高考数学二轮复习 空间向量与立体几何典题轻松练(1).doc

空间向量与立体几何一、选择题1(2013南昌模拟)在空间中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则abc的大小为()a45b90c120d135【解析】由(2，4,0)，(1,3,0)得cos，又0，180，abc135.【答案】d2(2013山东高考)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()a. b. c. d.【解析】画出三棱柱abca1b1c1，作出pa与平面abc所成的角，解三角形求角如图所示，p为正三角形a1b1c1的中心，设o为abc的中心，由题意知：po平面abc，连接oa，则pao即为pa与平面abc所成的角在正三角形abc中，abbcac，则s()2，vabca1b1c1spo，po.又ao1，tanpao，pao.【答案】b3在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd平面abcd，abpda.点e为侧棱pc的中点，又作dfpb交pb于点f.则pb与平面efd所成角为()a30 b45c60 d90【解析】建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，d为坐标原点则p(0,0，a)，b(a，a,0)，(a，a，a)，又，00，所以pbde.由已知dfpb，又dfded，所以pb平面efd，所以pb与平面efd所成角为90.【答案】d4在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a. b. c. d.【解析】以a为原点建立空间直角坐标系，如图设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，所以(0,1，1)，设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1,2,2)设平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，所以|cosn1，n2|.即平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为.故选b.【答案】b5p是二面角ab棱上的一点，分别在，平面上引射线pm，pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为()a60 b70 c80 d90【解析】不妨设pma，pnb，作meab于点e，nfab于点f，如图因为epmfpn45，所以pea，pfb，所以()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0.所以，所以二面角ab的大小为90.【答案】d二、填空题6已知a(2，1,1)，b(1,4，2)，c(11,5，)若向量a，b，c共面，则_.【解析】由向量a，b，c共面可得cxayb(x，yr)，故有解得【答案】17(2013湛江模拟)已知空间不共面四点o、a、b、c，0，且|，则om与平面abc所成角的正切值是_【解析】由题意可知，oa、ob、oc两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设oaoboc1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0，0,1)，m(，0)，故(1,1,0)，(1,0,1)，(，0)设平面abc的法向量为n(x，y，z)，则由，得，令x1，得平面abc的一个法向量为n(1,1,1)故cos，所以om与平面abc所成角的正弦值为，正切值为.【答案】8如图4311，正方体abcda1b1c1d1，则下列四个命题：图4311p在直线bc1上运动时，三棱锥ad1pc的体积不变；p在直线bc1上运动时，直线ap与平面acd1所成角的大小不变；p在直线bc1上运动时，二面角pad1c的大小不变；m是平面a1b1c1d1上到点d和c1距离相等的点，则m点的轨迹是过d1点的直线其中真命题的编号是_(写出所有真命题的编号)【解析】因为bc1ad1，所以bc1平面acd1，bc1上任意一点到平面acd1的距离为定值，所以vad1pcvpacd1为定值， 正确；p到面acd1的距离不变，但ap的长在变化，所以ap与面acd1所成角的大小是变量，错误；面pad1即面abc1d1，所以面abc1d1与面acd1所成二面角的大小不变，正确；m点的轨迹为a1d1，正确【答案】三、解答题9(2013江门模拟)如图4312，直角梯形abcd中，abcd，abbc，ab1，bc2，cd1，过a作aecd，垂足为e.f、g分别是ce、ad的中点现将ade沿ae折起，使二面角daec的平面角为135.图4312(1)求证：平面dce平面abce；(2)求直线fg与平面dce所成角的正弦值【解】(1)证明：deae，ceae，decee，de，ce平面cde，ae平面cde，ae平面abce，平面dce平面abce.(2)以e为原点，ea、ec所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系deae，ceae，dec是二面角daec的平面角，即dec135，ab1，bc2，折起前cd1，折起前后ce1，de不变，a(2,0,0)，b(2,1,0)，c(0,1,0)，e(0,0,0)，d(0，1,1)f、g分别是ce、ad的中点，f，g，(2,0,0)，由(1)知是平面dce的法向量，设直线fg与平面dce所成角为，则sin ，故直线fg与平面dce所成角的正弦值为.10(2013四川高考)如图4313，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，abac2aa1，bac120，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad的中点图4313(1)在平面abc内，试作出过点p与平面a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面add1a1；(2)设(1)中的直线l交ab于点m，交ac于点n，求二面角aa1mn的余弦值【解】(1)如图(1)，在平面abc内，过点p作直线lbc，因为l在平面a1bc外，bc在平面a1bc内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面a1bc.因为abac，d是bc的中点，所以bcad，则直线lad.因为aa1平面abc，所以aa1l.又因为ad，aa1在平面add1a1内，且ad与aa1相交，所以直线l平面add1a1.(1)(2)设a1a1，则abac2.如图，过点a1作a1e平行于c1b1，以点a1为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系oxyz(点o与点a1重合 )，则a1(0,0,0)，a(0,0,1)(2)因为p为ad的中点，所以m，n分别为ab，ac的中点，故m，n，所以，(0,0,1)，(，0,0)设平面aa1m的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即故有从而取x11，则y1，所以n1(1，0)设平面a1mn的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则即故有从而取y22，则z21，所以n2(0,2，1)设二面角aa1mn的平面角为，又为锐角，则cos .故二面角aa1mn的余弦值为.11(2013济南模拟)已知四边形abcd是菱形，bad60，四边形bdef是矩形，平面bdef平面abcd，g、h分别是ce、cf的中点图4314(1)求证：平面aef平面bdgh.(2)若平面bdgh与平面abcd所成的角为60，求直线cf与平面bdgh所成的角的正弦值【解】(1)g、h分别是ce、cf的中点，所以efgh.连接ac与bd交与o，因为四边形abcd是菱形，所以o是ac的中点，连接og，og是三角形ace的中位线，ogae.又efaee，ghogg，则平面aef平面bdgh.(2)bfbd，平面bdef平面abcd，所以bf平面abcd.取ef的中点n，连接on，则onbf，on平面abcd，建立空间直角坐标系如图所示