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高二物理竞赛讲义n区-xnxpOxp区+ + + + - - - - - - - - - - -Fig10-11练习8在半导体pn结附近总堆积着正、负电荷，在n区内有正电荷，在p区内有负电荷，两区电荷的代数和为零。为简化模型，把pn结看成一对正、负电荷的无限大的平板，如图Fig10-11所示。取坐标x的原点在p、n区的交界面上，n区的范围是，p区的范围是。设两区内电荷体分布是均匀的，满足 这称为实变结模型。这里ND、NA是常量，且NAxp=NDxn，试求电场分布。提示与答案首先，两区分界面的场强为其它位置（例如在的位置）的电场可以看成是面密度为： 、和这样三个无限大带电平面产生的电场的矢量和，于是n区： p区： 其它区域场强等于零。3 电势能、电势和电势差一、静电场力做功静电场力与重力、弹力、万有引力和分子力等保守力做功具有相似的特点，即做功只与初末位置有关，而与其具体路径无关。关于这一问题的证明，可以就单个点电荷产生的电场为例，非常有趣的是，我们已经在天体运动部分证明了万有引力做功的特点和引力势能，而点电荷之间的静电力和万有引力是何其相似，请同学们回顾并加以比较，由于在万有引力部分我们曾经推到过引力做功，类似地，若一个点电荷q在一个点电荷为Q的静电场中运动，若初位置与Q相距为r1，末位置与Q相距为r2，则无论运动轨迹如何，静电场力对q做功为 （10）对于多个场源电荷形成的电场也有如此特点，更不用说匀强电场了。Exx0Fig10-12练习9一个质量为m、带有电荷的小物体，可在水平轨道Ox上运动，O端有一与轨道垂直的固定墙，轨道处于匀强电场中，场强大小为E，方向沿Ox轴正向，如图Fig10-12所示。小物体以初速v0从x0点沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f作用，且fqE。设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它停止运动前所通过的总路程s。提示与答案由动能定理 ，得 二、静电场的基本定理之二静电场环路定理 在静电场中，一个带电粒子在任意的闭合路径运动一周，电场力做功恒等于零。 推论：静电场中电场线永不闭合。 思考题：请问是否存在这样的电场？描述该电场的电场线是平行且不等间距的。三、电场力做功与电势能的关系 不论电荷的正负，只要电场力对它做正功，电荷的电势能就减少（当然，减少的电势能转化成了其它形式的能量，例如带电粒子的动能等）；电场力做负功，电势能就增加。可比较力学中的重力做功和重力势能的关系。数学表达式为 （11）m2mABlFig10-13练习10如图Fig10-13所示，A、B两个点电荷相距为l，质量分别为m和2m，他们由静止开始相向运动，不计重力，开始时，A的加速度大小为a，经过一段时间后，B的加速度大小也为a，速度大小为v，那么在此时：（1）两个点电荷相距多远？（2）点电荷A的速度多大？什么方向？（3）两个电荷之间的库仑力对它们一共做了多少功？（4）两个点电荷的电势能总共变化多少？是增大还是减少？提示与答案（1）（2）2v，与B的速度方向相反（3）（4）电势能减小了四、电势差 电势定义： （12）注意：在利用定义式计算电势差时，功的正负和电荷的正负都要代入。请思考：电势差与重力势能中的哪一部分比较相似？为什么要定义电势差这个概念？由于电势差这个概念较为抽象，下面通过一个极其简单的问题帮助理解电势差的概念。 假设在空间中存在一个匀强电场，其场强大小为N/C，方向如图Fig10-14，沿电场方向有两点A、B，距离d=10cm。（1）将一个点电荷C从A点移动B点，求电场力做了多少功？A、B两点间的电势差等于多少？ABdEFig10-14（2）将一个点电荷C从A点移动B点，求电场力做了多少功？A、B两点间的电势差等于多少？（3）将一个点电荷C从B点移动A点，求电场力做了多少功？B、A两点间的电势差等于多少？结论：电场（任何静电场，当然对于更一般的情况的证明超出了中学范围）中两点间的电势差与电荷的正负和电量的大小没有任何关系，它反映了电场的做功本领，或者说是电场能量的标度，而电场强度则是电场作用力的标度。根据（9）式，显然有 （13）五、电势 电势差顾名思义就是电势之差，若某点的电势用表示，显然有：。同样明显的是：若选定电场中某点（例如A点）的电势值（若选某点或某一个面电势为零，则称为零势点或零势面），而又知道该点和另一点（例如B点）的电势差（若V），则B点的电势值（V）就确定了，注意选取的零势点或零势面不同，电场中各点的电势不同，但电势差是不变的。 下面进一步讨论电势的含义。对于点电荷（系）所形成的电场，为了计算方便和数学上的自洽性，通常选无穷远处为零势点（当然任何电荷在该点的电势能亦为零），根据（11）、（12）式，从上式可以看出，电场中某点的电势等于单位正电荷在该点的电势能。如何具体求某点（例如A点或B点）的电势，若上式中B点为无穷远处且电势为零（注：在场源电荷分布在有限区域的情况下，选无穷远处为零势点是方便的，在数学上也是自洽的，而匀强电场是有无限大电荷分布产生的理想电场，是不能选无穷远处电势为零的。），则 （14） 电场中某点的电势，在数值上等于单位电量的正电荷由该点移到零势点（无穷远处），电场力所做的功。用数学语言表述为： （15）（14）、（15）两式的物理含义非常丰富，我认为，电势是物理学上最优美的概念之一。无论是写成求和形式还是积分形式，无非是告诉你电势不是一个孤立的值，它是叠加的结果，这一点不易理解，电势不仅最优美而且也是最抽象的物理概念之一。物理学研究问题的方法大致分为两种：一是力和运动的方法，其核心是牛顿运动定律；二是功和能的方法，其核心是动能定理。对于微观领域和电场的研究，用能量的方法更能揭示其本质的东西。六、电势差与场强的关系由（15）式，可以得到场强与电势（差）的关系 （16）1234ab想一想，负号缘何而来？练习11图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26eV和5eV。当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为8eV时，它的动能应为A8eV B13eV C20eV D34eV提示与答案CMNv0v0AB+练习12两块竖直放置的平行金属大平板A、B，相距d，两极间的电压为U。一带正电的质点从两板间的M点开始以竖直向上的初速度v0运动，当它到达电场中某点N点时，速度变为水平方向，大小仍为v0，如图所示。求M、N两点间的电势差。（忽略带电质点对金属板上电荷均匀分布的影响）提示与答案由题意可知，竖直方向的分运动和水平方向的分运动加速度大小相等，设MN的水平距离为l，显然，于是练习13在平面二极管的两极之间存在着静电场，当阳极电势Ua=33.75V时，建立如图所示的电势分布，试问电子在阴极处应具有至少多大的能量，才能飞到阳极？具有这样能量的电子经过多长时间到达阳极？并画出电场的分布。已知Um=V，电子的荷质比取为C/kg。提示与答案场强分布为：V/m，V/m，电子飞到阳极的最小2.25eV。时间。x/mmU/VUmUaO1.513.5x/mmO1.513.51.5练习14写出练习8的电场的电势分布。提示与答案因为电场强度满足n区： p区： 其它区域场强等于零。取分界面为零势面，则 七、电势叠加原理 若有N个场源电荷，所产生的电场在空间某点的电势等于各个电荷单独产生的电场在该点的电势的代数和。八、几种典型电场的电势1、点电荷电场的电势由（10）式，不难看出 （17）练习15证明：相距为a的两个点电荷（）和，其零势面是一个球面。提示与答案若设ne的坐标为（0，0，0），的坐标为（a，0，0），经数学运算不难得到零势面的方程 这显然是一个球心坐标为（）、半径为的球面。2、均匀带电导体球壳电场的电势 （18）而电场分布由（7）式，大致画出的场强分布和电势分布如图所示。RrOERrO一个十分重要的特征就是：电势是连续的，而场强是不连续的。3、均匀带电球的电场 设球体半径为R，电荷体密度为，r是任意一点到球心的距离，则该点的电场强度为 （19）4、无限大均匀带电平面（电荷面密度为）电场的电势无限大带电平面电场为匀强场，其场强为，取平面的法线为z轴，坐标原点选在平面上，场强的矢量式为，由（12）式，得，若取，且，有 （20）5、*无限长均匀带电直线的电势分布 （21）练习16两个半径分别为R1和R2（R1R2）的同心球面上，各均匀带电Q1和Q2，试求空间的电势分布和电场分布。提示与答案由电势的叠加原理可知，空间任一点的电势是两个球面的电荷各自在该点产生的电势的代数和。根据（18）式，一个均匀的带电球面产生的场在球面内是等势区，在球面外区域相当于电荷集中在球心处的点电荷产生的电势，于是 九、点电荷系统的电势能 为了把这个问题彻底弄清，先讨论两个电荷的情形。设带电量分别为q1和q2的位置为和，相距。为求出此点电荷系的静电势能，将无穷远处相距为无穷远的两个点电荷分别移到指定的位置、。一种做法是先将q1从无限远处移到，因不受任何外力，在缓慢移动的过程中，外力不需要做功，然后将q2缓慢移动到，因已移入的电荷q1将对q2有作用力，外力需要做功。外力所做的功W12等于系统所贮存的电势能。设