固体物理学讲义33.pdf

3 5 离子晶体的长光学波 对于长声学波 可以将晶体看成连续介质处理 该连续介质 上的弹性波满足在弹性理论基础上建立的宏观运动方程 对长声 学波 元胞中所有原子的位移是相同的 它对应弹性波中的位移 量 弹性波的相速度 c p v 其中 c 为杨氏模量 可以由恢 复力常数表出 为体密度 对于长光学波 黄昆首先提出了长光学波也可以在宏观理论 的基础上进行讨论 1 长光学波的宏观运动方程 以立方晶体为例 每个元胞中只有一对离子 质量分别为 和 当波长比元胞的线度大得多 相邻的同一种离子的位移 将趋于相同 在半波长的范围内 正离子一些布拉菲元胞同向地 位移 而负离子组成的另一些布拉菲元胞反向地位移 使晶体出 现宏观极化 正负离子相对位移将引起宏观的电场强度 黄昆选 择如下宏观量为描述长光学波运动的宏观量 M M 2 1 M W 其中 MM MM M为约化质量 为元胞体积 为正负离子 离开格点的位移 并且建立如下宏观的方程 EbWbP EbWbW vvv vv v 2221 1211 这里 是宏观极化强度 P v E v 是宏观电场强度 且可以证明 2112 bb 计算唯象方程的系数 1 考虑晶体在恒定电场下的极化 有W v 则 E b b W vv 11 12 代入方程得到 E b b b vv 11 2 12 22 P并比较 PE vv 0 1 0 得到 11 2 12 220 1 0 b b b 2 对于高频电场 晶格振动频率跟不上电场变化 有 W 0 则EbP vv 22 比较 EP vv 0 1 0 得到 220 1 b 3 后面将看到 b 2 11To To 为横长光学波的频率 可以从 晶体的红外吸收谱中测量得到 最后可以得到 022 0 2 1 0 2 1 2112 2 11 1 0 b bb b To 2 长光学波的横波频率 To 和纵波频率 Lo 立方晶体中的长光学波存在横波和纵波 表征位移的W可以 分解为 W v LoTo WW vvv 横向位移是无散的 纵向位移是无旋的 即 0 0 0 0 LT LT WW WW vv vv 而静电场的麦克斯韦方程为 0 0 0 E PED f v vvv 最后得到表征横向位移的方程 W TToTTT WWWb v vv v 2 11 即为 表征横向振动频率的平方 11 b 同样可以得到关于纵向振动的方程 WWWW LoLToL v vv v 22 0 因此有 2 1 0 To Lo 该关系称为 LST Lyddano Sachs Teller 关系 讨论 1 由于静电介电系数 0 恒大于光频介电系数 所有长 光学纵波的频率 Lo 恒大于长光学横波频率 To 这是由 于长光学纵波伴随有一个宏观电场 增加了恢复力 从 而提高了纵波的频率 Lo 2 当 0 0 To 而 0 则意味着晶体内部出 现自发极化 把趋于零的 To 称为光学软模 由 LST 关 系所发展出来的自发极化理论 现在叫做 铁电软模理 论 3 由于长光学波是极化波 所有长光学波声子称为极化 声子 由于只有长光学纵波才伴随有宏观的极化电场 所有极化声子主要是指纵光学声子 3 长光学波振动的原子理论 黄昆唯象方程的推导 离子晶体的极化有两方面的贡献 一方面是元胞中正负离子 的相对位移产生的电偶极矩 vv q 表示有效电荷 讨 论长光学波时 在一个大的范围内 所以的正离子位移相同 负 q 离子位移也相同 因此宏观极化强度可以表示为 q v p P v v v 位移 为元胞体积 另一方面 正离子和负离子的电子云在外场作用下产生极化 该 极化和外场及正负离子的极化率有关 在长波时 相应的宏观极 化强度为 极化 effeff EEP vvv 1 因此晶体的总极化强度为 P 位移极化 PP vvv 有效场是外场和离子 极化产生的场的迭加 采用洛伦兹有效场近似有 PE eff vvv 0 3 1 E 则有 EbWbP vvv 2221 其中 2 1 M v W 0 2 1 21 3 1 M q b 0 22 3 1 b 另外 由牛顿运动方程有 eff Eqk dt d v vv v 2 2 M eff Eqk dt d M v vv v 2 2 整理得 W EbWb vv v 1211 0 0 2 11 3 1 3 M q M k b 21 0 2 1 12 3 1 b M q b 4 离子晶体的光学性质 正负离子的相对振动产生的电偶极矩可以和电磁波相互作 用 引起在远红外区域的强烈吸收 因此在用唯象方程讨论这种 光吸收现象时 应在方程中引入表达能量损耗的耗散项 即 WEbWbW vvv v 1211 考虑形式解 代入方程得到 titi eWWeEE 00 vvvv E ib b W vv 2 11 12 代入唯象方程得到 Eb ib b P vv 22 2 11 2 12 将前面求得的b代入并和 221211 bbEPED vvvv 00 比较可以得 到 i 其中介电函数的实部和虚部分别为 2 0 22 2 22 0 22 0 0 2 0 22 2 22 0 0 1 吸收功率正比于介电函数的虚部 2 在 0 处出现一个吸收峰 峰的半高宽度为 3 横电磁波激励横光学格波 5 极化激元 前面的讨论仅考虑了库仑力的作用 实际上振动的偶极子会 产生交变的电磁场 因此严格求解应该是利用麦克斯韦方程组和 唯象方程 研究对象即为晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系 统 EbWbP EbWbW B D JPE t H t H E f f vvv vv v v v vvvv v v 2221 1211 0 0 0 考虑时谐场即 exp 0 trqiAA vv vv 代入并整理可以得到 0 2 11 2 12 2200 b b bEq v v 1 纵波 0 Eq v v 可以得到 22 0 ToLo 2 横波 0 Eq v v 可以得到 000 000 PEqH HqE 最后可以得到 4 0 0 2 1 2222222222 qcqcqc ToToTo 讨论 以上结果是考虑了格波与电磁波的耦合得到的新的耦合波 模式 1 当0 q v 时 0 cq Lo 这是低频电磁波 低于晶 格振动频率 即晶体中的纵光学波 是纯的 振动模式 2 当 q v 时 To 也 是 纯 的 格 波 模 式 cq 这是高频电磁波 3 在 cq 和 0 cq 与 Lo 和 To 相 交的区域附近 耦合很强 出现的是电磁波与格波的 混合模式 4 在 LoTo 是禁止区 电磁波不能在晶体中传播 3 6 确定晶格振动谱的实验方法 格波的色散关系和晶体的许多性质有关 因此确定格波的色 散关系 亦称晶格振动谱 显得非常重要 在讨论长光学波时已 经指出 光波和离子晶体的长光学横波可以发生强烈耦合 形成 声光子 在非离子晶体中 光子也能和晶格振动发生相互作用 因为晶格振动使晶体内部的电子云分布发生变化 从而使晶体是 光学常数如折射率发生相应的变化 这就会使在晶体中传播的光 波频率和波矢都发生相应的变化 另一方面 光波在晶体中传播 时 光电场也会使晶体的力学性质如弹性系数发生变化 从而使 晶体的晶格振动也发生相应的变化 这样 光子也能与晶格振动 发生相互作用 这种相互作用可以理解为光子受到声子的非弹性 散射 1 中子流的非弹性散射 中子流穿过晶体时 格波振动可以引起中子的非弹性散射 这种非弹性散射可以看成是吸收或发射声子的过程 该过程满足 能量守恒 动量守恒 假定非弹性散射后 中子前后的动量分别 为 则 pp vv n nn Gqpp q M p M p v h v h vv v h 22 22 n G v 可以理解为非弹性散射不能产生时对弹性散射引起的动量的 改变的修正 实际上该项和平移对称性有关 如果固定入射中子 流的动量 测出不同散射方向散射中子流的动量 就可以根据上 述关系确定格波的色散关系 q v 由于中子的能量和声子的能量 同数量级 中子的德布洛依波长和晶体晶格常数同数量级 因此 可以获得较好的实验效果 2 光波和格波的相互作用 该过程满