广东省深圳市五校高三数学上学期第一次月考试卷 文（含解析）.doc

广东省深圳市五校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合a=0，1，2，3，集合b=xn|x|2，则ab=（）a3b0，1，2c1，2d0，1，2，32（5分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（xr），若z1z2r，则x=（）a2-b1-c1d23（5分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为（）a若，则b若m，m，则c若m，n，则mnd若m，n，则mn4（5分）已知向量=（2，3），=（x，6），且，则|+|的值为（）abc5d135（5分）等差数列an的前n项和为sn，已知a5=8，s3=6，则a9=（）a8b12c16d246（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y=（）ab1c1d27（5分）将函数y=cos（2x）的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴是（）ax=bx=cx=dx=8（5分）函数f（x）=（x1）cosx2在区间0，4上的零点个数是（）a4b5c6d79（5分）已知直线l：x+my+4=0，若曲线x2+y2+2x6y+1=0上存在两点p、q关于直线l对称，则m的值为（）a2b2c1d110（5分）已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（1）=0，当x0时，有0成立，则不等式f（x）0的解集是（）a（1，0）（1，+）b（1，0）c（1，+）d（，1）（1，+）二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）函数y=的定义域为12（5分）一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为13（5分）设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和值域；（）若，求sin2的值17（13分）某中学2015届高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率18（13分）如图甲，在平面四边形abcd中，已知a=45，c=90，adc=105，ab=bd，现将四边形abcd沿bd折起，使平面abd平面bdc（如图乙），设点e、f分别为棱ac、ad的中点（1）求证：dc平面abc；（2）设cd=a，求三棱锥abfe的体积19（14分）各项均不相等的等差数列an的前四项的和为s4=14，且a1，a3，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式an与前n项和sn；（2）记tn为数列的前n项和，若tnan+1对任意的正整数n都成立，求实数的最小值20（14分）已知椭圆e：+=1（ab0）的上顶点为p（0，1），过e的焦点且垂直长轴的弦长为1若有一菱形abcd的顶点a、c在椭圆e上，该菱形对角线bd所在直线的斜率为1（1）求椭圆e的方程；（2）当直线bd过点（1，0）时，求直线ac的方程；（3）当abc=时，求菱形abcd面积的最大值21（14分）已知函数f（x）=a（x）2lnx，ar（1）若a=1，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=若至少存在一个x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围（二）、选做题：14、15题，考生只能从中选做一题14（5分）如图，cd是圆o的切线，切点为c，点b在圆o上，bc=2，bcd=60，则圆o的面积为选做题（正四棱锥与球体积选做题）15棱长为1的正方体的外接球的体积为广东省深圳市五校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合a=0，1，2，3，集合b=xn|x|2，则ab=（）a3b0，1，2c1，2d0，1，2，3考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出b中不等式的解集，找出解集中的自然数解确定出b，求出a与b的交集即可解答：解：由b中的不等式解得：2x2，即b=x|2x2，xn=0，1，2，a=0，1，2，3，ab=0，1，2，故选：b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义解本题的关键2（5分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（xr），若z1z2r，则x=（）a2-b1-c1d2考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z1z2，然后由虚部为0即可求出x的值解答：解：z1z2=（1+i）（2+xi）=2x+（2+x）i，z1z2r，2+x=0即x=2故选：a点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为（）a若，则b若m，m，则c若m，n，则mnd若m，n，则mn考点：空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：阅读型分析：用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除解答：解：反例把书打开直立在桌面上，与相交或垂直；答案b：与相交时候，m与交线平行；答案c：直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体；答案d：，正确故选d点评：本题考查了线面的垂直和平行关系，多用身边具体的例子进行说明，或用长方体举反例4（5分）已知向量=（2，3），=（x，6），且，则|+|的值为（）abc5d13考点：平行向量与共线向量；向量的模；平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：根据两个向量平行的坐标表示求出x的值，然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标，最后利用求模公式求模解答：解：由向量=（2，3），=（x，6），且，则26（3）x=0，解得：x=4所以，则=（2，3）所以=故选b点评：本题考查了两个平行的坐标表示，考查了平面向量的坐标运算，考查了向量模的求法，是基础题5（5分）等差数列an的前n项和为sn，已知a5=8，s3=6，则a9=（）a8b12c16d24考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由给出的等差数列的第5项和前3项和代入通项公式及前n项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a9解答：解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则，解得：a1=0，d=2，所以a9=a1+8d=0+82=16故选c点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了计算能力，此题属基础题6（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y=（）ab1c1d2考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序是计算y的值，并且以3为周期，从而得出程序运行的结果是什么解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下：y=2，i=1，12014？，否，y=1=；i=1+1=2，22014？，否，y=1=1；i=2+1=3，32014？，否，y=1=2；i=3+1=4，42014？，否，y=1=；，i=2012+1=2013，20132014？，否，y=1=2；i=2013+1=2014，20142014？，是，输出y：2故选：d点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，寻找解答问题的途径，是基础题7（5分）将函数y=cos（2x）的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴是（）ax=bx=cx=dx=考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：利用诱导公式可得f（x）=cos（2x）=cos（2x），于是有f（x）=cos（2x），利用余弦函数的对称性即可得到答案解答：解：令f（x）=cos（2x）=cos（2x），则f（x）=cos2（x）=cos（2x），由2x=k（kz），得其对称轴方程为：x=+（kz），当k=0时，x=，即为将函数y=cos（2x）的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴，故选：a点评：本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，考查余弦函数的对称性，属于中档题8（5分）函数f（x）=（x1）cosx2在区间0，4上的零点个数是（）a4b5c6d7考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：令函数值为0，构建方程，即可求出在区间0，4上的解，从而可得函数f（x）=（x1）cosx2在区间0，4上的零点个数解答：解：令f（x）=0，可得x=1或cosx2=0x=1或x2=k+，kz，x0，4，则x20，16，k可取的值有0，1，2，3，4，方程共有6个解，函数f（x）=（x1）cosx2在区间0，4上的零点个数为6个，故选c点评：本题考查三角函数的周期性以及零点的概念，属于基础题9（5分）已知直线l：x+my+4=0，若曲线x2+y2+2x6y+1=0上存在两点p、q关于直线l对称，则m的值为（）a2b2c1d1考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：曲线x2+y2+2x6y+1=0上有两点p、q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值；解答：解：曲线方程为（x+1）2+（y3）2=9表示圆心为（1，3），半径为3的圆点p、q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，圆心（1，3）在直线上代入得m=1故选：d点评：本题考查直线与圆的方程的应用，圆的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中档题10（5分）已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（1）=0，当x0时，有0成立，则不等式f（x）0的解集是（）a（1，0）（1，+）b（1，0）c（1，+）d（，1）（1，+）考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：根据当x0时，有0成立，可得为增函数，结合函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（1）=0，可分析出在各个区间上，和f（x）的符号，进而可得不等式f（x）0的解集解答：解：当x0时，有0成立，当x0时，为增函数，又f（1）=0，当x1时，0，f（x）0，当0x1时，0，f（x）0，又函数f（x）是定义在r上的奇函数，是定义在（，0）（0，+）上的偶函数，故当x1时，0，f（x）0，当1x0时，0，f（x）0，故f（x）0的解集是（1，0）（1，+），故选：a点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的单调性，是函数图象和性质与导函数的综合应用，难度中档二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）函数y=的定义域为x|xo且x1考点：函数的定义域及其求法 分析：函数式是分式，分子含有根式，分母含有对数式，函数的定义域是使根式内的代数式大于等于0，且分母不等于0，还要使对数函数有意义解答：解：要使原函数有意义，则需解得：x0且x1，所以原函数的定义域为x|x0，且x1故答案为x|x0，且x1点评：本题考查了函数的定义域及其求法，属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是2015届高考常会考的题型12（5分）一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为6考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，根据所给的数据作出底面积，乘以高，得到体积解答：解：由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，故半圆柱的体积v=223=6，故答案为：6点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是理解三个视图高长宽之间的关系，进而判断出几何体的形状，本题是一个基础题13（5分）设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出a2，b2，利用双曲线的三个系数的关系列出m，n的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于m，n的另一个等式，解方程组求出m，n的值，代入方程求出双曲线的方程解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n0，b2=m0，所以，又，解得n=1，所以b2=c2a2=41=3，即m=3，m=3，所以双曲线的方程为故答案为：点评：解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c2=a2+b2而椭圆中三参数的关系为a2=c2+b2三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和值域；（）若，求sin2的值考点：三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：（）将化为f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域；（）由可求得cos（+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2的值解答：解：（）由已知，f（x）=sincos=（1+cosx）sinx=cos（x+）函数f（x）的最小正周期为2，值域为，（）由（）知，f（）=cos（+）=，cos（+）=，sin2=cos（+2）=cos2（+）=12=1=点评：本题考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想，属于中档题17（13分）某中学2015届高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差（3）设甲班至少有一名学生为事件a，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案解答：解：（1）甲班学生的平均分是85，x=5，乙班学生成绩的中位数是83，y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2=40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为a，b，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为c，d，e，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件m，则答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为点评：本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识18（13分）如图甲，在平面四边形abcd中，已知a=45，c=90，adc=105，ab=bd，现将四边形abcd沿bd折起，使平面abd平面bdc（如图乙），设点e、f分别为棱ac、ad的中点（1）求证：dc平面abc；（2）设cd=a，求三棱锥abfe的体积考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：证明题分析：（1）先证明ab底面bdc，可得abcd，又dcbc，从而证明dc平面abc（2）由（1）知 ef平面abc，求得，代入体积公式进行运算可得答案解答：解：（1）证明：在图甲中，ab=bd，且a=45，adb=45，abc=90 即abbd在图乙中，平面abd平面bdc，且平面abd平面bdc=bd，ab底面bdc，abcd又dcb=90，dcbc，且abbc=b，dc平面abc（2）e、f分别为ac、ad的中点，efcd，又由（1）知，dc平面abc，ef平面abc，在图甲中，adc=105，bdc=60，dbc=30，由cd=a得，点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，求出aeb的面积，确定棱锥的高为ef 是解题的关键19（14分）各项均不相等的等差数列an的前四项的和为s4=14，且a1，a3，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式an与前n项和sn；（2）记tn为数列的前n项和，若tnan+1对任意的正整数n都成立，求实数的最小值考点：数列的求和；数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设公差为d，利用s4=14，且a1，a3，a7成等比数列，建立方程，即可求得首项与公差，从而可得数列an的通项公式；（2）利用裂项法，可求数列的前n项和，则tnan+1对任意的正整数n都成立，等价于对nn*恒成立，求得的最大值即可解答：解：（1）设公差为d，则s4=14，且a1，a3，a7成等比数列4a1+6d=14，（a1+2d）2=a1（a1+6d）d0，d=1，a1=2，an=n+1，sn=（2）=tn=tnan+1对任意的正整数n都成立，an+1对任意的正整数n都成立，等价于对nn*恒成立又=，且在n=2时取等号，所以实数的最小值为点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力以及恒成立问题的等价转化能力，综合性强，属于难题20（14分）已知椭圆e：+=1（ab0）的上顶点为p（0，1），过e的焦点且垂直长轴的弦长为1若有一菱形abcd的顶点a、c在椭圆e上，该菱形对角线bd所在直线的斜率为1（1）求椭圆e的方程；（2）当直线bd过点（1，0）时，求直线ac的方程；（3）当abc=时，求菱形abcd面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程 专题：综合题分析：（1）依题意，b=1，解，得|y|=，所以，由此能求出椭圆e的方程（2）直线bd：y=1（x1）=x+1，设ac：y=x+b，由方程组得，再由根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质能推导出ac的方程（3）因为四边形abcd为菱形，且，所以ab=ac=bc，所以菱形abcd的面积，由ac2=（x2x1）2+（y2y1）2=2（x2x1）2=2（x2+x1）28x1x2=，能推导出当且仅当b=0时，菱形abcd的面积取得最大值解答：解：（1）依题意，b=1，解，得|y|=，所以，a=2，椭圆e的方程为（2）直线bd：y=1（x1）=x+1，设ac：y=x+b，由方程组得，当时，a（x1，y1），c（x2，y2）的中点坐标为=，abcd是菱形，所以ac的中点在bd上，所以解得，满足=5b20，所以ac的方程为y=x（3）因为四边形abcd为菱形，且，所以ab=ac=bc，所以菱形abcd的面积，由（2）可得ac2=（x2x1）2+（y2y2）2=2，ac2=（x2x1）2+（y2y1）2=2（x2x1）2=2（x2+x1）28x1x2=2=，因为，所以当且仅当b=0时，菱形abcd的面积取得最大值，最大值为点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质，结合椭圆的性质注意合理地进行等价转化21（14分）已知函数f（x）=a（x）2lnx，ar（1）若a=1，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=若至少存在一个x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（1）利用求极值的方法，先求导，再判断函数f（x）单调性，然后判断是否存在极值；（2）求含有参数的f（x）的单调区间，需要分类讨论； （3）本命题等价于f（x）g（x）0在1，e上有解，设f（x）=f（x）g（x），f（x）min=f（1）=0，从而求得a的取值范围解答：解：（1）当a=1时，其定义域为（0，+），f（x）在（0，+）上单调递增，函数f（x