同济大学的高等数学讲义 (17).pdf

第二单元定积分的物理应用第二单元定积分的物理应用 本单单元内容要点本单单元内容要点 应用定积分计算相应的物理问题应用定积分计算相应的物理问题 主要内容有主要内容有 1 功功 2 水压力水压力 3 引力引力 本单单元教学要求本单单元教学要求 掌握用定积分求解物理问题的基本方法和公式掌握用定积分求解物理问题的基本方法和公式 本单元教学重点和难点本单元教学重点和难点 掌握三类物理问题的求解方法掌握三类物理问题的求解方法 尤其是在具体问题中 用元素法对问题进行具体的分析 尤其是在具体问题中 用元素法对问题进行具体的分析 由此得到相应问题的 计算公式 由此得到相应问题的 计算公式 难点难点 引力的计算引力的计算 教学时数教学时数 2课时课时 一 变力沿直线所作的功一 变力沿直线所作的功 从物理学中知道 如果物体在作直线运动的过程中受 到常力的作用 并且力作用的方向与位移的方向一 致 则当物体移动了距离 时 力对物体所作的功为 从物理学中知道 如果物体在作直线运动的过程中受 到常力的作用 并且力作用的方向与位移的方向一 致 则当物体移动了距离 时 力对物体所作的功为 F s F WFs F s 如果物体在运动过程中受到变力的作用 如何求出相 应的功 如果物体在运动过程中受到变力的作用 如何求出相 应的功 例例1 把一个带电量为的点电荷放在 轴的坐标原 点处 它产生一个电场 并对周围的电荷产生作用 力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电 场中离原点为 的地方 那么电场对它的作用力为 是常数 当这个单位正电荷从电场从 处沿 移动到处时 求电场力所作的 功 把一个带电量为的点电荷放在 轴的坐标原 点处 它产生一个电场 并对周围的电荷产生作用 力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电 场中离原点为 的地方 那么电场对它的作用力为 是常数 当这个单位正电荷从电场从 处沿 移动到处时 求电场力所作的 功 q r O Or ra rrb ab F 2 q Fk r k rOrdr ra b q 解取 为积分变量 在区间中取一小区间 当单位电荷从 移动到时 电场力 对它所作的功近似于 解取 为积分变量 在区间中取一小区间 当单位电荷从 移动到时 电场力 对它所作的功近似于 r a b r rdr rrdr 2 kq dr r 从而功元素为从而功元素为 2 kq dWdr r 于是所求的功为于是所求的功为 2 111 b b a a kq Wdrkqkq rrab 例例2 内燃机动力的产生可简化为如下的模型 把汽缸 看作为一个圆柱形容器 在圆柱形容器中盛有一定的气 体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个 活塞从一点处推移到另一点处 经过一定的机械装置将 活塞的这直线运动的动力传播出去 如果活塞的面积为 计算活塞从点 移到点 的过程中气体压力所作的 功 内燃机动力的产生可简化为如下的模型 把汽缸 看作为一个圆柱形容器 在圆柱形容器中盛有一定的气 体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个 活塞从一点处推移到另一点处 经过一定的机械装置将 活塞的这直线运动的动力传播出去 如果活塞的面积为 计算活塞从点 移到点 的过程中气体压力所作的 功 a Sb 解取坐标系如图所示 活塞的位置用坐标 来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强 与体积的乘积是常数即有 解取坐标系如图所示 活塞的位置用坐标 来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强 与体积的乘积是常数即有 x p V k x a b O pVk 因所以因所以 VxS k p xS 于是作用在活塞上的力为于是作用在活塞上的力为 k FpS x 取 为积分变量 则功元素为取 为积分变量 则功元素为x k dWdx x 因而总功为因而总功为 ln b a kb Wdxk xa 例例3 一圆柱形蓄水池高一圆柱形蓄水池高5米 底半径为米 底半径为3米 池内盛满了 谁 要把池内的水全部吸出 需作多少功 米 池内盛满了 谁 要把池内的水全部吸出 需作多少功 单击任意处即可观看 解建立坐标系如图 单击任意处即可观看 解建立坐标系如图 x o x xdx 取 为积分变量 则对中的任意一个小 区间这一层薄水的重力为 取 为积分变量 则对中的任意一个小 区间这一层薄水的重力为 x 0 5 x 0 5 x xdx 2 9 83 dx 因而功元素为因而功元素为 88 2 dWx dx 于是 功为于是 功为 5 2 5 0 0 88 288 23462 2 x Wx dxJ 例例4 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力 与击入木板的深度成正比 在第一次时 将铁钉击入 木板一厘米 如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等 问铁钉在第 次时将铁钉击入多少 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力 与击入木板的深度成正比 在第一次时 将铁钉击入 木板一厘米 如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等 问铁钉在第 次时将铁钉击入多少 n 解设木板对铁钉的阻力为则由条件得 第一次锤击时所作的功为 解设木板对铁钉的阻力为则由条件得 第一次锤击时所作的功为 f f xkx 11 1 00 2 k Wf x dxkxdx 设第 次锤击时所作的功为此时深度为设第 次锤击时所作的功为此时深度为n n W h 则 则 2 0 1 2 h n Wkxdxkh 由题意 每次锤击时所作的功相等 即有由题意 每次锤击时所作的功相等 即有 2 1 11 22 n WnWknkhhn 所以第 次锤击时击入的深度为所以第 次锤击时击入的深度为n1 n hnn 二 水压力二 水压力 d pg d 从物理学中知道 水深 处的压强为其中 是水的比重 为重力 如果有一块面积为 的平板水 平地置于深度为 处 则平板一侧所受的水压力为 如果平板并非水平地置于水中 我们来得到此时平板一 侧所受到的水压力 从物理学中知道 水深 处的压强为其中 是水的比重 为重力 如果有一块面积为 的平板水 平地置于深度为 处 则平板一侧所受的水压力为 如果平板并非水平地置于水中 我们来得到此时平板一 侧所受到的水压力 g A FpA d 例例5 某水库的闸门形状为等腰梯形 它的两条底边的长 分别为和高为较长的底边与水平面相 齐 计算闸门的一侧所受的水压力 某水库的闸门形状为等腰梯形 它的两条底边的长 分别为和高为较长的底边与水平面相 齐 计算闸门的一侧所受的水压力 10 6 mm20 m 20m 10m x o x xdx 6m 解建立坐标系如图 取 为积分变量 变化范围为 在中任取一个小区间 而闸门上对应该小区间的窄 条各点处所受到的水的压强近似等于 解建立坐标系如图 取 为积分变量 变化范围为 在中任取一个小区间 而闸门上对应该小区间的窄 条各点处所受到的水的压强近似等于 x 0 20 0 20 x xdx 2 xg kN m 窄条的宽度近似为因而这一窄条一侧所受到的 水压力近似为 窄条的宽度近似为因而这一窄条一侧所受到的 水压力近似为 10 5 x 10 5 x dFgxdx 于是所求的水压力为于是所求的水压力为 20 3 20 2 0 0 10514373 kN 515 xx Fgxdxgx 例例6 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设 桶的底面半径为水的比重为求桶的一端面上的水 压力 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设 桶的底面半径为水的比重为求桶的一端面上的水 压力 R x dxx o x 解建立坐标系如图 取为积分变量 在 区间中取小区间则在一个小矩形上 各点的压强为常数 解建立坐标系如图 取为积分变量 在 区间中取小区间则在一个小矩形上 各点的压强为常数 x 0 xR x xdx px 0 R 22 2 dPx Rx dx 注意到小矩形的宽为则小矩形片所受到的 水压力为 注意到小矩形的宽为则小矩形片所受到的 水压力为 22 2 Rx 从而端面上所受到的水压力为从而端面上所受到的水压力为 22 0 2 R Px Rx dx 22223 0 2 3 R Rx d RxR 例例7 将直角边分别为的直角三角形薄板垂直地浸 入水中 斜边朝下 长边与水面平行 且到水面的距离 恰为该边的边长 求薄板受到的水压力 将直角边分别为的直角三角形薄板垂直地浸 入水中 斜边朝下 长边与水面平行 且到水面的距离 恰为该边的边长 求薄板受到的水压力 2aa a 2a 2a x 解建立坐标系如图 面积元为所受到的 水压力 解建立坐标系如图 面积元为所受到的 水压力 2 ax dx 22 dPaxaxdx 所以 相应的水压力为所以 相应的水压力为 3 0 7 22 3 a Paxaxdxa 三 引力三 引力 由物理学知道 质量分别为相距为 的两质点 间的引力大小为 由物理学知道 质量分别为相距为 的两质点 间的引力大小为 12 m mr 12 2 m m Fk r 其中 为引力系数 引力的方向沿这两质点的连线方 向 其中 为引力系数 引力的方向沿这两质点的连线方 向 k 例例8 有一长度为 线密度为 的均匀细棒 在其中垂 线上距棒 单位处有一质量为的质点计算该棒对 质点的引力 有一长度为 线密度为 的均匀细棒 在其中垂 线上距棒 单位处有一质量为的质点计算该棒对 质点的引力 l am M M 解建立坐标系如图 取 为 积分变量 在区间 上 将小段近似看成一个质点 质量为则引力为 解建立坐标系如图 取 为 积分变量 在区间 上 将小段近似看成一个质点 质量为则引力为 y y ydy dy 22 Mdy Fk ay M a y ydy y x 2 l 2 l r 从而在水平方向的分力元素为从而在水平方向的分力元素为 3 2 22 x am dy dFk ay 于是得到引力在水平方向的分力为于是得到引力在水平方向的分力为 2 3 2 222 22 21 4 l x l kamkm l Fdy a alay 由对称性 引力在铅直方向分力由对称性 引力在铅直方向分力0 y F 例例9 设有一半径为中心角为的圆弧型细棒 其线 密度为常数在圆心处有一质量为的质点试求 这细棒对质点的引力 设有一半径