同济大学的高等数学讲义 (9).pdf

第三单元第三单元 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 一 本单元的内容要点一 本单元的内容要点 1 函数单调性的判别法函数单调性的判别法 设设 若 若 x a b 有 则 有 则f x 在在 a b 上是单调增加上是单调增加 减少减少 fC abD ab 00fx 若当若当x I 时 有 且使得的 点 时 有 且使得的 点 驻点驻点 在在I的任何有界子区间内只有有限多个 则的任何有界子区间内只有有限多个 则f x 在在I上单调增加上单调增加 减少减少 00fx 0fx 2 函数图形凹凸性及其判别法函数图形凹凸性及其判别法 定义设 定义设I 是一个区间 若对任意的是一个区间 若对任意的x1 x2 I x1 x2 成成 立不等式立不等式 12121212 2222 xxf xf xxxf xf x ff 则称函数则称函数f x x I 的图形是凹的图形是凹 凸凸 弧 弧 判别法设函数在区间上二阶可导 且 则 判别法设函数在区间上二阶可导 且 则f x 的图形是凹的图形是凹 凸凸 弧 弧 00fx 0fx 证在证在 a b 任取两点任取两点x1 x2 其中其中x10 即即 0fx 12 f xf x 此即说明此即说明f x 在在 a b 上单调增加 同理可证 若 上单调增加 同理可证 若 x a b 有 则有 则 f x 在在 a b 上单调减少 上单调减少 0fx 注对无穷区间 相应的定理为注对无穷区间 相应的定理为 定理若当定理若当x 时 有 且使 得的点 时 有 且使 得的点 驻点驻点 在在 的任何有界子区间内 只有有限多个 则 的任何有界子区间内 只有有限多个 则 f x 在在 上单调增加上单调增加 减少减少 1 00fx 0fx 由此得到 函数由此得到 函数y x sinx在在 上是单调增加 的 上是单调增加 的 有些函数在它的整个定义区间上不是单调的 对于在有些函数在它的整个定义区间上不是单调的 对于在 定义区间上具有连续导数的函数 用函数的驻点来划分定义区间上具有连续导数的函数 用函数的驻点来划分 定义区间后 则函数在各个部分区间上是单调的 定义区间后 则函数在各个部分区间上是单调的 例例2 讨论函数的单调性 讨论函数的单调性 1 x f xex 解函数的定义域为解函数的定义域为 并且 并且 1 x f xex 1 x fxe 令 令 x 0 且当且当 x 0 时 当时 当 x 0 时 即时 即 f x 在在 0 内单调下降 在 内单调下降 在 0 内单调上升 内单调上升 0fx 0fx 2 112 0 5 1 1 5 2 1 x f xex 如果函数在定义区间内某些点处不可导 那么在划分 定义区间时 分点还应包括这些导数不存在的点 例 如果函数在定义区间内某些点处不可导 那么在划分 定义区间时 分点还应包括这些导数不存在的点 例3 确定函数的单调区间 确定函数的单调区间 1 3 1 f xxx 解解f x 的定义域是的定义域是 并且在 并且在 中连续中连续 当当x 0时 有时 有 2 3 41 x fx x 当时 当当时 当x 0时 导数不存在 用时 导数不存在 用 1 4 x 0fx x 0 即将定义域区间划分成三个部分小区间 即将定义域区间划分成三个部分小区间 1 4 x 11 0 0 44 现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如 下 现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如 下 表中 表示单调增加 表示单调减少表中 表示单调增加 表示单调减少 x 00 4 1 0 4 1 4 1 fx 0 f x 0 不存在不存在 0 x 0 1 0 4 1 4 1 4 fx f x 利用函数的单调性 可证明某些不等式利用函数的单调性 可证明某些不等式 例例4 证明 当证明 当x 1时 时 1 23x x 证令证令 则则f C 1 D 1 且且 f 1 0 又 又 1 23 f xx x 22 111 1 fxx x xxx 当当x 1时 有 故时 有 故 f x 在在 1 上单调增加 从 而当 上单调增加 从 而当x 1时 有时 有 f x f 1 0 即有 即有 0fx 1 23 1 xx x 函数的凹凸性及其判定法函数的凹凸性及其判定法 在上一目中 我们研究了函数的单调性和单调性的判在上一目中 我们研究了函数的单调性和单调性的判 别法 那就是通过一阶导函数的符号 可以判定函数是别法 那就是通过一阶导函数的符号 可以判定函数是 单调上升的还是单调下降的 但单调上升的还是单调下降的 但 是 即使是在函数的上升或下降是 即使是在函数的上升或下降 过程中 函数的图象也会呈现出过程中 函数的图象也会呈现出 截然不同的情况 截然不同的情况 x y o A B C D 在图中 两条曲线均为上升在图中 两条曲线均为上升 曲线 但曲线弧是向上凸的曲线弧 而曲线弧 是向上凹的弧 曲线 但曲线弧是向上凸的曲线弧 而曲线弧 是向上凹的弧 ACB ADB 定义设定义设I 是一个区间 若对任意的是一个区间 若对任意的x1 x2 I x1 x2 成立成立 不等式不等式 1212 22 xxf xf x f 则称函数则称函数f x x I 的图形是的图形是 向上向上 凸的凸的 或凸弧或凸弧 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 yf x x y ox1x2x1 x2 2 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 yf x y xx2x1ox1 x2 2 定理定理2 函数图形的凹凸性判别法函数图形的凹凸性判别法 若 若 x I 则函数 则函数 f x 在在I的图形是凹的 若 的图形是凹的 若 x I 则 则 f x 在在I的图形是凹的 的图形是凹的 0 fx 0 fx 所以在 所以在 0 内 内 曲线为凹 弧 曲线为凹 弧 0 内 曲线为凸弧 内 曲线为凸弧 2 3 6 yxyx 0y 在在 0 因而曲线的图形是凹的 在 因而曲线的图形是凹的 在 0 内 因而曲线的图形是凸的 当 内 因而曲线的图形是凸的 当x 0时 在时 在x 0处 不存在 处 不存在 25 33 12 39 yxyx y 0y 0y 曲线弧是凹的 在 曲线弧是凹的 在曲线弧是凹的 在 曲线弧是凹的 在 2 0 3 0y 由此 曲线有两 怪点 由此 曲线有两 怪点 2 11 0 1 3 27 作 业作 业 1 研究下列函数的单调性研究下列函数的单调性 arctan f xxx 1 1 0 x f xx x 2 确定下列函数的单调区间 确定下列函数的单调区间 32 29123 yxxx 2 1 x y x 3 证明下列不等式 证明下