考研数学 线性代数讲义第3章矩阵的初等.pdf

水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 第 3 章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 第 3 章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 矩阵的初等行 列 变换 矩阵的初等行 列 变换 交换第 交换第i行 列 和第行 列 和第j行 列 行 列 用一个非零常数乘矩阵某一行 列 的每个 元素 用一个非零常数乘矩阵某一行 列 的每个 元素 把矩阵某一行 列 的元素的 把矩阵某一行 列 的元素的k倍加到另一行 列 倍加到另一行 列 对矩阵施行初等变换时 由于矩阵中的元素已经 改变 变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等 所 以在表达上不能用等号 而要用箭号 对矩阵施行初等变换时 由于矩阵中的元素已经 改变 变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等 所 以在表达上不能用等号 而要用箭号 例1 求矩阵例1 求矩阵 042 111 210 A的逆矩阵 的逆矩阵 初等矩阵 初等矩阵 单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩 阵 概括起来 初等矩阵有 类 分别是 单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩 阵 概括起来 初等矩阵有 类 分别是 交换第 行和第 交换第 行和第ij行 交换第 列和第行 交换第 列和第ij列 列 1 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 1 1 01 1 1 10 1 1 O LLL MM MOM MM LLL O jiE 用常数 用常数 乘第 行 乘第 行 i 乘第乘第i列 列 1 1 1 1 O O iE 第 第i行的行的k倍加到第倍加到第j行 行 第 第j列的列的k倍加到第 列 倍加到第 列 i 2 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 1 1 1 1 O L OM O k kijE 显然 初等矩阵都可逆 其逆矩阵仍是初等矩阵 且有 显然 初等矩阵都可逆 其逆矩阵仍是初等矩阵 且有 1 jiEjiE 1 1 iEiE 1 kijEkijE 初等矩阵与初等变换有着密切的关系 初等矩阵与初等变换有着密切的关系 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换 例如要将矩阵的第 行和第 行交换 则左乘一个 初等矩阵 例如要将矩阵的第 行和第 行交换 则左乘一个 初等矩阵 A 3 1 E 001 010 100 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 131211 232221 333231 aaa aaa aaa 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩 3 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 阵相应类型一样的初等列变换 阵相应类型一样的初等列变换 例2 设例2 设 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 231322122111 333231 232221 aaaaaa aaa aaa B 100 010 011 1 E 001 010 100 2 E 100 001 010 3 E 则以下选项中正确的是 则以下选项中正确的是 BAEEEA 321 BEEAEB 321 BAEEEC 123 BEEAED 123 例 设是 阶可逆矩阵 将的第 行和第 行 对换后得到的矩阵记作 例 设是 阶可逆矩阵 将的第 行和第 行 对换后得到的矩阵记作 AA B 证明可逆 证明可逆 B 求 求 1 AB 4 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 例4 设例4 设 011 431 321 A 000 110 101 B 是否存 在可逆矩阵 是否存 在可逆矩阵P 使得 使得BPA 若存在 求 若存在 求P 若不存在 说明理由 若不存在 说明理由 例 5 设是 3 阶方阵 将的第 1 列与第 2 列交换 得 再把的第 2 列加到第 3 列得 例 5 设是 3 阶方阵 将的第 1 列与第 2 列交换 得 再把的第 2 列加到第 3 列得C AA BB 则满足 则满足CAQ 的可逆矩阵的可逆矩阵Q为 为 A A 101 001 010 B B 100 101 010 C C 110 001 010 D D 100 001 110 矩阵的等价与等价标准形 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵 若矩阵B可以由矩阵经过一系列初等变换得 到 则称矩阵和等价 可以由矩阵经过一系列初等变换得 到 则称矩阵和等价 A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系 它具有 如下性质 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系 它具有 如下性质 反身性 任何矩阵和自己等价 反身性 任何矩阵和自己等价 对称性 若矩阵和矩阵等价 则矩阵和 对称性 若矩阵和矩阵等价 则矩阵和ABB 5 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 矩阵也等价 矩阵也等价 A 传递性 若矩阵和矩阵等价 矩阵和 矩阵 传递性 若矩阵和矩阵等价 矩阵和 矩阵C等价 则矩阵和矩阵等价 则矩阵和矩阵C等价 等价 ABB A 形如 形如 00 0 r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形 的矩阵称为矩阵的等价标准形 任意矩阵 任意矩阵A都与一个等价标准形都与一个等价标准形 00 0 r E 等 价 其中 等 价 其中 r E是是r阶单位矩阵 这个阶单位矩阵 这个r是一个不变量 它就是矩阵的秩 是一个不变量 它就是矩阵的秩 任何矩阵总存在一系列的初等矩阵 任何矩阵总存在一系列的初等矩阵 s PPP 21 L 和初等矩阵 和初等矩阵 t QQQ 21 L使得 使得 11 PPP ss L A t QQQL 21 00 0 r E 令令P Q 11 PPP ss L t QQQL 21 于是 于是 对任意的矩阵 总存在对任意的矩阵 总存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵nm AP和和n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q 使得 使得 PAQ 00 0 r E 6 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 例 6 设阶矩阵与等价 则必有 例 6 设阶矩阵与等价 则必有 nAB A 当 A 当 0 aaA时 时 aB B 当 B 当 0 aaA时 时 aB C 当 C 当0 A时 时 0 B D 当 D 当0 A时 时 0 B 4 矩阵的秩 4 矩阵的秩 在矩阵中 任取 在矩阵中 任取nm Ak行行k列 位于这列 位于这k行行k 列交叉处的列交叉处的 2 k个元素按其原来的次序组成一个个元素按其原来的次序组成一个k阶 行列式 称为矩阵的一个 阶 行列式 称为矩阵的一个Ak阶子式 阶子式 若矩阵中有一个 若矩阵中有一个Ar阶子式不为零 而所有阶子式不为零 而所有1 r 阶子式全为零 则称矩阵的秩为阶子式全为零 则称矩阵的秩为Ar 矩阵的秩记 作 矩阵的秩记 作 A Ar 零矩阵的秩规定为零 零矩阵的秩规定为零 显然有 显然有 rAr A中有一个中有一个r阶子式不为零 阶子式不为零 中所有 中所有ArAr 1 r阶子式全为零 阶子式全为零 若若n阶方阵 有阶方阵 有AnAr 则称是满秩方阵 则称是满秩方阵 A 对于对于n阶方阵 阶方阵 A 0 AnAr 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 7 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 例 7 求矩阵例 7 求矩阵 45532 51101 41322 32211 A的秩 的秩 例 8 求阶矩阵例 8 求阶矩阵n abb bab bba A L LLLL L L 的秩 的秩 2 n 例9 设例9 设 7153 432 110 1111 a b A 已知 已知3 Ar 求 求 ba 常用的矩阵的秩的性质 常用的矩阵的秩的性质 T ArAr BrArBAr min BrArABr 0 0 BrAr B A r 0 BrAr BC A r 8 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 若 若0 AB 则 则nBrAr 其中 其中n为矩阵的列数 为矩阵的列数 A 若可逆 则 若可逆 则A BrABr 若列满秩 则 若列满秩 则A BrABr 若行满秩 则 若行满秩 则B ArABr 例 10 设例 10 设BA 都是阶方阵 满足 都是阶方阵 满足 n EABA 2 2 求 求 ABAABr 例 1 设是矩阵 例 1 设是矩阵 A34 301 020 201 2 BAr 求 求 ABr 例 2 已知例 2 已知 62 321 321 t A 是 阶非零 是 阶非零 B 矩阵 且满足 矩阵 且满足0 AB 则 则 4 tA时 的秩必为 时 的秩必为 B 4 tB时 的秩必为 时 的秩必为 B 4 tC时 的秩必为 时 的秩必为 B 4 tD时 的秩必为 时 的秩必为 B 例13 设例13 设BA 都是阶非零矩阵 且满足都是阶非零矩阵 且满足n0 AB 则 则A和的秩 和的秩 B 9 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 A 必有一个等于零 必有一个等于零 B 都小于 都小于n C 一个小于 一个小于n 一个等于 一个等于 n D 都等于 都等于n 例14 设是矩阵 例14 设是矩阵 B是是Anm mn 矩阵 若 矩阵 若 mn 证明 证明 0 AB 例 15 设是 阶方阵 已知例 15 设是 阶方阵 已知A0 5 A 证明 证明 0 2 A 5 伴随矩阵 5 伴随矩阵 设 设 nnnn n n aaa aaa aaa A L LLLL L L 21 22221 11211 记的代数余子式为 令 记的代数余子式为 令 ij a ij A nnnn n n AAA AAA AAA A L LLLL L L 21 22212 12111 为矩阵的伴随矩阵 因此 若为矩阵的伴随矩阵 因此 若A ij aA 则 则 T ij AA 10 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 伴随矩阵的基本关系式 伴随矩阵的基本关系式 EAAAAA 1 1 A A A 或 或 1 AAA 1 n AA 1 0 1 1 nAr nAr nArn Ar 例 16 设例 16 设 122 212 221 A