物理学基地班分析力学讲义一.pdf

牛顿力学回顾 一 研究对象 物体的机械运动 物质世界最低级 最基本的运动 形态 即物体的空间位置随时间变化的规律 二 空间 时间与运动 1 牛顿时空观 狭义相对论时空观 2 时间 空间的量度 时间与空间基本的定义 1 时间时间 指物质运动的持续性和顺序性 持续性 任何一个物体的运动都要经历一个或长或短 的过程 顺序性 不同事物之间运动过程的出现有一个先后顺 序关系 时间的特点 一维 单方向性 2 空间空间 指运动着的物质的广延性 广延性 任何物体都有长 宽 高三个方向 任何物体 都占有一定的体积和一定的形式 空间表示物体彼此之间的并列关系和分离状态 表示物体的体积 形态 位置和排列等属性的范畴 3 牛顿的时空观牛顿的时空观 绝对的 真正的和数学的时间自身在流逝着 而 且由于其本性而均匀地 与任何其它外界事物无关地流 逝着 绝对的空间 就其本性而言 是与外界任何 事物无关而永远是相同的和不动的 三 力学状态的确定 同时给定物体的坐标和速度 量子力学与此不同量子力学与此不同 四 力学规律的表达形式 以力学系统所受的力作为特征函数 在三维实空 间中建立力学系统的运动微分方程 此时 力是力学系统的核心语言力是力学系统的核心语言 五 伽利略相对性原理 爱因斯坦相对性原理 力学规律在所有惯性系中是相同的 不存在特殊 的惯性系 六 牛顿力学适用范围 低速 宏观物体的运动 这里 l 指物体的特征尺度 a 指原子的尺度 问题问题 力学规律是否只有牛顿形式 力学规律其它表述形式 拉格朗日形式 哈米顿形式 分析力学的主要内容 经典力学 牛顿力学 分析力学 思考思考 力学规律各形式的特点 差别 优缺点 小论文小论文 1 牛顿力学与分析力学之比较 2 对空间 时间 物质运动的认识 3 分析力学建立的历史背景 4 微分与变分的区别与联系 第一章的主要内容 单个无约束质点在保守场中的拉格朗日方程 有约束质点系在保守场中的拉格朗日方程 涉及到约束 最小作用量原理 补充1 泛函与变分问题 补充2 基本形式的拉格朗日方程 补充3 耗散系统的拉格朗日方程 补充4 带电粒子在电磁场 非保守场 中运动的拉格朗 日函数 第一章低速宏观运动的基本原理 1 1 1无约束质点的拉格朗日方程 推导拉格朗日方程的方法之一 从牛顿方程出发推导 两种情况 1 不受约束的质点 2 受约束的质点 两种情况均在保守力场中 注意 约束的概念 约束性质 限制物体相互位置的 性质 设1 单个质点不受约束 需三个独立坐标描述 其位置 2 单个质点在保守力场中运动 势能 则 直角坐标系 由牛顿第二定律 质点的运动方程为 分量形式 又记 x y z 为 x1 x2 x3 上三式写为 上式合写为 说明 以上选取的是直角坐标系 但坐标系的选取要 根据具体情况而定 若U U r 势能只是质点到力心距离的函数 此时适宜选球坐标系 从直角坐标到球坐标的变换关系 上式推广到一般情况下 有 其中为广义坐标 对无约束的质点需要三个独立变量才能确定它的位 置 即有三个自由度 简记 q 全部S 个 S 自由度数目 拉格朗日方程的推导拉格朗日方程的推导 已知已知 要做的事 将上式中的要做的事 将上式中的换为换为 做法 做法 1 将将变为变为标量方程标量方程 功 即 2 由得 则 对中的作形式上的降阶 注 数学上分别为二阶和一阶导数 而物理上分 别为加速度和速度 又 则 函数和反函数 于是 因而 注 因 则 将 1 2 3 代入标量方程 I 得到 由于互相独立 所以 3 和的计算 速度和的关系 将对求导得到 只是的函数 不是的函数 上两式代入 4 得到 4 粒子的动能 则 5 代入 5 式 得到 6 保守力场 则 由上两式得 因而 令 则 说明 拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程 运动方程 在牛顿力学中为牛顿第二定律 在分析力学中为拉格 朗日方程 牛顿方程 矢量方程 拉格朗日方程 标 量方程 分析力学中 特征函数为拉格朗日函数 标量函数 牛顿力学中 特征函数为力 矢量函数 由看出 给出力学体系的坐标和速度就能完全确定经典力 学体系的状态 不再仅限于直角坐标 正交曲线坐标 如球坐标 在此为广义坐标 很多情况下 由拉格朗日方程得到的关于广义坐标的 运动微分方程是二阶非线性的 求解很困难 例子 写出在有心力场中质点的运动方程 解 选球坐标系 如图 位移dr在球坐标系中的表达式为 上式两边除以dt 得 动能 势能为 所以拉格朗日函数为 对L求偏导 运动方程为 1 1 2 有约束情况下的拉格朗日方程 讨论 受约束的多个质点在保守力场中的运动方程 出发点 牛顿第二定律 设 N个质点 质量和矢径分别是 牛顿运动方程 3N个标量方程 一般情况下 3N个方程并不独立 方程组不独立的原因 有约束的存在 约束的定义 力学系统在运动过程中受到的限制 包括对位置和速度的限制 约束的作用 1 使力学系统的坐标之间发生关联 而不全部独立 2 给力学系统施加约束反力 约束反力 约束总是通过一些外界物体 如轻杆 滑槽 软绳等 作用在所研究的系统中的质点上 在运动过程中 系统中 的质点对这些外界物体有作用力 同时受到这些物体的反 作用力 称为约束反力 由于约束反力的作用 使质点的坐标满足约束方 程 约束反力随时间变化 不能预先知道 只能通过 解运动方程求得 约束方程 约束条件的数学表达式 可用等式或不 等式表示 约束的例子 1 阿特伍得机 力学系统 物块1 物块2 约束 光滑槽 轻绳 圆盘 系统自由度 1 m1的坐标 m2的坐标 共6个直角坐标 约束方程 显示屏所在平面 5个方程 自由度 6 5 1 2 单摆 描述m的坐标 不独立 约束方程 一个独立 系统自由度 1 自由度数目少于坐标的数目 N个质点的3N个笛卡尔坐标 若这些坐标满足3N S个等式 约束方程 x 全部的 独立方程的个数 3N 3N S S 力学体系只有S个独立坐标 即系统有S个自由度 约束的分类 1 约束方程中不含时间t 稳定约束 2 约束方程中含时间t 不稳定约束 约束另外的分类1 可解约束与不可解约束 1 由不等式表示的约束 可解约束 2 由等式表示的约束 不可解约束 约束另外的分类2 几何约束与运动约束 1 对力学系统内各质点的位置加以限制的约束 几何约束几何约束 一般表示 例子 刚体内任意两质点间的距离保持不变 即 2 对力学系统内各质点的位置及速度加以限制的约束 运动约束运动约束 一般表示 例子 半径为R的圆柱在粗糙面上沿着直线做无滑动的无滑动的 滚动滚动 数学表示 对着地点 将上式积分得到 几何约束 这样 可积分的运动约束与几何约束实质上没有 区别 它们可以合称为完整约束 有些运动约束是不能积分的 这样的约束称之为 非完整约束 例如 具有尖锐边缘的薄圆盘在粗糙面上无滚动地滚 动 则圆盘的着地点的速度为零 薄圆盘的盘面是可 以转动的 但当盘面始终保持竖直时 着地点的速度 为零可表示为 将上式在x轴和y轴上投影 得 以上两个微分关系是不能积分的 即由它们无法得到形 如的方程 因而这样的约束为非完整 约束 由于约束的存在 使得力学系统的坐标不再独立由于约束的存在 使得力学系统的坐标不再独立 寻求独立坐标寻求独立坐标 对于一个有S个自由度的力学系统 找到S个适合的 变量 使3N个笛卡尔坐标是这S个变量的函数 例子 单摆中小球的直角坐标和摆角之间的关系 以上函数关系满足约束方程 则这样的S个变量是 决定系统中所有质点位置的独立变量 称为系统的广义坐广义坐 标标 广义坐标的引入解决了笛卡尔坐标因约束方程相关联广义坐标的引入解决了笛卡尔坐标因约束方程相关联 而不再全部独立的困难而不再全部独立的困难 任意一组任意一组 S 个可以完全刻画系统个可以完全刻画系统 位置的变量位置的变量均可作为广义坐标广义坐标 而 称为广义速度广义速度 约束的存在 导致约束反力的存在 而约束反力不能 预先知道 且很多时候并不关心约束反力 消去 约束 反力 只留下S个独立坐标所满足的方程 设 作用在第a个质点上的力为 写为 主动力 约束反力 目标 消去 约束反力 注 作用于第a个质点上的全部非约束性外力 方法 引入虚位移 虚功 单摆的运动 质点只能在以悬点 固定 O为球心 以 摆长 L为半径的球面上运动 虚位移的定义 在任一时刻 约束所允许的位移称为虚 位移 用表示 对单摆 虚位移在半径为L的球面的切面上 当虚位移 很小时 约束反力沿球面的半径方向 显然 所以 定义虚功虚功 实位移与虚位移的区别实位移与虚位移的区别 实位移 同时满足运动规律和约束条件 在时间间隔dt 内所发生的位移为实位移 它是唯一确定的 虚位移 设想在某一给定的时刻 在约束允许的条件下 系统所发生的位移 虚位移并非发生在时间的 流动过程中 它属于人为引入的位移 目的是为了处理 未知的约束反力 虚位移不是运动学和动力学问题 而 是一个几何问题 举例 1 不稳定约束情况下 dr和的区别 不稳定约束 悬点作简谐振动的单摆 虚位移在以t时刻悬点所在位置O t 为心的球面上 实位移的起始点和终点分别在以O t 和O t dt 为球心 的两个球面上 显然 垂直 但不垂直 2 阿特伍得机 的虚位移 滑槽对的约束反力 垂直滑槽表面 显然 软绳对的约束反力 显然 则 而 所以 结论 在理想的无耗散情况下 约束反力所做的虚功 为零 各个质点所受到的约束反力所做的虚功 之和为零 即 定义 满足上式条件的约束称为理想约束 由得 虚功原理 达朗贝尔原理 文字表述 在理想约束情况下 作用在各个质点上的主 动力和惯性力所做的虚功之和为零 对于平衡系统平衡系统 则 若系统为刚体 当平衡时 其所受重力虚功的处理 虚功原理的特例 对于保守系统保守系统 势能U为 作用在第a个质点上的主动力 由虚功原理得到 比较前面单个无约束质点的相应公式 结论 无约束时 实位移 有约束时 虚位移 现在由 推导有约束情况下N个质点组成的系统的拉格朗日方程 对求微分 得到 实位移实位移 对求等时变分等时变分 得到 而虚位移是固定在某一时刻t不变时 约束所允许的位移 故 因此 系统的动能为 令 L T U 则 拉格朗日方程 1 1 3最小作用量原理 推导拉格朗日方程的方法之二 从最小作用量原理出发 建立运动方程的目的 求解系统的真实状态 力学系统 N个质点 系统运动状态的描述 若有约束 系统的自由度降为S 系统状态的描述 q 广义坐标 若已知 又 则已知 即已知 任意的一组任意的一组S个函数个函数 系统的一个任意的运动状况系统的一个任意的运动状况 初始条件确定后初始条件确定后 只有一组只有一组S个函数个函数 真实的运动真实的运动 目的 从所有的函数组中选出描述运动状态的一组目的 从所有的函数组中选出描述运动状态的一组 类似问题 光的传播问题 A B的任意一条路径 s 几何路程 A B固定 固定边界 光的实际传播路径一个函数 任务 确定这一函数 办法 定义光程光程 其中 x y z 点处的折射率 显然 不同的不同的l l的值决定于的函数形式 称l为 的泛函 函数的函数函数的函数 记为 由于 不同的不同的l值 所以 在l值中有一个值是极值 极大值 极小值或常 数 和这个l值对应的函数描述光的 实际传播路径 费马原理 极值条件的数学表示 l 泛函l的变分 它是由于的函数形 式的微小改变所引起的l值的变化 比较 普通函数的极值条件为 泛函的极值条件为 费马原理找到代表实际运动状态的函数 对于力学问题 可采用相同的取泛函极值的方法 固定时刻的广义坐标值 的一个泛函 S q t 作用量 代表实际运动状态的是使作用量 S有极值的那一组 此即最小作用量原理 泛函S q t 的积分形式 力学系统的状态 只决定于坐标和速度 即 L 表征了力学系统的状态 注 L中没有更高阶导数的原因在于 只要给定初始时 刻的位置和速度就决定了系统的运动 作用量S S的极值条件 拉格朗日方程的推导拉格朗日方程的推导 作用量S的变化是由函数形式的变化引 起的 在每一固定时刻 等时变分等时变分 又 而端点固定 所以 若代表真实的运动 则它应使S取极值 即对 于任意的 有 于是 拉格朗日方程 说明 1 在此 拉格朗日方程是由最小作用量原理推导出来 的 方程为S个二阶微分方程 方程组的通解包含 2S个常数 由初始条件确定 2 最小作用量原理是现代物理学原理的普遍形式 除经 典力学系统外 相对论力学系统和场论系统的基本原 理也可以表述为最小作用量原理的形式 最小作用量 原理在由经典物理到量子物理的概念的飞跃上起过相 当重要的作用 见 理论物理基础教程 P415 418 3 最小作用量原理所用的数学工具是变分 4 若力学系统的拉格朗日函数确定 则该系统的力学性 质就被完全确定 但是 反过来 对于给定的一个力 学系统 却不能完全决定其对应的拉格朗日函数 即 和描述同一个 力学系统 因为 L 和L得到的作用量S和S 的变分 和相等 证明见教材p19 因而由最小作用 量原理得到的真实运动相同 也就是说 L 和 L 描 述同一个力学系统 拉格朗日函数的非唯一性 1 1 4伽利略相对性原理 一 惯性参考系 运动学 运动的描述 运动与静止参考系的确定 此时参考系可任意选择 动力学 运动的原因 力学规律 此时参考系不能任意选择 两种表述 牛顿运动定律 拉格朗日方程 惯性系 力学规律成立的参考系 非惯性系 力学规律不能成立的参考系 但是 惯性系不止一个问题 力学规律在不同惯性系是否有不同的形式 二 伽利略相对性原理 惯性系的等价性 一切惯性系在力学上是等价 的 即在不同的惯性系中 力学规律有相同的形式 相对性原理选取不同的惯性系去考察某一力学现 象 且在不同惯性系中 力学规律的 表达形式不变 问题 惯性系改变后 要建立新的坐标系 不同的坐标 系通过坐标变换联系起来 坐标变换能否保证力 学规律有相同的形式 伽利略变换对此作了保证伽利略变换对此作了保证 三三 伽利略变换伽利略变换 设 惯性系K 坐标系oxyz K 坐标系o x y z 其中 K 相对K以速度V运动 且 t 0 时 两个坐标系的 原点重合 做的事 在K K 中考察P点的运动 某一时刻 P的 位矢 K系 K 系 显然 伽利略坐标变换 由上式得 即 伽利略速度变换 v 绝对速度 v 相对速度 V 牵连速度 且得 即 加速度是伽利略变换下的不变量 又 质量m是与运动无关的标量不变量 经典力学 力 F与参考系的选择无关 也与坐标系的选择无关 则 F m a 都是不变量牛顿运动定律的形式也就 不会改变 即力学规律具有相同的形式 K 系 F ma K 系 说明 1 伽利略变换中包含了绝对时空观 2 狭义相对论 爱因斯坦相对性原理取代 伽利略相对性原理 狭义相对论时空观 取代绝对时空观 洛仑兹变换取代伽利 略变换 四 自由质点的拉格朗日函数 力学系统的拉格朗日函数决定此系统的力学性质 问题 如何确定力学系统的拉格朗日函数 单个自由质点 广义坐标r 拉格朗日函数 L在时间平移 空间平移和空间转动下具有不变性 时 间均匀 空间均匀和空间各向同性 即对称性 时间平移变换 在此条件下要求L不变 则 L 不能显含时间t 即 空间平移变换 在此条件下要求 L 不变 则 L 不能显含坐标 r 即 空间转动改变矢量的方向 但空间各向同性 则 L 不 能依赖于速度的方向 而只能依赖于它的大小 即 惯性系 K K K 相对于K 以无穷小速度运动 由伽利略相对性原理 力学规律在K和 K 中形式不变 在这两个参考系中的拉格朗日函数最多只能相差 一个坐标的任意函数的时间全导数 见p23习题10 即 上式为K和K 系中 拉格朗日函数满足的的普遍关系 由伽利略变换 有 将对小量 展开 得 保留到一阶小量 有 2 式必须服从 1 式 比较 1 2 两式 得 由于为任意矢量 上式左右两边 的同次项的系数应相等 于是 上式左边不含 r 右边不含 v 因此是一个 不依赖于速度 v 的常数 记这一常数为 因而 积分得 若惯性系K相对于惯性系 K 系以有限速度V运动 同样有力学规律在K和 K 中形式不变 见习题11 补充1 拉格朗日方程的另一种形式 出发点 上式中左边的第一项为 左边第二项经计算后得到 因此 由于的独立性 有 基本形式的拉格朗日方程 若主动力为保守力 则引入势能函数U 且有 于是广义力写为 又 则可得到保守系统的拉氏方程 若主动力为保守力 则引入势能函数U 且有 于是广义力写为 又 则可得到保守系统的拉氏方程 定义耗散函数 瑞利耗散函数 由此得到 而 这样 广义力可以写为 对于主动力中既有保守力 又有非保守力的系统 广义力为 由基本形式的拉格朗日方程 得到耗散系统的拉氏方程 上式中的L包含了系统的总动能及保守力的势能 例子 对于一维阻尼振子系统 所受主动力有弹簧的弹 力 保守力 和阻力 非保守力 若阻力为 时 瑞利耗散函数为 而系 统的拉格朗日函数 则由耗散系统的拉 氏方程 得到一维阻尼振子系统的运动方程 补充3 泛函与变分问题 1 泛函 例子 一质点沿竖直平面中的 光滑轨道y y x 从点A自由下滑 到点B 计算所需时间 解 建立如图所示坐标系 设 ds为质点在轨道上某点C 坐标 为x y 附近下落的一段弧长 v 为该点的速度 则质点通过弧长 所需的时间为 又因为质点在下滑过程中机械能守恒 若取点A所在 处为重力零势能点 于是有 得到 这样质点从点A下滑到点B所需时间为 显然 J 的值决定于函数y x 若起点 终点不变 若起点 终点不变 但选取另一轨道 则J 将不同 即J取决于整