高考数学二轮专题复习 基本不等式、不等式的综合应用提分训练 文 新人教版.doc

基本不等式、不等式的综合应用高考试题考点一 利用基本不等式证明1.(2010年安徽卷,文15)若a0,b0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a、b恒成立的是(写出所有正确命题的编号).ab1;+;a2+b22;a3+b33;+2.解析:令a=b=1,排除、;由2=a+b2ab1,命题正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2,命题正确;+=2,命题正确.答案:2.(2011年上海卷,文16)若a、br,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()(a)a2+b22ab (b)a+b2(c)+(d)+2解析:对于选项a,a2+b22ab,所以选项a错;对于选项b、c,虽然ab0,只能说明a、b同号,若a、b都小于0时,选项b、c错;对选项d,ab0,0, 0,则+2.故选d.答案:d考点二 利用基本不等式求最值或范围1.(2013年福建卷,文7)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()(a)0,2 (b)-2,0(c)-2,+)(d)(-,-2解析:因为2x+2y2=2,所以,所以2x+y,所以x+y-2.故选d.答案:d2.(2012年浙江卷,文9)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()(a)(b)(c)5 (d)6解析:因为x0,y0,x+3y=5xy,所以+=1,所以（+）(3x+4y)=+2=5,当且仅当=时,等号成立,所以选c.答案:c3.(2013年陕西卷,文14)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).解析:如图,过a作ahbc于h,交de于f,由已知得=,=,由=,得af=x,fh=40-x.则s=x(40-x)2,当且仅当40-x=x,即x=20时取等号.所以所求边长x为20(m).答案:204.(2013年四川卷,文13)已知函数f(x)=4x+ (x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.解析:因为x0,a0,所以f(x)=4x+2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号.由题意可得a=432=36.答案:365.(2013年天津卷,文14)设a+b=2,b0,则+的最小值为.解析:由a+b=2,b0.则+=+=+,由a0,若a0,则原式=+2=.当且仅当b=2a=时,等号成立.若a0,n0),则由2a+2b+2c=2a+b+c得mn+x=mnx,(mn-1)x=mn,x=,x=,又+=12,-,1-,x=,即2c,clog2=2-log23.当且仅当m=n=2,即a=b=1时,c取得最大值为2-log23.答案:2-log237.(2011年浙江卷,文16)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.解析:xy(x+y)2,1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,(x+y)2,-x+y,当x=y=时,x+y取得最大值.答案:8.(2011年江苏卷,8)在平面直角坐标系xoy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于p,q两点,则线段pq长的最小值是.解析:如图所示.p在函数y=图象上,设p(x, ),又q与p关于原点对称,q（-x,-）,|pq|2=(x+x)2+(+)2=4x2+2=16.当且仅当4x2=,即x2=2时等号成立.|pq|min=4.答案:4考点三 不等式的综合应用1.(2013年山东卷,文12)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,x+2y-z的最大值为()(a)0(b) (c)2(d)解析:由题得z+3xy=x2+4y24xy(x,y,z0),即zxy,1.当且仅当x=2y时等号成立,则x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-2(y-1)2-1=-2(y-1)2+2.当y=1时,x+2y-z有最大值2.故选c.答案:c2.(2013年新课标全国卷,文12)若存在正数x使2x(x-a)0及2x(x-a)x-x,令f(x)=x-x,由于y=x,y=-x在定义域内均为增函数,因此f(x)为增函数,从而x0时,f(x)f(0)=-1,因此满足条件的a的取值范围为a-1.故选d.答案:d3.(2013年重庆卷,文15)设0,不等式8x2-(8sin )x+cos 20对xr恒成立,则的取值范围为.解析:因为不等式对一切实数恒成立,所以=64sin2-32cos 20,即2sin2-cos 20,由2sin2=1-cos 2,得1-2cos 20,所以cos 2,又0,20,2,所以20, ,2,即0,.答案:0,4.(2013年浙江卷,文16)设a,br,若x0时恒有0x4-x3+ax+b(x2-1)2,则ab=.解析:不失一般性:当x=0时,可得0b1,当x=1时,可得a+b=0,所以a=-b,-1a0,由x0时恒有0x4-x3+ax+bx4-2x2+1得ax+bx3-2x2+1a(x-1)(x-1)(x2-x-1)当x1时,有ax2-x-1恒成立,所以a-1,又-1a0,所以a=-1,b=1,ab=-1.答案:-15.(2012年四川卷,文16)设a,b为正实数.现有下列命题:若a2-b2=1,则a-b1;若-=1,则a-b1;若|-|=1,则|a-b|1;若|a3-b3|=1,则|a-b|1.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)解析:中,若a,b都小于1,则a-b1,由a2-b2=(a+b)(a-b)=1,所以a-b1,故错;中,|a-b|=|(-)(+)|=|+|-|=1,故错;中,对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,若a,b中至少有一个大于等于1,则a2+ab+b21,则|a-b|1,若a,b都小于1,则|a-b|1,所以正确.综上,真命题有.答案:6.(2012年陕西卷,文21)设函数f(x)=xn+bx+c(nn+,b,cr).(1)设n2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|1,|f(1)|1,求b+3c的最小值和最大值;(3)设n=2,若对任意x1,x2-1,1,有|f(x1)-f(x2)|4,求b的取值范围.解:(1)当b=1,c=-1,n2时,f(x)=xn+x-1,ff(1)=10,f(x)在区间(,1)内单调递增,f(x)在(,1)内存在唯一的零点.(2)依题意知.画出可行域可知b+3c在点(0,-2)处取得最小值-6.在点(0,0)处取得最大值0,因而b+3c的最小值为-6,最大值为0.(3)当n=2时,f(x)=x2+bx+c,对任意x1,x2-1,1都有|f(x1)-f(x2)|4等价于f(x)在-1,1上的最大值与最小值之差m4,据此分类讨论如下:若1,即|b|2时,m=|f(1)-f(-1)|=2|b|4与题设矛盾.若-1-0,即00”是“x+2”的()(a)充分但不必要条件(b)必要但不充分条件(c)充分且必要条件(d)既不充分也不必要条件解析:当x0时,x+2=2.因为x,同号,所以若x+2,则x0, 0.所以x0是x+2成立的充要条件.选c.答案:c2.(2012安徽示范高中联考)若a0,b0,且a+b=2,则下列不等式恒成立的是()(a)1 (b)+2(c)1(d)a2+b22解析:由2=a+b2得1,ab1,所以选项a、c不恒成立,+= =2,选项b也不恒成立,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2恒成立.故选d.答案:d考点二 利用基本不等式求最值1.(2012郑州质检)若ab0,则代数式a2+的最小值为()(a)2(b)3(c)4(d)5解析:a2+a2+=a2+4,当且仅当即a=,b=时,等号成立.故选c.答案:c2.(2012武汉质检)双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,则的最小值为()(a)(b)(c)2 (d)1解析:已知双曲线的离心率是2,故2=,解得=,所以=a+,当且仅当a2=时等号成立,故最小值是.故选a.答案:a3.(2012湖北八校联考)若点p(a,b)在直线x+y=2上,且在第一象限内,则ab+的最小值为()(a)2(b)3(c)4(d)2解析:由题意得a+b=2(a0,b0),由2=a+b2,得0q0,则提价多的方案是.解析:设原价为1,则提价后的价格:方案甲:(1+p%)(1+q%),乙:(1+%)2,因为+=1+%,因为pq0,所以1+%,即(1+p%)(1+q%)0,b0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为()(a) (b)(c)+(d) +2解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2.因为直线被圆截得的弦长为4,所以直线ax-by+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以+b=1,所以+=(+)(+b)=+1+2=+.当且仅当=,a=b时取等号,所以+的最小值为+.故选c.答案:c2.(2012年高考重庆卷)若函数f(x)=x+ (x2)在x=a处取最小值,则a等于()(a)1+(b)1+(c)3(d)4解析:当x2时,x-20,f(x)=x-2+22+2=4,当且仅当x-2=(x2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.故选c.答案:c3.(2013北京通州区期末)若x+10,则x+的最小值为.解析