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介观物理介观物理 讲授 汪军教授 什么是介观物理 Macroscopic mesoscopic microscopic 经典物理 量子力学 对于宏观系统的研究 我们通常应用统计力学的方法 考虑大量粒子的平均性质 宏观系统的尺 度远大于 微观粒子能够保持其相干性的 相干尺度 在这种情况下 每个系统样本中各个粒子的运 动缺乏关联 呈现统计上的无规性 系统的整体性质很好的被大量粒子的平均运动所描述 即同一系 统的不同样本性质间的差异很小 所有样本的性质都由系统的平均值刻画 统计涨落很小 对于微观 粒子 原则上可以对薛定谔方程进行严格的或近似的求解 处于介观尺度的材料 一方面含有大量粒 子 因而无法严格求解这种多自由度的薛定谔方程 另一方面 介观尺度的材料 尽管含有大量粒子 但其系统尺度小于相干尺度 同一样本中的粒子保持相干运动 各个样本性质差异极大 系统的平均 值不再有效的刻画系统中所有样本的性质 或者说存在很大的统计涨落 即粒子数又没有多到可以忽 略统计涨落的程度 这种涨落称之为介观涨落介观涨落 是介观材料的一个重要特征 介观物理学是物理学中一个新的分支学科 介观 mesoscopic 这个词汇 由 Van Kampen 于 1981 年所创 指得是介乎于微观和宏观之间的尺度 介观物理学所研究的物质尺度和纳米科技的研 究尺度有很大重合 所以这一领域的研究常被称为 介观物理和纳米科技 一 欧姆定律欧姆定律 1 经典物理中的电导公式经典物理中的电导公式 欧姆定律 欧姆定律 G L W R W L 其中 L 为材料的长度 W 为材料的横向宽度 为电导率 为电阻率 和材料的尺寸无关 是材料的基本属性 欧姆定律的适用范围欧姆定律的适用范围 当 L 趋于零时 例如 L 达到纳米量级 1nm 10 9 m 按照欧姆定律 R 应趋于零 G 趋于 无穷大 也就是说足够小的材料没有电阻 类似超导体 显然这是不合理 由此可见 欧姆定律只适用于宏观系统 在微观系统已不再适用 或者说需要修正 即在低维系统 中 欧姆定律失效 2 电导公式电导公式 那么在介观物理中怎样描述电导呢 输运特性 宏观电导率公式 mne 2 其中 n 电子浓度 电子的平均动量驰豫时间 m 电子的有效质量 不是真空中的裸电子质量 在介观或低维下 上面的 n m 的定义都是有问题的 3 能量耗散问题 能量耗散问题 A 我们知道 LVE 当 L时 0 E 宏观材料的击穿场强 mm 100VE 当 L 达到纳米量级时 电子产品的电压设为 0 1V E 将很大 但器件应该被烧坏 但实际上没有 其中的原因是什么 即能量耗散在低维系 统下是怎样进行的 B 能量耗散机理 材料表面的温度大小决定于微观粒子的运动速度 宏观情况下 电阻发热是一个能量转化过程 即电能转化为热能 在材料中加电场 电 子被加速 电子要与其他电子碰撞 被杂质散射 最主要的是和晶格进行碰撞 使晶格 发生振动 即固体物理中的激发声子 因为电子质量小 晶格振动对热能的贡献最大 宏观表现为材料的温度上升 然后再和外界交换能量 C 那么介观或低维情况下 能量耗散的过程又是怎样 二 二 AB 效应效应 典型介观物理现象典型介观物理现象 1 实验示意图实验示意图 如图 AB 环是一个介观环 将 AB 环放在磁场中 电子从环的左边 A 点到右边 B 点有两条可行路径 2 实验目的和条件实验目的和条件 实验的目的是测量介观环的电导 在本实验中要能观测到 A B 效应 用干净的半导体 如 GaAS 做介观环 材料的尺寸 要达到m 量级 而用一般的金属材料 则尺寸要达到 100nm 量级 3 实验现象 实验现象 0 量子磁通 磁通量 hc e0 SB 从上图可知 G 产生一个振荡 振荡周期正好是 1 个量子磁通 从图中可以看出若为干净的材料 G 有可能为 0 即处于断开状态 对于宏观材料这是不可能的 但对于介观材料则有可能 那么它的 物理机理是什么呢 原因来自于电子的干涉效应 我们可以类比于杨氏干涉效应加以理解 杨氏双缝干涉实验杨氏双缝干涉实验 1 ki e 1 ki e 2 ki e 2 ki e 电子可以分为两条路走 在 B 点交汇后 若两电子无相位差 则不会有干涉效应 但是加上磁场 后 若走两条路的电子在 B 点产生相位差 则会出现干涉效应 产生相位差不用磁场行吗 可以 我们可以使 l1 l2 来实现 这由上边的右图可以看出 但是 电极绕环运动造成相位差实现很困难 A B 效应说明了粒子的波动性 证明量子力学正确性 三 三 介观尺寸介观尺寸 G 那么怎样定义介观尺寸 怎样定义宏观系统 怎样定义微观系统 nm A 晶格长度范围 nm 10nm 金属的电子波长 10nm 100nm 半导体材料电子的波长 m 10m 干净或高迁移率半导体材料电子的波长 1 介观系统定义 系统尺寸小于离子的相驰豫长度 体系宏观性质能够体现粒子的相位相干 性 2 相驰豫长度定义 粒子在行进过程中 由于非弹性碰撞导致粒子相位模糊化 随机性 在 此之前 粒子的平均行进长度 电子和晶格的碰撞一般为非弹性碰撞 是 相位驰豫的主要来源 3 宏观系统 L L 4 介观系统 L L L一般在m nm 量级 超导材料的关联长度可以达到 10 5m 所以一 般的超导也属于介观系统 量子霍尔效应也是 一般介观系统的尺寸大 于纳米系统的尺寸 四 主要四 主要内容内容 1 其本介观的概念 2 量子输运 3 介观环 4 超导现象 5 量子霍尔效应 整数量子霍尔效应 参考书目 1 阎守胜 介观物理 北大出版社 2 S Datta electronic transport in mesoscopic system Cambridge press 1997 第一章第一章 基本准备基本准备 第一节第一节 能带结构能带结构 自由电子的能量是连续的 E m2 k2 2 问题 电子在晶格 周期势 中 本征态是怎样的 即电子的波函数和能级是怎样的 一 晶格特点晶格特点 1 晶格的特点晶格的特点 晶格具有平移对称性 基本重复单元称为元胞 2 周期性边界的困难及解决方法 周期性边界的困难及解决方法 虽然晶格具有周期性 而且决定材料性质的是材料内部的电子 但材料还是有表面 实 际的晶体体积总是有限的 因此必须考虑边界条件 在固体问题中 为了既考虑到晶体势场的周 期性 又考虑到晶体是有限的 我们经常合理地采用波恩 卡门提出的周期性边界条件 即有限 晶体大小作无限排列 并假定波函数具有长度为 L 的周期 采用周期性边界条件以后 具有 N 个 晶格点的晶体就相当于首尾衔接起来的圆环 a 1 对于周期性边界条件数学式 O r O L r 所有的物理量都是关于整个材料或者样 品是周期的 这个周期大小是 L 2 由于晶格具有周期性 有意义的宏观物理量 如粒子动能 势场 关于正格矢是周 期 其中 kzjyix aaa 为正格矢 二 波函数二 波函数 Bloch 函数函数 下面求单电子在周期势中的状态 Hamiltonian H r rr m2 p2 V 周期性条件 rr是错误的 因为 r 并不是一个宏观物理量 而正确是 2 r 2 r 所以 r e i r e k i r 这就是 Bloch 定理 那么 k 令 Na L aN r r L 为材料的长度 周期向边界处理 恢复系统的平移对称 性 应用 Bloch 定理 aN r e ak i r N r 所以e ak i N 1 a 故 st 1 a k aNa 2 k k n1n Na 2 kn2aNk BZ N 渊区 这个范围称第一布里 通常取 取一个倒格矢 是不连续 准连续的 由此可知 r e k i r 两边同乘以得 e rk i r e rk i r e rk i 令 e rk i r ru 所以 r ru e rk i 这就是 Bloch 函数 而 ru ru 注意 电子波矢 k 别限制在 1st BZ 区里 但所有的物理量 k K k 等价 关于倒格式 K 的周期 函数 三 电子能级三 电子能级 1 薛定谔方程求出电子的能级薛定谔方程求出电子的能级 H k r E k r 其中小写 k 表示 r 与 k 有关 两边同乘以e rk i H e rk i ee rk irk i k r Ee rk i r H r m2 p2 注解 令 k H H e rk i 则上述方程可化为 e rk i ru ru H k E 在一个元胞内求解就可以了求出的能级一定是分立的 E1 k E2 k 2 能带能带 自由电子 E m2 22 自由电子的 E k 关系图是抛物线 在晶格中 我们用克龙尼格 潘纳模型或 准自由电子近似或紧束缚模型都可以得到电子的 E k 图 它不再是标准的抛物线 而是在 BZ 区的边 界处出现能量的跳跃 这由下图可以看出 另一种完整的 E k 关系图表达方式 由于能量是波矢的周期性函数 所以将任意一条能量曲线通过倒格子矢量从一个布里渊区移 到其它布里渊区 在每一个布里渊区画出所有能带 构成 k 空间中能量分布的完整图像 问 若材料为三维 在 1st BZ k 有多少个取值 四 从原子势看能四 从原子势看能带结构带结构 孤立原子势 H r m2 p 0 2 V 1 m 1n 210 321n n 1 a2 e E 2 2 n 两个原子势 H 21 2 r r r r m2 p VV 假定 21 H 1 H 2 En r 对任何一个能级 两个原子势场没有区别 H n t E n t E t 与 t 表示两个电子之间的关联 t 2 1V rd t 的大小 决定于 21 r r r r VV V r r r r r 021 VVV 假定 tE tE E n n n n E n E tE tE n n 三个原子 n E n E n E tE E tE n n n N 个原子 n E n E n E n E 1E N E n n 一个原子能级对应一个能带 不同的原子能级对应不同的能带 当原子形成固体后 形成了一 系列的能带 如下图所示 能量较低的能级对应内层电子 其轨半径道较小 原子之间内层电子的波函数相互重叠较少 对 应的能带较窄 能量较高的能级对应外层电子 其轨道半径较大 原子之间外层电子的波函数相互重叠较多 对 应的能带较宽 带之间一般没有交错 结论 周期势场中 电子能量是不连续的 也不是完全分裂的 而是形成能带结构 第二节第二节 态密度和费米面态密度和费米面 一 态密度态密度 1 几个重要概念几个重要概念 态是指电子能级的状态 态密度定义 单位能量间隔所含有的状态数或者包括所有简并能级数 缩写记为 DOS 态密度表达式 设在 E E dE 中 含有的能级数为 dn 则态密度 D E EE n d dn 态密度的单位是 E 1 注意 状态数 整个材料中 N EEDd dn 2 求态密度求态密度 3 以自由电子为例 自由电子的波函数 r 2 3 1 L e rk i 自由电子的能量 E m2 k2 2 m2 222 2 zyx kkk 注意 态密度表达式中的 n 是指状态数 没有单位 是量子指标 此处的 n 是指 kx ky kz 故此处的态密度的计算方法是 EEEd dkkn 这个等式成 立的前提 能级是不简并的 一维自由电子的色散关系 E m2 k2 2 如下图 所以自由电子的态密度 Ed dk 就是直接对 E 求导就可以了 对于三维 根据周期性边界条件得出 zz yy xx n 2 k n 2 k n 2 k L L L L L L 2 k 2 k 2 k z y x 一个量子态在 k 空间中具有的体积是 k x k y k z k 3 2 L V 3 2 N V EED 3 2 kd d zyx 3 dkdkdk 2 V dkk4 2 2 3 V 此步骤是取球坐标 2 3 kdk2 2 V 23 2mE kd2 2 V 222 2mE 2m 2 V D E 通过上式可求得 D E 2 1 E 作业 求一维 二维自由电子态密度 更一般的情况 D E n n EE 此处 n 是量子指标 E n 是系统的本征能级 对自由电子来说 n 是指k 所以 D E k k EE 接下去继续求 D E 时 将求和化为积 分 求和就是数个数 x k x 2 dk L L 2 dkx 即是一个无量纲的量 二 费米面二 费米面 1 费米面定义费米面定义 零温下 平衡系统电子所能占据最高能级的能量 记为 EF 化学势定义化学势定义 非平衡系统电子所能占据最高能级的能量 记为 化学势也可定义为 E N 1 E N 费米面通常指材料本身的性质 而化学势是可以有外界控制的 对于一维无限深势阱 电子数越多 EF越大 电子数越少 EF越小 可以通过掺杂的方法或电压调控来控制材料中电子数的多少 2 费米面性质费米面性质 1 平衡态 费米面处处相等 水平面 不管在 k 空间 还是在实空间的任何一点处费米面都 相等 2 费米面有系统最外层电子组成 决定系统的物理性质 3 费米面的高低决定了电子的流动方向 电子从高处 指能量 流向低处 指能量 4 费米面形状 不管什么形状 在费米面处能量是相等的 两种金属的费米能级不同 电子从费米能级高的金属流向费米能级低的金属 最后平衡态合金一定有一个共同的 EF 自由电子的三维费米面是球形的 自由电子的二维费米面是一个圆 三 费米分布函数三 费米分布函数 费米分布函数定义 某个能级 E 在温度为 T 时 电子占据的几率 费米分布函数表达式 f 1e 1 1e 1 E k T EE B F k 1 T B 1 0k T B meV 由 f 表达式可知 T 0K 时 1 0 fEE fEE F F T 0K 时 表示能级基本填满 表示能级基本空着 5 0 5 0 fEE fEE F F 费米分布见下面左图所示 还有一个特征 总状态数 N EEDd 怎样求系统的总电子数呢 EEEDKT EEDKT F E d f n0 d n0 时 总电子数 时 总电子数 玻色分布 f 1e 1 E 对于玻色系统 大多数情况下 0 第三节第三节 金属金属 绝缘体分类绝缘体分类 问题 怎样来定义金属和绝缘体呢 一 能带理论对导电能带理论对导电的的解释 解释 1 能带理论能带理论关于导电的要点关于导电的要点 在材料两端加电压 为什么有的导电 有的不导电呢 能带理论能解释上述疑问 能带理论关于导电的解释 献非满带电子对电流有贡 满带电子对电流无贡献 从下面的E k关系图中可以分析满带和非满带对电流由无的影响 电流的表达式是 I e k fv k k E 可以类比普通物理中 I nev 对于平衡系统 外加电场为 0 即E 0 则 I 0 下面分未满带和满带两种情况解释是否导电的原因 2 未满带未满带 图 5 6 2 给出不满带电子填充的情况 没有外电场时 电子从最低能级开始填充 而且 k 态 和 k 态总是成对地被电子填充的 所以总电流为零 存在外电场时 整个电子分布将向着电场反 方向移动 由于电子受到声子或晶格不完整性的散射作用 电子的状态代表点不会无限地运动下去 而是稍稍偏离原来的分布 如图 5 6 2 b 所示 当电子分布偏离中心对称状况时 各电了所荷载的 电流中将只有一部分被抵消 因而总电流不为零 外加电场增强 电子分布更加偏离中心对称分布 未被抵消的电子电流就愈大 晶体总电流也就愈大 由于不满带电子可以导电 因而将不满带称作导 带 左右两边费米面不同 一定有电流出现 此时的电流公式为 I e vk fv d k k E Vd是电子的漂移速度 从另一角度分析 外加电场就是使 k 空间的费米面发生移动 在 x 方向 kx 两边不对称 所以 会出现电流 在 y 方向 ky 两边对称 所以不会出现电流 0 时 电子在电场的作用下沿电场的反方向作加速运动 d e dt k de dt k 这表明 在电场作用下 整个电子分布将在 k 空间沿 的反方向移动 所以 费米球的球心将偏 离原点位置 从而使原来对称的分布偏向一边 这样就有一部分电子对电流的贡献不能被抵消 而产生宏观电流 3 满带满带 我们已经知道 晶体中电子能量本征值 E k k 是 k k 的偶函数 则利用 5 5 11 可以证明 v k k v k k 即 v k k 是 k k 的奇函数 一个完全填满的电子能带 电子在能带上的分布 在 k 空间具有中心对称性 即一个电子处于 k 态 其能量为 E k k 则必有另一个与其能量相同 的 E k k E k k 电子处于 k k 态 当不存在外电场时 尽管对于每一个电子来说 都带有一 定的电流 e v 但是 k k 态和 k k 态的电子电流 e v k k 和 e v k k 正好一对对相互抵 消 所以说没有宏观电流 当存在外电场或外磁场时 电子在能带中分布具有 k 空间中心对称性的 情况仍不会改变 以一维能带为例 图 5 6 1 中 k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量 子态的电子 如上所述 在外电场 E 的作用下 所有电子所处的状态都以速度 沿 k 轴 移动 由于布里渊区边界 A 和 A 两点实际上代表同一状态 在电子填满布里渊区所有状态即满带情 况下 从 A 点运动出去的电子同时就从 A 点流进来 因而整个能带仍处于均匀分布填满状态 并不 产生电流 图图 5 5 6 6 1 1 外场下满带电子的运动外场下满带电子的运动 晶格电子的波函数和能级具有周期性 性质 k kk k kk n n EE 当有外加电场时 所有的电子都获得 k 而这时的状态等同于 1st BZ 中的对应点 图 3 如图 3 右边这部分运动出来电子的状态等同于左边被排空的状态 所以电子的分布还是对称 的 所以不会出现电流 结论 系统在电场形成电流取决于非满带电子 二 分类二 分类 1 金属和绝缘体金属和绝