考研数学 线性代数讲义第5章线性方程组.pdf

水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 第 5 章 线性方程组 第 5 章 线性方程组 n元线性方程组 元线性方程组 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L LLLLLLLLLLL L L 2211 22222121 11212111 其中其中 n xxx 21 L表示个未知量 表示个未知量 m是方程个 数 表示第 是方程个 数 表示第 n ij ai个方程中含个方程中含 j x项的系数 项的系数 m bbb 21 L叫常数项 叫常数项 记系数矩阵为记系数矩阵为 ij aA x T n xxx 21 L 常数项向量为 常数项向量为 T m bbbb 21 L 则线性方程组可写作矩阵 形式 则线性方程组可写作矩阵 形式 bAx 如果记 如果记 T m aaa 121111 L T m aaa 222122 L T mnnnn aaa 21 LL 则线性方程组可 以表示成向量方程 则线性方程组可 以表示成向量方程 1 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 bxxx nn L 2211 若将一组数代替未知量 若将一组数代替未知量 n ccc 21 L n xxx 21 L 使方程组中的 使方程组中的m个等式都成立 就 说是方程组的一个解 方程组的全体 解称为方程组的解集 解集相同的方程组称为同解方 程组 个等式都成立 就 说是方程组的一个解 方程组的全体 解称为方程组的解集 解集相同的方程组称为同解方 程组 21n cccL 线性方程组中 如果常数项为 即 称 线性方程组中 如果常数项为 即 称0 b 0 Ax为齐次线性方程组 若常数项不为 称为齐次线性方程组 若常数项不为 称 bAx 为非齐次线性方程组 为非齐次线性方程组 5 1 高斯消元法 5 1 高斯消元法 解方程组的最基本的方法是高斯消元法 设 解方程组的最基本的方法是高斯消元法 设n元 线性方程组 元 线性方程组 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L LLLLLLLLLLL L L 2211 22222121 11212111 矩阵 矩阵 mmnmm n n baaa baaa baaa L LLLLL L L 21 222221 111211 2 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 叫线性方程组的增广矩阵 记作叫线性方程组的增广矩阵 记作 bAA 所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵 施行矩阵的初等行变换 化作行阶梯形 所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵 施行矩阵的初等行变换 化作行阶梯形 mmnmm n n baaa baaa baaa L LLLLL L L 21 222221 111211 0 0 1 22222 1111211 M L MMMMO LL LL L r rrnrr nr nr d dcc dccc dcccc 根据行阶梯形 对方程组的解有如下的结论 根据行阶梯形 对方程组的解有如下的结论 若 方程组无解 若 方程组无解 0 1 r d 若 若0 1 r d 方程组有解 这时又分两种情况 方程组有解 这时又分两种情况 情况 情况 nr 方程组有唯一解 方程组有唯一解 情况 情况 nr 方程组有无穷多解 方程组有无穷多解 3 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 例 1 试问例 1 试问t取什么值时 线性方程组 取什么值时 线性方程组 4 42 2 321 321 321 txtxx txxx xxx 无解 有唯一解 有无穷多解 无解 有唯一解 有无穷多解 5 2 非齐次线性方程组5 2 非齐次线性方程组bAx 有解的条件 有解的条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广 矩阵的秩等于系数矩阵的秩 即 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广 矩阵的秩等于系数矩阵的秩 即 ArAr 如果从方程组的向量表示形式来看 方程组为 如果从方程组的向量表示形式来看 方程组为 bxxx nn L 2211 方程组有解就意味着方程组有解就意味着b可由系数矩阵可由系数矩阵A的列向量组 线性表出 或说 的列向量组 线性表出 或说b是系数矩阵是系数矩阵A的列向量组的线性组 合 的列向量组的线性组 合 若若n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组bAx 有解 有解 当当nAr 时 方程组时 方程组bAx 有惟一解 有惟一解 nAr 时 方程组时 方程组bAx 有无穷多解 有无穷多解 例 2 非齐次线性方程组例 2 非齐次线性方程组bAx 其中 其中A是 矩阵 则 是 矩阵 则 nm bAx 有惟一解的充分必要条件是有惟一解的充分必要条件是 4 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 nArA nArB mArC nArD 且为 且为bA的列向量组的线性组合 的列向量组的线性组合 5 3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 5 3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 若 若A是矩阵 则 是矩阵 则 nm 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax有非零解有非零解nAr 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax只有零解只有零解 系数矩阵系数矩阵A列 满秩 列 满秩 对于一些特殊情况 还有以下几个结论 对于一些特殊情况 还有以下几个结论 若 若A是阶方阵 是阶方阵 n 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax有非零解有非零解0 A 若 若A是阶方阵 齐次线性方程组是阶方阵 齐次线性方程组n0 Ax只 有零解 只 有零解0 A 若 若A是矩阵 当是矩阵 当nm nm 时 齐次线性 方程组 时 齐次线性 方程组0 Ax必有非零解 必有非零解 例 3 齐次线性方程组例 3 齐次线性方程组0 Ax 仅有零解的充分必 要条件是 仅有零解的充分必 要条件是 5 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 AA 的行向量组线性无关 的行向量组线性无关 AB 的行向量组线性相关 的行向量组线性相关 AC 的列向量组线性无关 的列向量组线性无关 AD 的列向量组线性相关 的列向量组线性相关 例4 设齐次线性方程组 例4 设齐次线性方程组 0 05 0 321 321 31 xxx xxkx kxx k为何值时 方程组有非零解 为何值时 方程组有非零解 例 5 齐次线性方程组 例 5 齐次线性方程组 02 03 0 03 321 321 21 321 xxx xkxx xx kxxx 当当k为何值时 只有零解 为何值时 只有零解 5 4 齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组 的解的结构 5 4 齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组 的解的结构 齐次线性方程组的解有两个重要性质 齐次线性方程组的解有两个重要性质 若 若 1 2 是齐次线性方程组是齐次线性方程组0 Ax的解 则 的解 则 1 与与 2 的和的和 21 仍是仍是0 Ax的解 的解 6 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 若 若 是齐次线性方程组是齐次线性方程组0 Ax的解 则的解 则 的 任意常数倍 的 任意常数倍 k仍是仍是0 Ax的解 的解 若用 若用S表示齐次线性方程组表示齐次线性方程组0 Ax的全体解 向量的集合 则性质 和性质 说明 的全体解 向量的集合 则性质 和性质 说明S中任意两个向 量的和在 中任意两个向 量的和在S中 中 S中任一向量的常数倍也在中任一向量的常数倍也在S中 就 是说 中 就 是说S对向量的线性运算是封闭的 所以对向量的线性运算是封闭的 所以S是一个向 量空间 它是的一个子空间 称为齐次线性方程 组 是一个向 量空间 它是的一个子空间 称为齐次线性方程 组 n R 0 Ax的解空间 的解空间 齐次线性方程组 齐次线性方程组0 Ax的解空间的一个基称 为齐次线性方程组 的解空间的一个基称 为齐次线性方程组0 Ax的一个基础解系 的一个基础解系 方程组 方程组0 Ax的基础解系是方程组的一组线 性无关的解 其要点有三 首先它们都是方程组 的基础解系是方程组的一组线 性无关的解 其要点有三 首先它们都是方程组 0 Ax的解 其次 它们是线性无关的 其三 它 们是解集合中的一个极大线性无关组 或者说 方程 组 的解 其次 它们是线性无关的 其三 它 们是解集合中的一个极大线性无关组 或者说 方程 组0 Ax任何一个解都可以由它们线性表出 因此 方程组的基础解系往往不是惟一的 任何一个解都可以由它们线性表出 因此 方程组的基础解系往往不是惟一的 设 设n元齐次线性方程组元齐次线性方程组0 Ax 系数矩阵 系数矩阵A的 秩为 的 秩为r 即 即rAr 则方程组的基础解系有 则方程组的基础解系有rn 个解向量 个解向量 若 若 t 21 L是齐次线性方程组是齐次线性方程组0 Ax的 一个基础解系 则齐次线性方程组 的 一个基础解系 则齐次线性方程组0 Ax的通解 一般解 是 的通解 一般解 是 7 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 tt kkkx L 2211 其中其中 t kkk 21 L是任意常数 是任意常数 解 解n元齐次线性方程组元齐次线性方程组0 Ax的基本步骤 的基本步骤 1 对系数矩阵作矩阵的初等行变换 化作简化 行阶梯形 假设这时有 1 对系数矩阵作矩阵的初等行变换 化作简化 行阶梯形 假设这时有r个非零行 则基础解系中有个非零行 则基础解系中有 rn 个解向量 个解向量 2 选非主元所在列的变量为自由未知量 共有 2 选非主元所在列的变量为自由未知量 共有 rn 个自由未知量 个自由未知量 3 将自由未知量依次设为单位向量 求得 3 将自由未知量依次设为单位向量 求得rn 线性无关的解向量 就是所求的基础解系 线性无关的解向量 就是所求的基础解系 4 基础解系中的向量的线性组合就是一般解 4 基础解系中的向量的线性组合就是一般解 例 6 设例 6 设 321 是齐次线性方程组是齐次线性方程组0 Ax的一 个基础解系 试证明 的一 个基础解系 试证明 3132121 2 也是齐次线性方 程组 也是齐次线性方 程组0 Ax的一个基础解系 的一个基础解系 例 7 求齐次线性方程组 例 7 求齐次线性方程组 07653 023 05532 034 54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 的一个基础解系 的一个基础解系 8 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 例 8 设有齐次线性方程组 例 8 设有齐次线性方程组 0 02 2 2 0 1 21 21 21 n n n xannxnx xxax xxxa L LLLLLLLLLL L L 2 n 试问试问a取何值时 该方程组有非零解 并求出其通解 取何值时 该方程组有非零解 并求出其通解 例 9 已知 3 阶矩阵例 9 已知 3 阶矩阵A的第一行是不 全为零 矩阵 的第一行是不 全为零 矩阵 cbacba k B 63 642 321 为常数 且 为常数 且k OAB 求线性方程组 求线性方程组0 Ax的通解 的通解 例10 设方程组 例10 设方程组 0 0 42 21 xx xx 方程组 方程组 0 0 432 421 xxx xxx 求方程组 和方 程组 的公共解 求方程组 和方 程组 的公共解 例 11 已知齐次线性方程组 例 11 已知齐次线性方程组 9 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 i i 0 0532 032 321 322 321 axxx xxx xxx 和 ii 和 ii 0 1 2 0 32 2 1 321 xcxbx cxbxx 同解 求同解 求a c的值 的值 b 5 5 非齐次线性方程组的解的性质与非齐次线性方 程组的解的构造 5 5 非齐次线性方程组的解的性质与非齐次线性方 程组的解的构造 对应的齐次线性方程组 对应的齐次线性方程组0 Ax称为非齐次线 性方程组 称为非齐次线 性方程组bAx 的导出组 的导出组 非齐次线性方程组也有两个性质 非齐次线性方程组也有两个性质 若 若 21 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组bAx 的两个 解 则 的两个 解 则 21 是导出组是导出组0 Ax的一个解 的一个解 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组bAx 的任一解的任一解 与导出 组 与导出 组0 Ax的解的解 的和的和 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 bAx 的解 的解 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组bAx 的通解 一般解 是 的通解 一般解 是 非齐次线性方程组的一个特解 导出组的基础解 非齐次线性方程组的一个特解 导出组的基础解 系的线性组合 系的线性组合 设非齐次线性方程组 设非齐次线性方程组bAx 若若rAr 是是bAx 的一个特解 的一个特解 10 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 rn 21 L 是导出组的基础解系 是导出组的基础解系 则则bAx 的通解 一般解 是 的通解 一般解 是 rnrn kkx L 11 其中其中 rn kk 1 L是任意常数 是任意常数 例 12 已知例 12 已知 21 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组bAx 的 两个不同的解 的 两个不同的解 21 是导出组 是导出组0 Ax的基础解 系 的基础解 系 21 k k是任意常数 则是任意常数 则bAx 的通解是 的通解是 2 21211 21 kkA 2 21211 21 kkB 2 21211 21 kkC 2 21211 21 kkD 例13 设例13 设A为阶方阵 若为阶方阵 若n 是非齐次线性方程组 是非齐次线性方程组 bAx 的解 的解 r 21 L是导出组是导出组0 Ax的 基础解系 则 的 基础解系 则 rArA rArB rrC r 21 L 1 21 rrD r L 11 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 例 14 设例 14 设A是矩阵 是矩阵 54 A的行向量线性无关 则 错误的是 的行向量线性无关 则 错误的是 0 xAA T 只有零解 只有零解 0 AxAB T 必有无穷多解 必有无穷多解 bxAbC T 有惟一解 有惟一解 bAxbD 总有无穷多解 总有无穷多解 例 15 例 15 321 是 元非齐次线性方程组是 元非齐次线性方程组bAx 的 个解向量 且的 个解向量 且A的秩的秩3 Ar 已知 已知 T4 3 2 1 1 T 3 2 1 0 32 k是任 意常数 则线性方程组 是任 意常数 则线性方程组bAx 的通解为 的通解为 TT kxA 1 1 1 1 4 3 2 1 TT kxB 3 2 1 0 4 3 2 1 TT kxC 5 4 3 2 4 3 2 1 TT kxD 6 5 4 3 4 3 2 1 例 16 设阶矩阵例 16 设阶矩阵nA的伴随矩阵的伴随矩阵0 A 若 若 4321 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组bAx 的互不 相等的解 则对应的齐次线性方程组 的互不 相等的解 则对应的齐次线性方程组0 Ax的基础 解系 的基础 解系 12 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 A 不存在 A 不存在 B 仅含一个非零解向量 B 仅含一个非零解向量 C 含有两个线性无关的解向量 C 含有两个线性无关的解向量 D 含有三个线性无关的解向量 D 含有三个线性无关的解向量 例 17 求线性方程组 例 17 求线性方程组 0 23 3252 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的通解 的通解 例 18 已知方程组例 18 已知方程组 42 4 321 2 321 321 xxx axaxx axxx 有无穷多个解 求有无穷多个解 求a的取值 并求方程组的通解 的取值 并求方程组的通解 例 19 设线性方程组 例 19 设线性方程组 14 4 2 3 0 22 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 已知已知 是该方程组的一个解 试求 是该方程组的一个解 试求 T1 1 1 1 方程组的全部阶 并用对应的齐次线性方程 组的基础解系表示全部解 方程组的全部阶 并用对应的齐次线性方程 组的基础解系表示全部解 13 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B