点编号使整体刚度矩阵 K 的带宽最小 的带宽最小 2 刚架的整体刚度矩阵中 刚架的整体刚度矩阵中a结点的总体刚度矩阵结点的总体刚度矩阵Kaa和总和总 体刚度矩阵体刚度矩阵Kbc各由哪些分块矩阵叠加组成 自行确定单元各由哪些分块矩阵叠加组成 自行确定单元 局部坐标方向 局部坐标方向 a bc 东南大学土木工程学院 1 考虑每个结点有两个自由度 半带宽d 相邻结点 码的最大差值 1 节点自由度数 故结点编号如图所示可使单元内结点编码相差3 使 得带宽d 12 按每节点3自由度假定 a bc 2 13 4 7 58 11 10 96 a bc 1 2 3 4 6 8 5 7 10 12 11 9 东南大学土木工程学院 6 如图所示刚架 如图所示刚架 2 刚架的整体刚度矩阵中 刚架的整体刚度矩阵中a结点的总体刚度矩阵结点的总体刚度矩阵Kaa和总和总 体刚度矩阵体刚度矩阵Kbc各由哪些分块矩阵叠加组成 自行确定单元各由哪些分块矩阵叠加组成 自行确定单元 局部坐标方向 局部坐标方向 2 3 4 5 6 2222111112 aabc KKKKKKK 2 13 4 7 58 11 10 96 a bc 1 2 3 4 6 8 5 7 10 12 11 9 东南大学土木工程学院 7 对于图中给出的四结点二次应变一维等参单元 试确定 对于图中给出的四结点二次应变一维等参单元 试确定 a 形函数 形函数N1 N2 N3 N4 b 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵 k 1 1 2 1 2 1 1234 s 东南大学土木工程学院 1 1 2 1 2 1 1234 s a 由拉格朗日插值函数可知 2 1 11 1 21 22 1 11 34 1 1 1 1 22 N 2 2 22 34 1 1 1 41 2 1 1111 32 1 1 2222 111 1 1 1 4121 222 1 1 111111 3234 1 1 1 1 1 1 222222 N NN 东南大学土木工程学院 b 一维问题中 单元刚度矩阵 11 11 TT kBD B J dEBB J d 2 1 2 2 2 3 2 4 1 8121 6 4 31 3 4 31 3 1 8121 6 N N N N 1 2 3124 3 4 4 3 x x NNNN J x x 东南大学土木工程学院 8 试利用变结点数法构造 试利用变结点数法构造 插值函数 构造出如图所插值函数 构造出如图所 示的三次三角形单元的形示的三次三角形单元的形 函数及相应的位移函数 函数及相应的位移函数 1 49 5 8 2 10 67 3 三角形单元族插值 函数构造及变节点 数法联合运用 东南大学土木工程学院 1 xy x2xyy2 x3x2yxy2y3 x4x3yx2y2xy3y4 完全二次 完全三次 完全一次 Pascal三角形 1 49 5 8 2 10 67 3 223223 12345678910 223223 11121314151617181920 uxyxxyyxx yxyy vxyxxyyxx yxyy 东南大学土木工程学院 1 构造不考虑边结点和内部结点的角结点的插值函数 112233 NL NL NL 2 构造不考虑内部结点的边结点的插值函数 412251216233 723281319133 272272272 232323 272272272 232323 NL LLNL LLNL LL NL LLNL LLNL LL 3 构造内部结点插值函数 123 10123 27 111 0 0 0 333 L L L NL L L 东南大学土木工程学院 4 修正边中点的插值函数 4410122123121 1272279 31 22322 NNNL LLL L LL LL 55101226610232 77102338810133 9910131 1919 31 31 2222 1919 31 31 2222 19 31 22 NNNL LLNNNL LL NNNL LLNNNL LL NNNL LL 使边中点的插值函数在内部结点处等于使边中点的插值函数在内部结点处等于0 是内部结点代入到是内部结点代入到初始边结点的插值函数中的值 东南大学土木工程学院 5 修正角结点的插值函数 1 49 5 8 2 10 67 3 11495810 1121131 122133123 111 211 333 299 31 31 322 1991 31 31 27 3223 1 31 32 2 NNNNNNN LL LLL LL L LLL LLL L L LLL 东南大学土木工程学院 22564710 2122232121233123 222 211 333 2991991 31 31 31 31 27 3223223 1 31 32 2 NNNNNNN LL LLL LLL LLL LLL L L LLL 33786910 3233133232131123 333 211 333 2991991 31 31 31 31 27 3223223 1 31 32 2 NNNNNNN LL LLL LLL LLL LLL L L LLL 东南大学土木工程学院 J 9Serendipity Gauss 如需要对二维三次单元进行精确积分 试讨论所需的 积分的阶次 假定为常数 解 插值函数N中的多项式阶数为4 微分算子L中的导数 的阶次是1 被积函数非完全项最高次为6次 完全项的 最高次为4次 三次 1 2 34 56 7 8 910 11 12 1 xy x2xyy2 x3x2yxy2y3 x4x3yx2y2xy3y4 完全二次 完全三次 完全一次 Pascal三角形 东南大学土木工程学院 根据高斯积分精度可知 要使根据高斯积分精度可知 要使Q阶被积函数达成完全 精阶被积函数达成完全 精 确 积分 需要积确 积分 需要积 分点的数目分点的数目n为为 1 21 2 Q nQn 即 需要高斯积分点 6 1 3 5 2 n 故积分点数目为4 4 如果是减缩积分呢 减缩积分不管一维 二维 三维 都采用减缩积分不管一维 二维 三维 都采用n p m 1来确定积分阶次来确定积分阶次 3 3 东南大学土木工程学院 10 求图示单元的结点等效荷载 求图示单元的结点等效荷载 y x 1 2 8 0 3 8 4 4 3 4 q 500 14 1 1 1 NN 0 在上 14 1 1 NN 1414 033 044 NNNNxy 22 5 xy dsdd 东南大学土木工程学院 10 求图示单元的结点等效荷载 求图示单元的结点等效荷载 y x 1 2 8 0 3 8 4 4 3 4 q 500 0 500 1 Tex y s q qPNds q 1 2 11 0 1 44 0 2500 2500 1 3 2500 2500 1 6 yy s yy s PN q dsd PN q dsd 东南大学土木工程学院 xi m j i l yi i w xj yj j w xm ym m w xl yl l w T e ixiyilxlyl T e zixiyizlzlyl ww FFMMFMM 节点位移向量和节点力向量 11 论证矩形 论证矩形4结点结点12自由度薄板单元是完备的非协调单元 自由度薄板单元是完备的非协调单元 东南大学土木工程学院 薄板弯曲时 只有薄板弯曲时 只有w x y 是薄板变形的未知基本函数 是薄板变形的未知基本函数 而其它量 如而其它量 如u v等都是等都是w x y 的函数 故薄板矩形单的函数 故薄板矩形单 元的位移函数的选择实际就是元的位移函数的选择实际就是w x y 的选取 注意单元的选取 注意单元 有有12个自由度 则个自由度 则 另两个转角为 另两个转角为 22 123456 322333 789101112 w x yxyxxy