2009考研数学基础班讲义－微积分第一讲.pdf

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 基础班微积分第 1 章 基础班微积分第 1 章 预备知识 函数概念 数列极限 预备知识 函数概念 数列极限 1 11 1 预备知识 预备知识 1 1 1 实数集的性质 1 1 1 实数集的性质 实数连续性的描述 确界公理 实数连续性的描述 确界公理 任何有界实数集合 必有最小上界和最小下界 但不一定有最大数或最小数 1 1 2 绝对值 1 1 2 绝对值 xy 是一种函数表达形式 对任意实数有 x 0 00 0 xx x xx xy 或记为 a b a b ba 2 2 nanaa n 111 为正整 数 3 对即有 mn 0 k kn km n m xxxxN 邻域内的点是由不等式 xxxxN 去心邻域与邻域的区别仅在于不包括点 0 x 区间 区间 开区间 Rxbxaxba 与 Rxaxxa Rxx 与 Rxbxxb Rxbxxa 1 2 函数 1 2 函数 函数关系与函数的初等性质对学习数学是重要的基础 函数关系表达了变量之间某种特 定的依赖关系 有时可以看作变量之间的对应关系 定义 1 2 定义 1 2 对实数集中的任意 按某一确定的规则 若有唯一确定的实数值Xxy与之对 应 则称y是的函数 记为 x xfy 这里 重要的是函数关系 而记号 自变量 与 fxy 因变量 是人为取定的 实 数集应视为使函数关系有意义的全体实数构成的集合 称为X f f的定义域 而对一 切由确定的全体实数构成的集合 fY 则称之为 f的值域 函数关系有时也记 为 或 f RXYXf RXRXf 在微积分这门课程里 对一个函数的表达 除了用代数表达式及图表以外 还会有许多 重要的表达方式 比如 一个函数关系可以由方程 隐函数 含参数 极限 微分方程 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 2 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 积分 级数等手段来表达 1 2 1 函数的初等性质 1 2 1 函数的初等性质 掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要 函数的初等性质包括以下几个方面 1 增减性 单调性 1 增减性 单调性 定义 1 3 定义 1 3 设函数 xfy 定义域为X 若Xxx 21 当 21 xx 时有 21 xfxf 则称在 xfy X上为增函数 非严格 而当 21 xx 时有 21 xfxf 则称在 xfy X上为严格单调增函数 类似可给出单凋减函数的定义 判断增减性的初等常用方法是减法 当函数在定义域上取得定号 取值不改变正负号 时 也可用除法判断增减性 当然 用导数研究函数的增减性将是一类重要方法 2 奇偶性 2 奇偶性 定义 1 4 定义 1 4 设函数 xfy 在对称的定义域内满足 xfxf 则称为偶函 数 而当函数在对称的定义域内满足 xfy xfy xfxf 时 则称为奇函 数 xfy 广义奇偶性 偶对称与奇对称 广义奇偶性 偶对称与奇对称 若的图形有对称轴 则应有 xfy ax xafxaf 将视为参数 令 则有 xafxg xgxafxafxg 因此为偶函数 并且有 xg 2 xafxf 若的图形有对称中心 则应有 xfy 0a xafxaf 将视为参数 令 则有 xafxg xgxafxafxg 因此为奇函数 并且有 xg 2 xafxf 以上这种性质称为函数的广义奇偶性或对称性 广义奇偶性或对称性 xf 3 周期性 3 周期性 定义 1 5定义 1 5 若存在一个正数T 使函数 xfy 在定义域内满足 xfTxf 则称 为周期函数 这里的正数T对一个周期函数来说不是唯一的 事实上有无穷多 一般情况下 称其中最小正数称为周期 xfy 4 有界性 4 有界性 定义 1 6 定义 1 6 设函数在 xfy X上有定义 若存在一个正数使得对任意有 MXx Mxf 则称函数在 xfy X上有界 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 3 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 对函数的有界性 后面还将给出其他情况下的一些描述 这类描述是重要的 1 2 2 复合函数 1 2 2 复合函数 函数的常见表达形式包括显函数表达式 隐函数表达式 以及参数表达式 其中核心 问题是复合函数的概念 复合函数实质上是一种链锁函数关系 定义 1 7 定义 1 7 设 复合函数关系是指 RUYX 即 即YUf ufy UXg xgu 这里称为的复合函数 xgfy x 一般讲 的值域为 xgu ufy 定义域的一个非空子集 在特定情况下 的值域恰为的定义域 xgu ufy 例 1 1 例 1 1 证明对任意实数 2 0 x 有xxsin sin sin 证 显然当 2 0 x时 有 2 10 xsin 由不等式 3 即有本题不等式 例 1 2 设例 1 2 设dxxI 2 0 1 sin sin dxxI 2 0 2 cos sin 则 A 则 A A B C A B C 21 1II 21 II D D 1 21 II 解 当 2 0 x 且为增函数 于是 xx sinxsin dxxI 2 0 1 sin sin 1sin 2 0 因此 21 1II yyxxRyxyxN 例如 园的方程在圆周上除去两点01 22 yx1 22 yx 01 与之外的 01 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 4 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 任意点的邻域内均可确定一个单值函数 xyy 如在点 2 2 2 2 的某邻域内可以确定 函 数 1 2 xxy1 而 在 点 2 2 2 2 的 某 邻 域 内 可 以 确 定 函 数 11 2 x e且 且 由此得定义域为1 x0 x且1 x 例 1 5 例 1 5 设 0 2 1 0 xxx xxx xf sin sin 求的表达式 11 11 x x x xf 解 考虑 x 表达式由两段给出 在的表达式中 当时 所含须分为两段 即与 而当时 自然有 xf0 x 10 x1 x0 x1 x 对所含 x 只须一段表达式 因此 可以得到 x x 即 01 01 x x 或 第二组不等式无解 第一组不等式的解为 01 01 x x 1 aayax3 x的极坐标方程 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 6 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 解 将将直角坐标的极坐标式代入曲线方程 经化简可得 0 222 aayax 22 cos2 a 注 注 事实上 由作图 利用三角函数可立即得到上述结果 读者可将曲线转化为极坐标方程 0 02 22 aayyx 0 sin2 a 又如的极坐标方程3 x 22 cos 3 例 1 8 例 1 8 设为连续函数 xf x 为正定偶函数 则 xf 为 A 奇函数 B 偶函数 但未必是定号函数 C 正定偶函数 D 不定 解 答案为 B 连续函数以偶函数为中间变量生成的复合函数仍为偶函数 例 1 10 例 1 10 考察下列函数的奇偶性 1 ln 1 2 xxxf 2 2 1 12 1 x xfxy 其中为奇函数 xf 3 xx xx ee ee xf 奇 解 1 ln ln xfxxxxxf 11 22 因此为奇 函数 xf 2 只须考察 2 1 12 1 x xg 的奇偶性 xgxg xx x x 12 1 2 1 2 1 12 2 2 1 12 1 xy为两个奇函数乘积 必为偶函数 3 显然有 xfxf 因此为奇函数 xf 例 1 11例 1 11 设为 xf 上的奇函数 已知 xaf 1有 22fxfxf 1 求 5f 2 若为周期函数 且周期 xf2 T 求常数 a 解 1 1 令 3 x 235fff 再令 1 x 得到 211fff 又因为奇函数 所以 xfaff2122 afff3213 于是 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 7 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 aaaf5235 2 若为周期函数 且周期 xf2 T 则 1 3 ff 则0 3 aaa 例 1 12例 1 12 若的图形有对称轴 xfy ax 和 babx ab 所以为周期函数 且周期为 xfy abT 2 例 1 13 例 1 13 设的定义域为 则函数 xf 1 0 4 1 4 1 xfxf的定义域是 A B 1 0 4 5 4 1 C 4 1 4 1 D 4 3 4 1 解 答案 答案 D 用变量置换法 分别考察 4 1 4 1 xfxf和的定义域 求出两个函数的定义域的交集 例 1 14 例 1 14 2 arctan x y 的反函数是 A 2 3 2 tan 2 xxy B 2 2 2 tan x x y C 2 3 2 2 tan2 x x y D 2 2 tan 2 1 xxy 解 答案 答案 A 由 2 arctan x y 解出 tan 2 yx 调换x和的位置 y 变成 tan 2 xy 由对偶性 定义域即为 2 arctan x y 的值域 2 3 2 例 1 15 例 1 15 设 则 0 0 2 2 xxx xx xf 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 8 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 A B 0 0 2 2 xxx xx xf 0 0 2 2 xxx xx xf 0 0 2 2 xx xxx xf 解 答案 答案 D 令xu 当0u xxuuufxf 22 例 1 16 例 1 16 设是单调增函数 且 RRf Rvuk 0 满足vukvfuf 证明 是单调增函数 kxxfxF 证 F xxF xfxxk xxfxkx F xfxxfxkx fxxfxF x k xx 由xkxfxxf 得到k x xfxxf 于是 0 k x xfxxf x xF 所以是单调增函数 xF 1 2 6 初等函数1 2 6 初等函数 基本初等函数包括以下六类 1 常数函数 cy 2 幂函数 幂函数的定义域与时常数 xy 有关 3 指数函数 为实常数 10 aaay x a 自然指数函数 x ey 4 对数函数 log10 aaxy a a为实常数 自然对数函数 xyln 5 三角函数 xxxxxxycsc sec cot tan cos sin 6 反三角函数 xxxyarctan arccos arcsin 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 9 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 对以上六类基本初等函数 应熟练掌握他们的定义域与值域 初等性质与相应的曲线 由以上六类基本初等函数 经有限次四则运算或复合运算而生成的函数统称为初等函 数 这是微积分课程中重要的研究对象 当然 有时也会涉及到某些非初等函数 包括某些 分段函数 分段函数未必都是非初等函数 如 2 xxy 可以表达为分段函数 但它又 是初等函数 1 3 数列的极限概念 1 3 数列的极限概念 1 3 1 定义与概念 1 3 1 定义与概念 掌握好数列极限的概念与方法是顺利学好函数极限的基础 而极限概念方法与分析问题 的思想 又是完成本课程后续内容学习的重要支柱与基础 定义 1 11 定义 1 11 对数列 若存在某个常数 n xA 使当无限变大时 n Axn 可以任意小 即 0 0 N与常数A 使当时有 Nn Axn 则称当趋于无穷大时的极限为 n xnA 或收敛于A 记为 Axn n lim 特别 若在上述的常数 则称是当趋于无穷大时的无穷小量 0 A n xn 而当上述定义中的A不存在时 称当趋于无穷大时的极限不存在 或发散 n xn 注 注 1 极限等式不同与一般等式 首先是极限存在 Axn n lim 其次才是等于A 2 当极限存在时 中满足不等式Axn n lim n x Axn的有无 穷多项 不满足 n x G 0 N 使当时有Nn Gxn 则称是当趋于无穷大时的 n xn 无穷大量 记为 n n xlim 特别 当在某一项之后 取正值无限变大时 则称是当 n x N xNn n x n趋于无穷大时的正无穷大量 记为 n n xlim 此时的描述为 使当时有 0 G0 NNn Gxn 而当在某一项之后 取负值且 n x N xNn n x无限变大时 则称是当 n x 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 10 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 n趋于无穷大时的负无穷大量 记为 n n xlim 此时的描述为 使当时有0 G0 NNn Gxn G 0 N 使 某个 满足 n xGxN 1 3 2 数列极限的性质 1 3 2 数列极限的性质 1 运算性质 1 运算性质 1 设 c为实常数 则Axn n limcAcxn n lim 存在 2 设 Axn n limByn n lim 则 lim nn n yx 存在 且 BAyx nn n lim 3 设 Axn n limByn n lim 则AByx nn n lim 存在 4 设 Axn n lim00 Byy n n n lim 则 B A y x n n n lim 存在 5 设 0 nn n xx lim 则 0 1 n n x lim 注 注 1 只从极限存在的角度来看 上述运算性质的命题形式均为充分条件 不满足前面条 件时 结论不一定不成立 运算性质的命题形式均为充分条件 不满足前面条 件时 结论不一定不成立 2 利用上述运算性质可以计算某些极限 无穷大量作为极限不存在的一种特例 往往 不可进行直接运算 遇到无穷大量时 应设法将无穷大量转化为无穷小量 而无穷小量的运 算较为方便 2 解析性质 2 解析性质 数列极限具有一些重要的解析性质 了解这些性质 对处理极限以及后续内容的学习 会有很大帮助 性质 1 极限的保序性 保号性 性质 1 极限的保序性 保号性 若有极限 且 则当足够大时必然有 换言之 一定 n x0 Axn n limn0 n x 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 11 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 0 N 使当时有 又若Nn 0 n x0 Axn n lim 则当足够大时必然有 换言之 一定 使当时有 n0 NNn 0 Axn n lim0 0 N 使当时有 Nn A 则 2 3 2 A x A n A xn 性质 1 性质 1 若有极限 且 使当时有 则 n x0 NNn 0 n x0 Axn n lim 注 本例题为性质 1 极限的保序性的重要推论 注 本例题为性质 1 极限的保序性的重要推论 证 用反证法 假设 0 N 使当时 有 Nn 0 则0 N 使当 Nn 时必有 证明方法 只要令 nn yx nnn yxa 即可完成证明 性质 2 唯一性 性质 2 唯一性 若有极限 则极限唯一 即若 n xAxn n lim 又Bxn n lim 则只能是BA 性质 3 有界性 性质 3 有界性 若有极限 则有界 n x n x n 这种有界性可描述为 若极限 存在 则一定 及 某个 使当时有 Axn n lim 0 M0 NNn Mxn 0 N 使当时有 Nn 则 11 AAM 则当时有 Nn Mxn N 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 12 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 Nn 时有 则存在 或 单调减有下界 也必有极限 Mxn N 使当时有 则 序列 有极限 且 Nn nnn bca n cAcn n lim 做为无穷小量的运算 下述命题常用来处理极限的存在及求解问题 做为无穷小量的运算 下述命题常用来处理极限的存在及求解问题 例 1 18 例 1 18 设序列 有界 n x lim0 n n y 则极限 存在 且 nn n yx lim0 nn n yxlim 证 序列 有界 则存在与 使当时 n x 1 N 0 M 1 Nn Mxn 存在 使当时 2 N 2 Nn M yn M M yx nn 即 0 nn n yxlim 1 3 4 无穷大量的比阶 1 3 4 无穷大量的比阶 定义 3 5 定义 3 5 设与均为无穷大量 n x n y n L210 nyn 若满足 n n n y x lim 则 1 当0 时 称与为同阶无穷大量 n x n y n 特别1 时 称与为 等价无穷大量 n x n y n 2 当0 时 称是比低阶的无穷大量 n x n y n 同时称是比高阶的无 穷大量 n y n x n 3 当 时 称是比高阶的无穷大量 n x n y n 同时称是比低阶的无 穷大量 n y n x n 例 1 19例 1 19 设 2 1 a6 1 nn aa 2 1 L n 证明 存在 并求出此极限值 证明 存在 并求出此极限值 n n a lim 证 由归纳法 证 由归纳法 显然 单调增加 再考虑有界性 单调增加 再考虑有界性 n a 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 13 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 362 2 a 假设 则3 n a36 1 a n nn n aaa 1 2 lim 解 解 需对参数分情况讨论 a 当时 10 a n n nn naaaaa 1 1 2 1 31 a n n n nn n n aaaaaa 1 2 1 2 1 22 3 aa n n 2 1lim n n n 解 1 用定义证明 解 1 用定义证明 0 1lim aa n n 先设 10 nn aa11 0 1lnln 1 1a n a n 1ln lna n 因此 1 1ln ln 0 a N n aNn10 当时 1 a 11 0 nn aa 1lnln 1 1a n a n 1ln lna n 因此 1 1ln ln 0 a N 10 n aNn 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 14 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 2 用夹逼准则证明极限 2 用夹逼准则证明极限 1lim n n n 设 设 10 L 1 2 0 nnn yax 则 n n a lim A A 存在且等于零 B 存在但不一定等于零 C 一定存在 D 不一定存在 存在且等于零 B 存在但不一定等于零 C 一定存在 D 不一定存在 解 解 0 lim nn n yx的条件不足以保证与的存在 应选 D n n x lim n n y lim 注 注 事实上 事实上 夹逼准则要求除了与的存在的条件以外 还有 夹逼准则要求除了与的存在的条件以外 还有 n n x lim n n y lim n n x lim n n y lim 例 1 23 例 1 23 求极限 n k n kn k 1 2 lim 解 解 记 nn n nnkn k a n k n 22 1 22 2 2 1 1 L 显然有 n nnn n a nn nn n 2 1 2 11 2 11 22 且常数 且常数 证明极限 1 a0 n n a n lim 证 证 这一极限证明方法较多 以下采用单调有界准则证明该极限存在 然后用极限的唯一性求此极限 记 n n a n x 则 n n n x n n aa n x 111 1 1 因此 1 1 1 N 使当时有 Nn 1 1 n n x x 或 即当时 nn xx n x为单调减序列 另外 显然有 故有下界 0 n x 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 15 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 因此序列 有极限 记 n xA a n x n n n n limlim 再由极限的唯一性可得到 A a A n n aa n A n n n 1111 1 lim lim 或0 1 1 A a 由 1 a 0 1 1 a 于是得到 0 n n a n A lim 例 1 25 设 证明例 1 25 设 证明0 a0 lim n an n 证 记 证 记 n a x n n 则 则 nn x n a x 1 1 1 设 则当时必有 1 设 则当时必有1 aan 1 nn xx n x 于是极限存在 对于是极限存在 对Axn n lim nn x n a x 1 1 令 令 n 则得到 因此 则得到 因此 AA 00 A 2 若 则对任意必有 2 若 则对任意必有10 an nn xx 1 即序列 即序列 n x单调减 单调减 其余同 1 其余同 1 例 1 26 证明极限 例 1 26 证明极限 0 lim n n n n 证 注意到 证 注意到 nn n nnn n n 121 0 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 16 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 例 1 28 例 1 28 设 a为常数 1 1 aa n nn a a aa 1 1 2 1 2 1 L n 证明极限 n n a lim存在 并求此极限 解 解 思路是运用单调有界准则 给出的递推表达式含有两项和 启示我们可试验平均值不等式 由平均值不等式得到 n nn a a aa 1 1 2 1 12 2 1 1 a a a a n n n a有下界 只须再证单调减 注意上述结果对一切成立 于是 n n n n nn a a a aa 2 1 2 1 L21 n 即单调减有下界 必有极限 记 n aAan n lim 由极限的唯一性 可得方程 A a AA 2 1 解此方程得到 aAan n lim 由极限的保序性 应有 因此舍弃负根 0 A 例 1 29 例 1 29 计算下列极限 1 2 21 n n n L lim 2 nnnn n 22 2322lim 解 解 1 2 21 n n n L lim 2 11 2 lim nn n n 2 1 10 2 1 1 1 2 1 lim n n 2 nnnn n 22 2322lim nnnn n n 22 2322 3 lim 22 1 1 2 32 2 3 1 nnn n n lim 注 掌握了序列极限的保序性概念 便不难理解函数极限的保序性概念 与此相 关的知识点还有 由一点处导数正负号导致的函数局部性质 积分