量子力学讲义第4章.doc

第四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间）基矢三维 本征函数无限维任意矢展开 任意态展开 取不同坐标系 取不同表象 . .不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量，将量子力学“几何化”在矢量空间中建立它的一般形式。为此，我们将 引进量子力学的矢量空间希尔伯特空间； 给出态和力学量算符在该空间的表示； 建立各种不同表示之间的变换关系。最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”类比： 欧氏空间的矢量 坐标系中的分量 . 希氏空间的态矢 表象下的表示 .引入狄拉克符号的优点：运算简洁；勿需采用具体表象讨论。一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。1、 线性：；。2、 完备性：。3、 内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 。定义内积：复数，。归一化；正交；正交归一；连续谱的正交归一。二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 （此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号）1、 态矢符合线性空间的要求：。2、 任意态矢可用一组完备的基矢展开：。3、 态可以求内积： 以为基， 其中 。取的左矢：，有内积上式已利用了连续谱的正交归一性。三、 希尔伯特空间的算符算符 1、 算符对左矢的作用： 存在，其意义（定义）为 。2、 厄米共轭算符： ，称 ，即 。有 （自证）。若 则厄米算符。3、 矢量的外积：内积 是一个复数，而外积 是一个线性算符（并矢）。作用于（右）态矢；作用于（左）态矢。4、 取乘积的厄米共轭规则（反序）： 例：为厄米算符，试计算 解：注意到，对于复数，“*”=“+”，故 ， 。 这也可作为用狄拉克符号写出的厄米算符的定义。5、 投影算符： 作用于任意态矢的分量：。6、 基矢的完备性（这是非常有用的性质）： 由单位算符的定义： 知 对连续谱，有 7、 本征值方程： （分立谱）或 （连续谱）。8、 算符的自然展开式： 可见，力学量算符由它的本征值谱和本征矢完全集完全确定。作业：习题4.1、1原题有误，应为证（13）式和（16）式，2，4，5。4.2 态和力学量的表象表示(本节可主要由学生自学，只列出要点)在具体计算时，要取“坐标系” - 表象。取力学量（也可以代表一个力学量完全集）：以的正交归一本征态完备系为基矢，则称为 -表象。一、 态的表象表示-表象：基，本征值谱，有 我们以分立谱为例讨论（请自学连续谱）。任意态： ， , 在-表象中的表示。（表示态与表示态完全等价）矩阵形式： 。特别地， 体系处于的本征态：。请同学们认真研究教材P136-139的各表，归纳态的表示的规律。二、 算符的表象表示-表象：由 即 ： 为在-表象的表示（“投影”）， 为在-表象的表示（“投影”）， 为在-表象的表示（“投影”）。矩阵形式：，或简写成 。（注意，教材P141排版有误，见我在教材中的注。）4.3 量子力学公式的表象表示（我们以分立谱为例，主要讲要点和思路，具体细节可由学生自学。）一、 归一化条件： -表象： 。二、 平均值： -表象：。三、 本征值方程 矩阵形式下本征值方程的求解（重点讲解）-表象： ，记 ，即有 。写成矩阵形式：，这是关于的齐次线性方程组，具有非零解的条件是： 久期方程 即 。求解方法： 由久期方程；代入方程组；由此得本征矢。例：（见教材P149）在（）的共同表象中，的矩阵表示为，求它的本征值和归一化本征矢。解：矩阵方程为 设 （1）令 ，有 。其久期方程为 将代入（1）式可得 ，即。由归一化条件 （取实数），。 将代入（1）式可得 。 将代入（1）式可得 。四、S-方程-表象： 。作业：习题4.2、1，8；习题4.3、1，2，3。4.4 表象变换问题：A-表象B表象一、 表象变换是么正变换A- 表象：B-表象：考虑AB： 由 。 这是保证本征矢正交归一性的必然要求：同理 。A-表象中的表示：由 可见是B-表象的基在A-表象的基上的投影。二、 态矢的表象变换 任意态矢，分别按A，B表象的基展开：。考虑 ： 即 这就是由AB的变换式。利用的么正性，有 这就是由BA的变换式。三、 力学量算符的表象变换，注意到 ，有 ，于是得AB的变换式 。利用的么正性，可得 BA的变换式 。四、 量子力学在么正变换下的不变性（我们只列结果，同学们自学证明） 内积不变； 算符方程形式不变； 力学量平均值不变； 本征值不变； 算符的迹不变。矩阵迹定义为对角元之和 。五、 通过么正变换求算符的本征值在自身表象中，如在B-表象中，矩阵必为对角矩阵，其矩阵元为本征值：。所以，只要将变换到自身表象（使矩阵对角化）本征值。（由“四”知，本征值与表象无关）由“一”知，AB的变换矩阵就是的本征矢在A-表象的矩阵表示按列排成的矩阵，即：。 例：的共同表象中，的矩阵表示为 ，试将其对角化，并求其本征值。解：由前面的讨论已知，在表象（A-表象）中，（）的本征矢为 ， ， ，由此可得 。（具体计算过程请同学们自己完成），可见的本征值为（）。4.5 S-绘景 H-绘景 I-绘景（只讲思路，详细内容自学教材）类比： 经典力学 量子力学参考系 绘景坐标系 表象描述刚体运动 态和力学量与时间的关系实验室参考系-基矢对实验室静止 S-绘景-基矢不随时间变化与刚体固连的参考系-基矢对实验室运动 H-绘景、I-绘景-基矢随时间变化出发点：物理测量值不随描述方式的改变而变化-描述方式可以选择 平均值不变； 各绘景之间采用么正变换联系，量子力学具有么正变换下的不变性； 依或或混合之与时间的关系，分成三种绘景，视情况选用。一、S-绘景： 特点：随时间变化，不随时间变化。（基矢不随时间变化）的演化：。的演化：。基矢的演化：。的么正变换： ，有 时间演化算符， 是么正的。优缺点：计算方便；若，较简单时可用微扰论处理；对微扰论不易处理的问题无能为力。二、H-绘景： 特点：不随时间变化，随时间变化。（基矢随时间变化）的演化：。的演化：。基矢的演化：。优缺点：算符方程与经典力学（分析力学）对应关系更直接，讨论算符关系比较方便；处理非微扰问题时常采用；求解算符方程，数学上不如S-绘景方便。三、I-绘景：特点：和 都随时间变化；决定；决定。（基矢随时间变化）的演化：。的演化：。优点：适用于微扰论。四、 三种绘景的关系 （参见教材P184-185表4.3。）作业：习题4.4、1，2，3，4；习题4.7、2。4.6 线性谐振子 粒子数表象（矩阵力学 - 代数法求解的典型例子）x-表象中： 。一、 粒子数表象中的引入新算符： 代入可得（请同学自己证明，注意是非厄米算符） ，其中 为粒子数算符（见后讨论）。有共同本征态，记为，其本征值记为n：二、的对易关系由 （请同学自证），由此有我们将看到，算符的性质由对易关系完全确定。现在我们就从对易关系出发 n。三、线性谐振子的能级： 任何矢量的模方。： 可见是的本征矢，本征值为(n-1)。同理可得：。：显然 ，否则与最小矛盾。以作用于，与 比较 。能级：属于的本征矢为。（零点能）由，无上限。本征值为n的本征矢为。四、粒子数表象用（基态 - 真空）表示：由前知，与是同一状态，无简并，只能相差一个常数：。取共轭 （取实数）。同理可得 。粒子数表象的物理意义：, 能级.另一种解释：“” 一个“粒子”；n个“粒子”。 , 使“粒子数”减少一个 - 湮灭算符 , 使“粒子数”增加一个 - 产生算符 , - 粒子数算符粒子数表象中的矩阵元： 由 得 五、在坐标表象的波函数出发点： 其中 是x-表象中的表示，是x-表象中的基态波函数。利用连续谱表象中算符的矩阵元与微分算符的关系（教材P143）：