高考零模冲刺讲义C级考点讲解与训练三角函数与平面向量.doc

高三零模冲刺讲义C级考点讲解与训练三角函数与平面向量C级考点回顾：两角和与差的余弦、正弦与正切；平面向量的数量积一、 课本回顾与拓展1. （P6例2）已知是第三象限角，则在第_象限.变式：已知（），则在第_象限. 第二象限2. 已知角是小于的正角，如果角的终边与角的终边重合，则的值为_.3. （P10习题9）蒸汽机飞轮的直径为，以的速度作逆时针旋转，求：（1）飞轮内转过的弧度数；（2）轮周上一点内所经过的路程.变：在直径为的轮子上有一长为的弦，是弦的中点，轮子每秒转，则经过后点转过的弧长为_. 4. 如图，一长为，宽为的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角，则点A走过的弧的总长为 _ _ . 5. （P10习题10）已知，角的终边与角的终边关于直线对称，则角的集合为_.6. （P15练习2）已知角的终边经过点，且，则的值为_. 7.（1）（P21例3）已知，且，则（2）已知，则的值为_.（3）（p23习题17）已知，则8. （P22练习6）化简=_. 9.（P23习题11）（1）设，则（2）设，计算的值为_. 10.（P23习题18）已知角的终边经过点，则的值为_变：角的终边上有一点且，则_ -1或-2/311.（P23习题19）利用单位圆分别写出符合下列条件的角的集合：（1）；（2）变：函数的定义域为_. 12. （P23习题20）（1）已知，求及的值；（2）已知，求的值. 13. （P26练习3改编）若函数的最小正周期为，则实数的值为_.14. （P40习题4改编）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数的图象，则的一个解析式为 _ 15. （P41例1）在图中，点为做简弦运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。（1）求物体对平衡位置的位移（cm）和时间（s）之间的函数关系；（2）求该物体在时的位置. 16.（P42例2改编）如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85 m? (第15题)解：（1）解：设点P离地面的距离为y，则可令 yAsin(t)b. 由题设可知A50，b60. 又T3，所以，从而y50sin(t)60. 再由题设知t0时y10，代入y50sin(t)60，得sin1，从而. 因此，y6050cost (t0). （2）要使点P距离地面超过85 m，则有y6050cost85，即cost. 于是由三角函数基本性质推得t，即1t2. 所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85 m的时间有1分钟. 17.（P55习题15）已知定义在区间上的函数的最大值为1，最小值为-5，求则实数的值. 18.（P62习题10）如图，以 方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ 19.（P71习题7改编）与共线的单位向量的坐标为_. 20.（P71例4）在中，C为直线AB上一点，,求证：21.（P71练习2）已知是单位向量，向量的模为2，且，则实数的值为_.22.（P72习题10）设点P,Q是线段AB的三等分点，若，试用表示23.（P76练习5）设和是不共线的向量，而与共线，则实数24.（P82习题14）设向量，若三点共线时，实数的值为_. 11或-225.（P82习题17）已知是坐标原点，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为_. 26. （P87例4）在中，设，且是直角三角形，则实数的值为_. (或或)27.（P89习题13）在平行四边形中，则的值为_.28.（P89习题15）设，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_.29.（P89习题16）设是两个非零向量，如果，且，则的夹角为_. 29.（P90习题20）已知试求与的夹角为_.30.（P92练习4,5）（1）直线平行于向量，则直线的斜率为_.（2）直线经过原点且与向量垂直，则直线的方程为_. 31.（P93习题8）在平面直角坐标系中，已知，O为坐标原点，的平分线交线段AB于点D，则点D的坐标为_. 32.（P98习题19） 已知坐标平面内,P是直线OM上一个动点，当取最小值时，求的坐标，并求的值.33.（P98习题25）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3N，2N的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m（N）的重物，恰好使得系统处于平衡状态，求正数m的取值范围. 34.（P99习题15）设向量的夹角为，且，当取最小值时，则与的夹角大小为_. 35.（P107习题4）已知则=_.36.（P107习题5）已知_.变：已知_.37.（P108例2）已知，均为锐角，则的值为_.38.（P110例5）（1）求值：（2）求值：=_. （3）求值：39.（P112习题10）已知，且，则的值为_.40.（P112习题12）在中，（1）已知，则的值为_；（2）已知，则的值为_.41.（P116例4）在斜三角形中，求证：42.（P123习题5改编）（1）已知为锐角，则（2）已知，则（3）已知，化简：=_.（4）设为锐角，若，则的值为 _（5）已知，且，则的值为_. （6）设，且则的值为 _ . 43.（P124习题10）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度l取决于角的大小.探求l，之间的关系式，并导出用表示l的函数表达式.44.（P125链接改编）如图，在矩形ABCD中，AB = 2，AD = 1，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转60 后得到矩形，则点D 到直线AB的距离是 ABCDBBB 45. （P132习题18）如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上，点在上,设矩形的面积为（1）按下列要求写出函数关系式； 设，将表示成的函数关系式； 设,将表示成的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求的最大值.46.（P131习题10）函数的值域为_. 47.（P51习题19改编）一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）求棒长L关于的函数关系式：；（2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值解：（1）如图， （2）令，因为，所以，ABC则，当时，随着的增大而增大，所以所以所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4 15分AB2m2mMNEDFPQCCl变：如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米. 直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DPAC于P，DQBC于Q；（1）若平板车卡在直角走廊内，且，试求平板面的长 (用表示)；（2）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?解：（1）DM=，DN=，MF=，EN=， EF=DM+DN-MF-EN=+= （） （2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（），平板车的长度不能通过，即平板车的长度；记 ，有=，= 此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记，则）或直接求导，以确定函数在上的单调性；当时取得最小值48.（P15练习2改编）若锐角三角形的三边长分别是，则的取值范围是_.变：已知三角形的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是_. ACBD49.（P11习题9）如图，在ABC中，A的平分线AD与边BC相交于点D，求证： 50.（P11习题5改编）在中，设 ，则的值为_. 51. 如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4,如何求四边形ABCD的面积？变： 为平面上四点，其中为定点，且，动点满足，设和的面积分别为，试求：（1）求的最大值； （设角A为）（2）当取最大值时，的形状如何？等腰三角形52. 在中，若，则的形状为_. 等腰或直角三角形53. （P19例4）半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，为半圆上的任意一点，以为一边作等边三角形，问点在什么位置时，四边形的面积最大？54.（P20练习4）如图，某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30o，航标B在南偏东60o，俯角为450，求这两个航标间的距离.55.（P21习题6）在中，已知，是边上一点，则的长为_.56.（P21习题7）把一根长为的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，如何锯断木条，才能使第三条边最短？57. （P24习题5）已知向量满足，且的夹角等于135o，与的夹角等于120o,求.58.（P24习题8）一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行.试确定满足的条件，使船能安全航行. 59.（P24习题7）如图，已知是定角，分别在的两边上，为定长，当处于什么位置时，的面积最大？研究1：是定角，分别在的两边上，为定长，设，则： 当时，的面积有最大值；当时，的周长有最大值研究2：如图，已知为定值,，过定点引线段，分别交、于（1）求证：当即是线段中点时，的面积最小；（2）是以为顶点的等腰三角形时，截线段的乘积最小二、 典例剖析例1.（2008年江苏高考题）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为（1）求的值；（2）求的值变：直线y2x1和圆x2y21交于A，B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边(O是坐标原点)的角为，OB为终边的角为，则sin()_.答案： 解析：将y2x1代入x2y21中得，5x24x0，x0或，A(0,1)，B，故sin1，cos0，sin，cos，sin()sincoscossin.AOCBPlxy第2题图例2（1）函数（其中，）的图象如图所示，若点A是函数的图象与x轴的交点，点B、D分别是函数的图象的最高点和最低点，点C是点B在x轴上的射影，则= . 第1题图（2）直线与函数()的图象相切于点A，且，O为坐标原点，P为图象的极值点，直线与轴交于点B，过切点A作轴的垂线，垂足为C，则= .（3）在中，已知，,则面积的最大值为_ （4）为的外接圆圆心，若则. （5） 已知ABC的内角A的大小为120，面积为设O为ABC的外心，当时，则的值为_【解】由得，即，解得或4设BC的中点为D，则，因为O为ABC的外心，所以，于是所以当时，；当时，例3. 已知向量a=(cos,cos(),b=(,sin),.（1）求的值；（2）若，求；（3），求证：解：（1）2+2=2，（2），cossin(10-) +cos(10-) sin=0 sin(10-) +)=0，sin10=010=k，kZ，=，kZ（3）=, cossincos(10-) sin(10) =cossincos（）sin() =cossin-sincos=0， 变：如图，半径为1圆心角为圆弧上有一点C（1）当C为圆弧 中点时，D为线段OA上任一点，求的最小值.（2）当C在圆弧 上运动时，D、E分别为线段OA、OB的中点，求的取值范围AEDCB解：（1）以O为原点，以为x轴正方向，建立图示坐标系， 设D（t，0）（0t1），C（），=（）=（0t1），当时，最小值为（2）设=（cos，sin）（0） =（0，）（cos，sin）=（）又D（），E（0，）=（） = 例4. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求的取值范围解：（1）因为，即，所以，即 ，得 所以，或(不成立)即 , 得 （2）由因， 故= ，故变：在ABC中,角,所对的边分别为,c.已知.（1）求角的大小;（2）设,求T的取值范围.解：（1）在ABC中, , 因为,所以, 所以, 因为,所以, 因为,所以 （2） 因为,所以, 故,因此, 所以 三、自主练习1. 已知A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限C是圆O与轴正半轴的交点，AOB为正三角形记AOC. （1）若A点的坐标为(，)求的值；（2）求|BC|2的取值范围解：(1)A点的坐标为(，)，tan，20. (2)设A点的坐标为(x，y)，AOB为正三角形，B点的坐标为(cos()，sin()，且C(1,0)，|BC|2cos()12sin2()22cos()而A、B分别在第一、二象限，(，) (，)，cos()(，0) |BC|2的取值范围是(2,2)2. 已知=(1+cos,sin),=(),向量与夹角为，向量与夹角为，且-=，若中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A=.（1）求角A 的大小； （2）若的外接圆半径为，试求b+c取值范围解：（1）据题设，并注意到的范围，由于为向量